МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. А. А. БУРЕНИН, Л. В. КОВТАНЮК, И. А. ТЕРЛЕЦКИЙ
О НЕОБРАТИМОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ И ПОСЛЕДУЮЩЕЙ РАЗГРУЗКЕ СФЕРИЧЕСКОГО ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ
Приведены аналитические решения последовательности одномерных квазистатических задач, описывающих процессы вязкоупругого деформирования материала полого шара, зарождения и развития пластического течения в нем при увеличении давления на его внешней границе. Рассмотрен также процесс разгрузки при медленном снятии нагружающего давления. Рассчитываются поля напряжений, упругих и пластических деформаций в материале сферического слоя, закономерность продвижения упругопла-стической границы, уровень и распределение остаточных напряжений. На стадии, предваряющей пластическое течение, считается, что материал подчиняется вязкоупругой модели Фойгта, поверхность нагружения задается условием пластического течения Мизеса.
Ключевые слова: упругость, вязкость, пластичность.
1. Введение. Одномерные задачи формирования полей остаточных напряжений в окрестностях вырожденных неоднородностей среды рассматривались ранее в [1—5]. Наиболее близкой к настоящей публикации является работа [2], в которой в рамках модели упругопластической среды типа Прандтля—Рейса [6], т.е. без учета вязких свойств среды, рассмотрена, по существу, та же задача. Насколько важно учитывать вязкие свойства деформированной среды и с какой целью? В работе [3] указано свойство идеальной упругопластической среды проявлять эффект приспособляемости к эксплуатационным нагрузкам по типу "нагрузка—разгрузка". Данный эффект расчет-но проявился на вполне аналогичной рассматриваемой задаче с тем лишь условием, что деформации в материале могут быть большими, т.е. в теории больших упругопла-стических деформаций. Этот эффект заключен в том, что после каждой разгрузки размеры полости (дефекта сплошности) оставались теми же, что и после первой разгрузки; одинаковыми после каждой разгрузки оставались и уровень, и распределение остаточных напряжений. Попытка выхода из такой парадоксальной ситуации была предпринята в [4] за счет учета вязких свойств деформированной среды. Оказалось, что в таком случае может происходить последовательное уменьшение в размерах полости за счет учета вязкости на стадиях деформирования, предваряющих пластическое течение, и увеличение за счет учета вязкости в процессе пластического течения. Однако такие выводы были сделаны в предположении несжимаемости среды. Здесь же данное ограничение снимается, хотя в целях получения аналитического решения приходится ограничиться малостью деформаций.
2. Вязкоупругое деформирование. Полагаем, что полый шар нагружается давлением на внешней поверхности г = Я0, а его внутренняя граница г = г0 остается свободной от нагрузки. До достижения предельного состояния по напряжениям материал шара остается вязкоупругим, а по выходу напряженного состояния на поверхность нагру-
жения начинается его пластическое течение. Таким образом, полагаем, что деформации dy складываются из упругих eу и пластическихpy.
1 / \ ddji е р dij = е1;- + = 2 (, j + uu), ty = dij == eij + Pij = Вц/ + 4 (2.1)
Упругие деформации и скорость их изменения задают напряжения в среде
= ^ekkßij + 2це/ + ^s a^ij + 2nsj (2.2)
Зависимостями (2.2), где X, ц — параметры Ламе, п — объемная и сдвиговая вязкость, задается линейный вязкоупругий материал Фойгта. При достижении напряженным состоянием поверхности нагружения
Ф = (оrr - а00)2 + (о00 - о„)2 + (ow - оrr)2 - 8k2 = 0 (2.3)
в материале начинается пластическое течение. В (2.3) принята сферическая система координат r, ф, 9. В дальнейшем принимается условие принципа максимума Мизеса, следствием которого становится ассоциированный закон пластического течения. Если, в силу особенности задаваемой нагрузки
°rr|r=Ro = f (О ' ürr|r=ro = 0 (2.4)
учесть сферическую симметрию задачи, то уравнение равновесия 2
ü rr,r + 2 (о rr -üW) = 0 (2.5)
r
в случае, пока пластическое течение не началось, перепишется в перемещениях
(,+ 2ц) и' + 2 - - 2 + ((,+ 2n)d (V + 2 - - 2 u) = 0 (2.6)
В (2.6) и = ur (r, t) — единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений; штрихом обозначена частная производная функции по r. Решением уравнения (2.6) при начальном условии
u|t=0 = 0 (2.7)
является функция
u (r, t) = q (t) r + c2 (t) /r2 (2.8)
Тогда для компонент тензора напряжений согласно (2.2) получаем
Orr = ( + 2ц)q + ( + 2n) q - 4(ЦС2 + ПС2)
r
Orr - = - 4 (С2 + ПС2)
r
(2.9)
Для определения неизвестных функций е^) и е2(?) воспользуемся условиями (2.4), согласно которым
( + 2ц) С1 + (( + 2п) ¿1 = / ( ) —
ЦС2 +ЛС2 = f (t ^^з
d3 3 R - r0
3 3 (2.10)
4(R0 - r0)
Для компонент напряжений согласно (2.10) найдем
а,, = /(г)^^ -^ а„-а„ = -3/(г) 3 3 (2.11)
г3(Я - г03) 2 г (Я - Го3)
Для нахождения функций с() и с2(?) уравнения (2.10) необходимо проинтегрировать, поэтому надо задать конкретный вид функции/(?). Выберем ее в простейшем виде /(?) = —Р?, тогда учитывая условие (2.7), получим
с (г) в (1 - г-ш _ /| с (1) в (1 _ е Ы
у ого3 (3Х + 2ц)) а / 2и 4у 0^1 Ь , (212)
, ц , 3Х + 2ц 1
Ь=~> а = ^ п > У о = —
го Яо
П 3^ + 2П 'о го3 Я
Момент начала пластического течения ? = ?0 определим, воспользовавшись условием пластичности (2.3).
В рассматриваемом случае оно впервые выполнится на внутренней поверхности г = г0 в
виде (агг -о„)| ,=к = 2к в момент времени ?0 = (1 - -о3 /Яз)/?, 9 = 3Р/(4к).
3. Развивающее пластическое течение. При дальнейшем увеличении внешней нагрузки со значения /0 развивающаяся в окрестности внутренней сферической поверхности область пластического течения будет ограничена поверхностями г = г0 и г = г: (г0 < г:). В слое г1 < г < Яо материал деформируется вязкоупруго. Таким образом, граница г = г:(?) является движущейся границей развивающейся области пластического течения. Примем, что внешняя нагрузка изменяется по закону
Сгг|г=йо = / (0 + /1 (0 , /1 (?о) = о (3.1)
В области вязкоупругого деформирования - < г < Яо остаются справедливыми зависимости (2.8), (2.9), в которых функции с:(?) и с2(?) заменим их текущими значениями ¿:(?) и Ь2(?), учитывая, что
Ь (?о) = С1 (?о), Ь2 (?о) = С2 (?о) (3.2)
В области пластического течения го < г < - из уравнения равновесия (2.7), учитывая условие (агг - а)|-о<г<г ) = 2к, для компонент напряжений получим
= 4к 1п= 2к | 21п ^ - 1| (3.3)
Воспользовавшись граничным условием (3.1) и условием равенства компонент напряжений (2.11) и (3.3) на упругопластической границе г = г:(?), определим компоненты напряжений в области обратимого деформирования и получим уравнения для определения функций Ь:(?), Ь2(?) и г:(?):
= / (г) + /1 (г) + в
/ 3 3\ 3
9
± - П.
3 п3 г Яо.
^ гг ^фф — 2к 3
(3Х + 2ц)Ь + (3^ + 2п)Ь — /(г) + /1 (г)-в4> ^ + цъ2 — -(3.4)
4к 1п^- —
го 4к
9Щ 3
- 4V / (г) + /1 (г)
Яо
Ясно, что система для определения функций Ь1((), ¿2(?) и г1((), состоящая из двух дифференциальных и одного алгебраического уравнения, имеет аналитическое решение не для любой функции/1(0. Такое решение можно получить, задавая, например,/() в виде
/1(г) =
в (п (г) - г0)
(3.5)
или, что то же, принять закон движения упругопластической границы г = г1(?) в форме
п (г) = г0ев"-'»)/(4к) (3.6)
С учетом (3.5) и (3.6) для функций Ь1(?), ¿2(?) и компоненты агг, используя начальные условия (3.2), получаем
¿1 (г) = г Ь2 (г) =
е - £]-- я (г - го -11 -1 1г0 1) 1г0 \ 1,
3
агг = 4к
3 ( +
( Л (
1п Го -1
(г03е -Ь(( -го) - г,3) + ^ (е -Ь( ''о е -Ы 1
3Ц I ) Ц'о )
(3.7)
г1 3
1 - Ат
3
3
г ))
Г = ■
4к
3 (3Х + 2ц)
С другой стороны, компоненты напряжений в области пластического течения г0 < г < г1 согласно (2.3) можно выразить через обратимые деформации:
Огг = (Х + 2ц) егг + 2Х + (£ + 2п) е„ + 2^ °фф =
2 (Х + ц) ефф + Хегг + 2 + п) <?фф + Ъ,егг
(3.8)
огг — о
фф
2ц (гг ефф) + 2Л (гг ефф)
Сравнивая зависимости для а1Т (3.3) и (3.8) и для агг - с^ (3.4) и (3.8) для определения компонент упругих деформаций в области пластического течения получим систему дифференциальных уравнений
(X + 2ц) егг + 2Х е„ + ( + 2п) егг + 2^ = 4к 1п Г0
г
ц (гг — ефф) + П (гг — ефф) = к
Решением системы (3.9) являются функции
егг = 3Г 1п ^ + ^ Г + 2 г (г )е + £ (г )е г 2ц 3
к ц
(3.9)
(3.10)
ефф егг г (г) е
где г(г), я(г) — неизвестные функции.
Следуя [7, 4], найдем перемещения в области пластического течения. Согласно выражениям (2.1) для приращений деформаций справедливы зависимости
М- = 1е„ + <1ргг, 11 „ = 1ет + 1р,
Из ассоциированного закона пластического течения б? = 8дФ/дау, учитывая, что поверхность нагружения Ф задана в виде (2.15), получим
= -аР<?<? = = а8> £? + 2£?Ф = о (3.11)
Согласно второй зависимости (3.11) в случае сферической симметрии при использовании условия пластичности (2.15) материал является пластически несжимаемым. Интегрируя по времени первое соотношение (3.11), найдем
Ргг =-2р„ (3.12)
Условие (3.12) согласно выражениям (2.1) и (2.5) может быть переписано в виде
е-- + 2е(р(р = и' + — (3.13) г
Из второго соотношения (3.10) и (3.13) следуют зависимости
е-г = 1 (и + 2ии + 2к + 2г (г)е 1, ефф = 1 {и + 2и-кк + 2г (г)е 1 (3.14) 31 г Ц ) 31 г Ц )
подстановка последних зависимостей в первое уравнение (3.9) позволяет получить уравнение для перемещений в области необратимого деформирования
(3Х + 2ц) (и' + 2 и) + ( + 2п) (и' + 2 и) = 4к ^ 31п-о -1) (3.15)
Решением уравнения (3.15) является функция
и = 3¥г 1п Го + ш (г) е + (3.16)
Г г
где А(?), ^(г) — неизвестные функции. Из первых зависимостей (3.10) и (3.14) при учете (3.16) следует
«(г) = 3 [ш(г) + ^ (3.17)
Согласно (2.1), (3.10), (3.15) и (3.17) определим компоненту ргг пластических деформаций
2 г,^ + 2ц 2к (г) 2 ( и ч ш (г)| 2 / ч -Ы ,, 1СЧ
Ргг =--^----з + -| ш (п —— Iе --г(г)е (3.18)
3 ц г 3 ^ г ) 3
В области обратимого деформирования для компонент обратимых деформаций
, , ,. 2Ь2 (г) и , ,, Ь2 (г)
егг = и = Ь1 (г)--^, ефф = - = Ь1 (г) +--у- следуют зависимости
г г г
3Ь2 (г)
е- + 2ефф = 3Ь1 (г), е- - ефф =--^ (3.19)
г
Условие непрерывности компонент обратимых деформаций на границе г =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.