БИОФИЗИКА, 2009, том 54, вып.4, с.760-762
= ПИСЬМА РЕДАКТОР У =
УДК 536.75
О НЕОБХОДИМОСТИ ПР ОВЕРКИ ДОСТОВЕРНОСТИ РЯДА ПОЛОЖЕНИЙ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ
© 2009 г. К.Ф. Иванова
ГНУ Агрофизический институт РА СХН, 195220, Санкт-Петербург, Гражданский просп., 14
Поступило в р едакцию 08.07.08 г. После доработки 25.03.09 г.
Приведены примеры систем, для которых несправедлив принцип Пригожина - принцип минимума производства энтропии неизолир ованной системы в стационар ном состоянии, на котором о снованы многие следствия неравновесной термодинамики. Поскольку обнаружена неуниверсальность этого принципа, достоверность многих положений неравновесной термодинамики поставлена под сомнение. Их следует доказывать снова, без ссылок на принцип П р игожина, и не исключено, что при этом обнаружится ошибочность некоторых постулатов неравновесной термодинамики, что в дальнейшем может иметь большое практическое значение.
Ключевые слова: энтропия, неравновесная термодинамика, принцип Пригожина, системы.
Рассмотрим процесс теплопереноса в однородном изотропном теле с постоянным коэффициентом температуропроводности. В начальный момент времени часть поверхности нагревается, и в теле возникает температурное поле с темпер атурой Т, которая является функцией координат х, у, г и времени г : Т = Т(х, у, г, г). Температурное поле меняется при переходе от одной точки к другой и от одного момента вр емени к др угому. Известно, что функция Т удовлетво ряет ур авнению в частных производных:
дТ 2а — = а2АТ, дг
(1)
где а Ф 0 - постоянная величина, А - символ оператора Лапласа, в трехмерном случае равный:
АТ =
(д2Т д2Т д2Т \
дх2 ду2 дг2
В условиях установившегося во вр емени стационарного процесса уравнение (1) переходит в уравнение Лапласа:
АТ = 0.
(2)
Рассмотрим производство энтропии в элементарном объеме ёу изотропного тела. Потоки тепла, пр оходящие через элементар ные площадки йуйг, йхйг, йхйу при температуре Т и выходящие чер ез противоположные параллельные
дТ ,
им плоскости при температурах Т + -—ах,
дх
дТ дТ
Т + —ау, Т + —аг, обеспечивают производство
ду дг
энтропии, равное: ,( дТ (1
йП = а2
дх
Т дТ Т + —ах ах
1 ^ дТ(1
+
ду
1 ^
+ ■
дТ дг
1
(±-_
Т дТ ,
Т + -таг ау
Т дТ
т + —ау
ау
JJ
Во всем объеме V изотропного тела производство энтропии выразится уравнением:
П = а2Щап
(3)
= а2
№
Т
V ^ V
Во спользуемся уравнением Эйлера - Остроградского для вычисления минимума функционала (3). В результате получим уравнение:
О НЕОБXОДИМОCТИ П PОВЕPКИ ДОCТОВЕPНОCТИ PЯДА ПОЛОЖЕНИЙ 761
л _ (от)2 + Тй2Т _ (йТ)2 + Тй2Т _ Ш2 (4)
1 йх2 1 йх J + 1 йу2 1 йу J + Т йг2 1 йг 1
Т 3
= 0.
П р ир авнивая числитель ур авнения (4) нулю, получим ур авнение:
Т
(й2т й2Т й2Т)
■ +
+ -
йх2 йу2 йг2
(5)
№ + (йу) + (О? 2 '
Л йх I I йу I I йг у у
= 0.
Предположим, что Т Ф 0 (случай тривиального решения) и разделим уравнение (5) на Т:
ДТ -
2
'щ (Т
йх I 1 йу у
йТ
йг
2
= 0.
(6)
Полученное уравнение для минимума скорости производства энтропии включает в себя разность между оператором Лапласа и суммой квадратов первых производных по координатам, деленных на температуру. Очевидно, что сумма квадратов первых производных не может быть равной нулю, как и отдельные ее слагаемые, по определению гармонической функции в конечной области V [1].
Полученные дифференциальные уравнения (2) и (6) изменения температуры по координатам не только различны, но и исключают возможность получения одинакового решения для идентично задаваемых граничных условий для обоих уравнений. Тем самым доказано, что существуют системы, у котор ых в стационарном состоянии не достигается минимума производства энтропии.
Из проведенного анализа следует, что принцип Пригожина [2] не является универсальным и многочисленные следствия, построенные на его основе, не могут считаться достоверными
и в каждом отдельном случае должны проверяться и доказываться снова.
Вполне возможно, что уточнение основных положений неравновесной термодинамики позволит более обоснованно решать практические задачи во многих сферах человеческой деятельности, включая экологию и сельское хозяйство. Хорошо известно, что формальное, некритическое применение принципа Пригожина уже приводило к серьезным ошибкам при решении многих конкретных задач [3].
Тем самым подтверждается утверждение, что значение температуры при установлении постоянного температурного распределения в стационар ном режиме не определяется минимумом скорости пр оизводства энтропии и что пр оизводство энтропии системой, находящейся в стационар ном р ежиме, достаточно близком к равновесному состоянию, минимально. Из проведенного анализа следует, что принцип П ригожина не является универсальным и многочисленные следствия, построенные на постулируемом законе, не могут приниматься голословно и в каждом конкретном исследовании должны проверяться [3,4].
Идея и постановка данной задачи родились в результате совместного обсуждения данной пр облемы с пр офессо ром Санкт-Петер бургско-го университета Ю .П. Петровым, котор ому автор приносит глубокую благодарность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М. М. Смирнов, Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (Наука, М., 1964).
2. И. Р. П ригожин, Успехи физ. наук 131 (2), 185 (1980).
3. Ю. П. Петров, Лекции по истории прикладной математики (НИИХ СПб, СПб, 2001).
4. Ю. П. Петров, Вариационные методы теории оптимального управления (Энергия, Л., 1977).
2
+
762
ИВАНОВА
About the Necessity of Verifying the Trustworthiness of Some Propositions of Nonequilibrium Thermodynamics
K.F. Ivanova
Agrophysical Reseach Institute, Russian Academy of Agricultural Sciences, Grazhdanskiiprosp. 14, St.Petersburg, 195220Russia
Examples of systems are presented for which the Prigozhin's principle [1], the principle of a minimum of manufacture of entropy of a nonsolated system in a stationary condition on which many consequences of nonequilibrium thermodynamics are based, does not hold. Because the nonuniversality of this principle has been found, the reliability of many propositions of nonequilibrium thermodynamics is called into question. They have to be proved again without references to the Prigozhin's principle, and it is not ruled out that the inaccuracy of some postulates of nonequilibrium thermodynamics will be revealed, which can be of great practical importance in future.
Key words: entropy, nonequilibrium thermodynamics, Prigozhin's principle, systems
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.