М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015
УДК 532.582.92
О НЕСТАЦИОНАРНОМ ВСПЛЫТИИ ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
© 2015 г. В. А. АРХИПОВ*, И. М. ВАСЕНИН*, А. С. ТКАЧЕНКО**, А. С. УСАНИНА*
* Томский государственный университет, Физико-технический факультет, Томск **Томский государственный педагогический университет, Факультет технологии и предпринимательства, Томск e-mail: leva@niipmm.tsu.ru
Поступила в редакцию 20.05.2014 г.
Исследуется всплытие из состояния покоя малых пузырьков в вязкой несжимаемой жидкости. Получено выражение для силы Бассе, действующей на пузырек в вязкой жидкости, которое отличается множителем от силы, полученной Бассе для твердой сферы. Аналитически решена задача о нестационарном всплытии пузырька. Экспериментально исследовано всплытие пузырьков, и проведено сравнение экспериментальных и теоретических результатов.
Ключевые слова: пузырек, вязкая жидкость, нестационарный режим, сила Бассе.
Исследования закономерностей движения пузырьков в жидкости — это одна из классических задач гидродинамики. Интерес к динамике пузырьков обусловлен их ролью в целом ряде прикладных задач, связанных с двухфазными течениями в энергоустановках, теплообменом при кипении, кавитацией, подводной акустикой, флотацией, охлаждением ядерных реакторов и другими физическими процессами. В указанных задачах одним из существенных факторов является изменение скорости движения пузырьков в жидкости.
Анализ научной литературы по проблеме показал, что существует ограниченное количество работ по нестационарному движению одиночного пузырька. Большинство экспериментов посвящено исследованию стационарного всплытия одиночного пузырька (закон сопротивления, потеря устойчивости формы) и высококонцентрированной системы пузырьков. Теоретический анализ закономерностей нестационарного движения частиц дисперсной фазы проведен преимущественно для твердых сферических частиц [1, 2]; также в [1] приведены результаты экспериментального исследования.
Среди экспериментальных работ по движению одиночного пузырька с учетом нестационарных и "наследственных" эффектов можно отметить работы [3, 4]. В [3] методом анализа размерностей для чисел Рейнольдса Re = 0.01^100 получена эмпирическая зависимость коэффициента сопротивления пузырька от Re с учетом нестационарных и "наследственных" сил. Однако полученные результаты невозможно использовать для практических расчетов ввиду неопределенности некоторых входящих в нее параметров. Анализ экспериментальных результатов [4] по скорости нестационарного всплытия пузырька не представляется возможным, так как отсутствуют данные по физическим свойствам жидкости.
Из теоретических работ, посвященных нестационарному движению пузырька в вязкой жидкости, отметим исследования [5—8]. Движение твердой, жидкой и газообразной сферической частиц изучалось путем приближенного решения линеаризованных
уравнений Навье—Стокса операционным методом. Основной результат [5—8] сформулирован в выводе, согласно которому, безразмерные скорости и/им для твердой частицы и газового пузырька тех же размеров близки по величине.
Подробный обзор результатов теоретических и экспериментальных работ по нестационарному всплытию пузырька представлен в работе [9]. Цель настоящей работы — экспериментально-теоретическое исследование нестационарного режима всплытия одиночного сферического пузырька в вязкой жидкости.
1. Теоретический анализ. Рассматривая только прямолинейное движение центра пузырька, оценим силу сопротивления FC, действующую на пузырек при его нестационарном движении в вязкой жидкости. Используется подход [10] для нахождения FC в случае твердого шарика.
Аналогично [10] изучается течение жидкости при малых числах Рейнольдса и предполагается сферическая форма пузырька. Различие заключается только в том, что в случае твердого шарика на границе применяются условия прилипания жидкости, а в случае пузырька, заполненного газом с малой вязкостью, — условия непротекания через его границу, а также равенство нулю на этой границе касательных напряжений.
Сначала вычислим силу сопротивления, действующую на пузырек радиусом R при его гармонических колебаниях со скоростью u = umexp(—irot), где um — амплитуда колебаний; ш — частота колебаний; t — время. Так же, как и в [10], скорость жидкости будем находить в виде
V = exp(-irot)rotrot(/(r)um) (1.1)
Подставим (1.1) в уравнение
д
—rotV = vArotV
dt
в котором через v обозначена кинематическая вязкость жидкости. Для функции f (r) получим уравнение
А2 f + — Af = 0 (1.2)
v
Интегрируя (1.2), имеем
,, exp(i cr)í П b /л
f=a 2 (r--) + — (1.3)
r2 \ id r
где а, b — постоянные интегрирования. Поскольку ic = -(1 - ю/2v, правая часть (1.2) при r ^ да стремится к нулю. В сферических координатах компоненты скорости V с учетом (1.1) записываются как
f'
Vr = exp(-i®t)(rotrot/Um)r = 2exp(-irot)um cos 9— (1.4)
r
V0 = exp(-irat)(rotrot/Um)e = exp(-irat) (ica exp(icr) - f) um sin 9 (1.5)
\ r r!
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от направления вектора скорости пузырька.
Поскольку проекция радиальной скорости движения жидкости на поверхности пузырька равна скорости точек его поверхности в направлении радиуса r, для радиальной скорости при r = R из (1.4) получим
= - i (1.6) R 2
Тогда условие отсутствия на поверхности пузырька касательных напряжений
1 зуг + дУв -V) = 0
Vr 59 dr r J r=r с учетом (1.6), примет вид 3 + (3 _ ic)ica exp(icR) = 0
R \R ! R Откуда следует, что
ica exp(icR) -1 -1
R " 1 - icR/3 " 1 - (i - 1)Rq/3
где q = -у/ю/2у.
Для ограниченных значений ю и малых R таких, что (R/3)^/ra/2v ^ 1, пренебрегаем величиной (1 - i)(R/3)^/ю/2v в знаменателе по сравнению с единицей и полагаем
ica exp(icR) _ 1 (17)
R " . )
Проекция силы сопротивления пузырька FC на направление um вычисляется по формуле
п
FC = J (-P cos 9 + 2цcos 9)2nR 2sin9¿ 9 (1.8)
0
где Р — давление; ц — динамическая вязкость жидкости. Здесь учтено, что касательные напряжения на поверхности пузырька равны нулю.
Распределение давления при r = R находится путем интегрирования проекции уравнения движения жидкости на направление 0 по 0 при r = R
dVk = -±5P + vUn + 2дК - F^J (1.9)
dr pR 59 I е R2 59 R sin2 9J
где p — плотность жидкости. После подстановки скорости в (1.9) с учетом (1.6) и (1.7) и интегрирования по 0 находим, что
P = P0 exp(-iraí) + vpcos 9um exp(-iraí) I1 - ic + R(ic)2 -iapR I (1.10)
vR 2ц )
Поскольку интеграл (1.8) от константы P0 равен нулю, эта константа не вычислялась.
После подстановки в (1.8) давления Р и производной dVr/dr находим выражение для силы сопротивления пузырька, совершающего гармонические колебания со скоростью umexp(-iraí)
2
FC = -npR um exp(-iraí)
4v 2. , 2Л ., V2v Г
---ir + - (1 -i)-vra
R 3 3 R
(1.11)
где знак "—" указывает на направление силы сопротивления, противоположное направлению скорости пузырька.
Вычислим силу сопротивления, действующую на пузырек, движущийся с произвольной скоростью ы(г). Представим скорость пузырька через интеграл Фурье
да
ы(г) = — [ ы№ ехр (-'ю г)йю (1.12)
2п
где ыф = | ы(т)ехр(;ют)йт.
—да
Сила сопротивления для данного случая представляется в виде интеграла от сил сопротивления, получающихся при движении со скоростями, равными компонентам Фурье ыю ехр(-;'юг). Эти силы рассчитываются по формуле (1.12), принимающей с учетом (йы/йг)а = -;'юыш вид
„3 , . 4v , 2¡йы\ , 2л/2у(1 +')^ /1114
-прЯ ехр(-/юг)1 —2ыю + -1 — 1 + - 4 ' \ (П3)
^Я¿ 3\Л!а 3 Я л/ю )
Соотношение (1.13) отличается от аналогичной формулы для твердого шарика [10] только множителями в первом и третьем слагаемых. Поэтому и интеграл Фурье будет отличаться от аналогичного интеграла для твердого шарика лишь этими коэффициентами. Повторяя выкладки, приведенные в [10], получим
¥с = -2прЯ3
( ^ I \
йы йт
1 Ли + 2у ы + 2 Я /х Г 3 ЛЯ 2 3 йтТТ—
(1.14)
Первое слагаемое в выражении (1.14) описывает силу, обусловленную присоединенными массами при потенциальном обтекании сферы. Второе дает вклад в вязкое сопротивление в соответствии с формулой Рыбчинского—Адамара для пузырька. Третье слагаемое описывает силу Бассе, которая для пузырька в 9/2 раз меньше, чем для твердого шарика.
Рассмотрим модель всплытия пузырька в неограниченной вязкой жидкости. С учетом сил тяжести, Архимеда и сопротивления уравнение его движения имеет вид
УрР,^ = -1 Урр йи - 4пцЯы - Ур(рр-р)£ - 4 пЯ2Я ) (1.15)
йг 2 йг 3 * йтЯг - т
—да
где Ур — объем пузырька; рр — плотность газа; g — ускорение свободного падения. Поскольку рр < р, слагаемыми с рр в (1.15) пренебрегаем.
Вводя характерный временной масштаб Т0 = рЯ2 /бц и безразмерное время г = г /Т0, уравнение (1.15) запишем как
т
йы , ,, , 12 с йы Лт
£ + " + £ - 2gT) (1.16)
Лт Ък* йг 4г - т
—да
Используя условия ы(0) = 0 и йы/йт = 0 при т < 0, представим (1.16) в форме
йи сйы ,— , 2 гйы йт г
— + I— й т + .— I--,_ = 2gTo
йг чт ч3п йт Vг -т
0 0
ЗО
Вводя ускорение a = du/dt , запишем
t ._t
a + \adt + J— fa ,d = 2gT0
J \3n VT—T °
Последнее уравнение имеет точное решение
a(t) = -^П gT0 j exp (-|7x)(cosJf7x - -^sin^^txj exp(-x 2)dx
которое находится операционным методом с применением преобразования Лапласа [11].
7
После нахождения ускорения скорость вычисляется как u(t) = Ja(t )dt .
о
2. Экспериментальное исследование. Эксперименты проводились на установке, состоящей из прозрачной кюветы с плоскопараллельными стенками, наполненной рабочей жидкостью, устройства для генерации пузырьков и системы визуализации процесса всплытия одиночного пузырька (фиг. 1).
Кювета призматической формы размером 150 х 150 х 600 мм изготовлена из оптического стекла толщиной 5 мм. Для варьирования размера пузырька использовались иглы, расположенные в основании кюветы, с различным диаметром выходного отверстия.
Система визуализации включала источники света (люминесцентные лампы мощностью 18 Вт), установленные на задней панели по всей высоте кюветы, цифровую видеокамеру Panasonic HDC-SD60 и две высокоскоростные видеокамеры Citius C100. Многоракурсная видеосъемка исследуемого процесса позволила повысить точность и обеспечить контроль за изм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.