научная статья по теме О НОВОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ Математика

Текст научной статьи на тему «О НОВОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 5, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. И. А. Болграбская, Н. Н. Щепин

О НОВОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ

Предлагаются разные варианты представления упругих моментов, которые могут быть использованы при конечномерном моделировании стержневых систем с помощью системы п осесимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. На примере замкнутого плоского стержня проанализированы возможные состояния равновесия конечномерной модели стержня при различных способах задания упругих моментов в шарнирах. Детально изучен случай, когда ось стержня имеет вид "восьмерки", который моделируется системой шести осесимметричных твердых тел с относительным углом кручения, зависящим от изгиба.

При изучении динамики балочных конструкций широкое распространение получило моделирование этих конструкций с помощью системы твердых тел, связанных упругими шарнирами. В ряде задач эта замена [1—3] позволила получить обозримые аналитические оценки областей устойчивости стационарных режимов. Предложенный конструктивный алгоритм [4] позволяет находить резонансные скорости вращения изучаемого объекта в явном виде.

Основная особенность балочной теории и, как следствие, ее конечномерного аналога — предположение о малости относительных прогибов, что в случае конечномерной модели означает малость относительных углов поворота двух соседних тел. Для упругих объектов, у которых прогибы достигают значительной величины, используется теория упругих стержней. При этом, во-первых, учитывается геометрическая нелинейность (большие углы поворота), а во-вторых, — совместный изгиб и кручение стержня.

В последние годы появилось новое направление в использовании стержневых систем, а именно моделирование с их помощью третичной структуры молекулы ДНК, причем большое внимание было уделено определению равновесных конфигураций замкнутых стержневых систем (см., например, [5—9] ). Первыми полученными равновесными конфигурациями замкнутого стержня [5—7] были такие, в которых упругая ось стержня расположена в плоскости и представляет собой окружность или "восьмерку". Е.Л. Старостин в 2000 г. представил еще одно точное решение уравнений равновесия упругого замкнутого стержня, которое он назвал решением типа "розы". Был проведен [9] численный анализ этого решения. Отметим, что во всех указанных работах решения получены в виде сложных выражений, включающих специальные функции, и в дальнейшем возможен только их численный анализ.

Успешное применение конечномерной модели при изучении динамики балочных конструкций дает возможность предположить, что она даст ряд преимуществ и при изучении динамики нелинейных стержневых систем. Для изучения статики, а в дальнейшем и динамики стержневых объектов, была введена [10—12] конечномерная модель изотропного однородного упругого стержня. Стержень был представлен системой осесимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами.

Ниже показано, как уточнение представления упругого момента в шарнирном сочленении увеличивает число возможных равновесных конфигураций изучаемой системы. Детальный анализ проведен для случая плоской замкнутой оси стержня.

хСм. также: Кугушев Е.И., Пирогова Е.Е., Старостин Е.Л. Математическая модель образования трехмерной структуры ДНК. Препринт № 77. М.: РАН. Ин-т им. М.В. Келдыша. 1997. 24 с.

1. Момент в упругом шарнире. Рассмотрим изотропный однородный упругий стержень в предположении, что главные оси изгиба и кручения совпадают с главными осями инерции поперечного сечения стержня. В недеформированном состоянии ось стержня прямолинейна. В этом случае упругий момент имеет вид (закон Кирхгофа— Клебша) [13]

M(s) = Су [к^!(s) + К2в2(s)] + С2К363(s) (1.1)

где e:(s), e2(s), e3(s) — ортогональный базис связанной системы координат, третья ось которого направлена по касательной к осевой линии стержня, а векторы e:(s) и e2(s) — по главным центральным осям инерции поперечного сечения, s — дуговая координата, cl и c2 — соответственно изгибная и крутильная жесткости, к,- — компоненты вектора Дарбу в проекциях на оси e,(s).

Введем ортогональную неподвижную инерциальную систему координат Oxyz с ортами ex(s), ey(s), ez(s). Полагаем, что ось z направлена вдоль недеформированной оси стержня. Определим [14] положение связанной системы координат с ортами e:(s), e2(s), e3(s) по отношению к инерциальной системе Oxyz углами Крылова y(s), 9(s), 9(s). Компоненты вектора Дарбу в углах Крылова имеют вид [14]

JKll = у'cos 0<¡ Slnф 1 + 0'<¡ COSф 1, к3 = ф' - у'sln0 (1.2)

[к2 J [ cos pJ [ - sln pJ

Штрихом обозначена производная по s.

Рассмотрим систему n осесимметричных твердых тел, соединенных в точках Ok пересечения осей симметрии соседних тел Sk _: и Sk упругими сферическими шарнирами. Аналогично закону (1.1) полагаем, что упругий момент в k-м шарнире имеет вид

Mfc = Ci[Ket + K2k62k] + С2Kkek, k = 1, 2, ..., n (1.3)

1 2 3 „ 0 „ 12 3

где 6k, 6k, ek — орты связанной с телом Sk системы координат OkxkykZk, Kk, Kk, Kk —

компоненты конечномерного аналога вектора Дарбу, получаемого из соотношений (1.2) заменой

„,. Wk - Wk-1 0. 0k - 0k-1 . фk - фk-1

У = ---, 0 = -;-, ф = ---

hk hk hk

Здесь hk = OkOk +1 — длина тела Sk вдоль оси симметрии (при равных длинах тел Sk полагаем hk = h = const); углы Крылова yk, 9k, 9k определяют положение связанной системы координат Okxkykzk относительно неподвижной Oxyz, при этом значения углов у0, 0О, ф0 зависят от вида граничных условий. Таким образом, имеем

К} = Mk-i^ 0k{ sln 0k 1 + 0 k - 0 k - 1 < COs ^ } iKkJ hk l COsфkJ hk l-slnфk J

K3 = Pk-Pk-1 Уk - Уk- 1sin 0

Kk = -------sln 0k

hk hk

Отметим, что в рассматриваемом случае требуется малость разностей

Pk- Pk-1, Wk- Wk-1, 0k- 0k-1

а не углов, как в теории балок.

Для учета нелинейности разностей углов, определяющих относительное положение систем координат, связанных с телами Sk _ 1 и Sk, вектор Дарбу представим в виде [11]

3

к( 5) = 2 S е'( s )

i = 1

d ei( s) ds

В этом случае для конечномерной модели имеем

3

К =

J_

2h

S е'к -1 е'к,

к = 1, 2

, i-, ...,

n

(1.5)

ki = 1

Учитывая выражения для направляющих косинусов между осями связанной с телом Sk и инерциальной системами координат [4], получим

Í cos фк | Í sin фк |

COS У к i 1 + sin Ук sin 0к-

I - sin Фк J

+

1 cos Фк J_ Í sin Фк 1

ек+ cos0

Í sin Фк 1 "1 cos Фк J

ey +

I - cos Фк I

sin УЛ . 1 + cos У к sin 0ki 1 1 sin Фк J Icos Фк J.

(1.6)

ек = sin Укcos 0кех - sin 0кey + cos уcos 0кez Из выражений (1.5) находим

к

1

Lk? J 2^к

sin (Ук- У к -1)

cos0

Í sin Фк - / к1cosФк-ь

+ cos0

Í sin Фк 1

11cos Фк J

Í cos 0к - 1sin 0к cos Фк - cos 0к sin 0к - 1cos Фк - 1 I + cos (ук - Ук-1 )i 1 +

1 - sin 0к cos 0к -1 sin Фк + sin 0к -1 cos 0к sin Фк - 1 J

. Q Q Í cos Фк -1 I . n n Í - cos Фк I + sin 0к cos 0к -1 i . 1 + sin 0к -1 cos 0Л . i

-sin Фк - ь

sin Фк

(1.7)

3 1

K = — [cos(Vk- Vk-1)[ 1 + sinQksinQk-1 ]sin(фк- фк-1) -2 hk

- sin (Vk- Vk -1) [ sin 0 k +sin 0k -1] cos (фk- Фk -1) + cos 0kcos 0k -1sin (Фk- Фk -1) ]

Нетрудно убедиться, что в линейной постановке при учете малости разности углов формулы (1.7) совпадают с (1.4).

Отметим еще один случай, когда разность | ek — ek -11 не считается малой, но величиной (ek — ek -1 )2 можно пренебречь. Тогда из соотношений (1.5) и (1.6) получаем следующие выражения для компонентов вектора Дарбу:

3 Прикладная математика и механика, № 5

I = 1

IkÍJ = hk

•г \ a ísln 1 . n J cos Фk \

Sin(Vk - Vk- 1)cos0ki J + sln(0k - 0k- 1 )l . J

lcos Фк J l -sln Фк J

(1.8)

Kfc = -1 [ sin (Фк - Фк - 1) - sln (Vk - Vk - 1) sln 0k] hk

Подставляя последовательно выражения (1.4), (1,7) и (1.8) в равенства (1.3), получим три различных выражения для компонентов момента M(,s) в упругих сочленениях. Продемонстрируем возможности использования этих представлений упругого момента на примерах определения равновесных конфигураций в конечномерных замкнутых системах тел, соединенных упругими сферическими шарнирами.

2. Положение равновесия в замкнутой системе. Рассмотрим систему п связанных осесимметричных твердых тел, на которую не действуют внешние силы и моменты. В этом случае ее центр масс неподвижен. Пусть эта система моделирует замкнутую конфигурацию стержня и начальная точка 01 оси симметрии первого тела и конечная точка Оп + 1 оси симметрии последнего тела 8п совпадают. Полагаем, что по углу кручения ф система совершает целое число оборотов. Тогда из этих граничных условий следует

(2.1)

Фо = ф„ + 2пт, фп +1 = фц - 2пт

Vo = Vn, Vn+1 = V1, 0о = 0«, 0«+1 = 01 где m — произвольное целое число. Кроме того, поскольку

£ Ok Ok +1 = X hk 4 = 0

то, учитывая соотношения (1.6), получим

£ hk sln Vk cos 0k = 0, £ hk sln 0k = 0, £ hk cos Vk cos 0k = 0 (2.2)

Здесь и далее, если не оговорено иное, к = 1, 2, ..., n и суммирование ведется по к от 1 до n.

Будем считать, что действие тела Sk _: на тело Sk (тела Sk +: на тело Sk) характеризует сила Rk и упругий момент Мк (сила —Rk +: и упругий момент —Mk +:), приложенные в точке Ок (в точке Ок +1). Тогда положение равновесия тела Sk определяется из уравнений

Rk = Rk +1 = R (2.3)

Mk - Mk +1 - hk X Rk +1 = 0 (2.4)

Так как система тел замкнута, в уравнениях (2.3) и (2.4) полагаем R« +1 = -R1, M« +1 = -M1

Проектируя уравнения (2.4) при учете соотношений (1.6) и (2.3) на неподвижные оси Оху1, получаем систему уравнений

Mxk - Mxk +! + hk (Rz sin 0k + Ry cos Vk cos 0k) = 0

M - Mk +1 + hk (Rz sin Vk - Rx cos Vk) cos 0k = 0 (2-5)

Mzk - Ml +1 - hk(Ry sin Vkcos 0k + Rx sin 0k) = 0

Система уравнений (2.2) и (2.5) позволяет определить равновесную конфигурацию, а также найти компоненты силы реакции.

Остановимся на случае, когда оси симметрии тел лежат в одной плоскости. Будем

3

считать, что 9k = 0, при этом оси симметрии тел Sk лежат в плоскости Oxz, ey 1 ek и Ry = 0. Тогда второе соотношение (2.2) тождественно выполняется, а остальные принимают вид

^ hk sin Vk = 0, ^ hk cos Vk = 0 (2.6)

3

Проектируя равенство (2.4) на оси ey и ek, имеем

Myk - Mk +1 = hk(Rx cos Vk - Rz sin Vk), MÍ = M¡ +1 (2.7)

Рассм

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком