ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. И. А. Болграбская, Н. Н. Щепин
О НОВОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ
Предлагаются разные варианты представления упругих моментов, которые могут быть использованы при конечномерном моделировании стержневых систем с помощью системы п осесимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами. На примере замкнутого плоского стержня проанализированы возможные состояния равновесия конечномерной модели стержня при различных способах задания упругих моментов в шарнирах. Детально изучен случай, когда ось стержня имеет вид "восьмерки", который моделируется системой шести осесимметричных твердых тел с относительным углом кручения, зависящим от изгиба.
При изучении динамики балочных конструкций широкое распространение получило моделирование этих конструкций с помощью системы твердых тел, связанных упругими шарнирами. В ряде задач эта замена [1—3] позволила получить обозримые аналитические оценки областей устойчивости стационарных режимов. Предложенный конструктивный алгоритм [4] позволяет находить резонансные скорости вращения изучаемого объекта в явном виде.
Основная особенность балочной теории и, как следствие, ее конечномерного аналога — предположение о малости относительных прогибов, что в случае конечномерной модели означает малость относительных углов поворота двух соседних тел. Для упругих объектов, у которых прогибы достигают значительной величины, используется теория упругих стержней. При этом, во-первых, учитывается геометрическая нелинейность (большие углы поворота), а во-вторых, — совместный изгиб и кручение стержня.
В последние годы появилось новое направление в использовании стержневых систем, а именно моделирование с их помощью третичной структуры молекулы ДНК, причем большое внимание было уделено определению равновесных конфигураций замкнутых стержневых систем (см., например, [5—9] ). Первыми полученными равновесными конфигурациями замкнутого стержня [5—7] были такие, в которых упругая ось стержня расположена в плоскости и представляет собой окружность или "восьмерку". Е.Л. Старостин в 2000 г. представил еще одно точное решение уравнений равновесия упругого замкнутого стержня, которое он назвал решением типа "розы". Был проведен [9] численный анализ этого решения. Отметим, что во всех указанных работах решения получены в виде сложных выражений, включающих специальные функции, и в дальнейшем возможен только их численный анализ.
Успешное применение конечномерной модели при изучении динамики балочных конструкций дает возможность предположить, что она даст ряд преимуществ и при изучении динамики нелинейных стержневых систем. Для изучения статики, а в дальнейшем и динамики стержневых объектов, была введена [10—12] конечномерная модель изотропного однородного упругого стержня. Стержень был представлен системой осесимметричных твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами.
Ниже показано, как уточнение представления упругого момента в шарнирном сочленении увеличивает число возможных равновесных конфигураций изучаемой системы. Детальный анализ проведен для случая плоской замкнутой оси стержня.
хСм. также: Кугушев Е.И., Пирогова Е.Е., Старостин Е.Л. Математическая модель образования трехмерной структуры ДНК. Препринт № 77. М.: РАН. Ин-т им. М.В. Келдыша. 1997. 24 с.
1. Момент в упругом шарнире. Рассмотрим изотропный однородный упругий стержень в предположении, что главные оси изгиба и кручения совпадают с главными осями инерции поперечного сечения стержня. В недеформированном состоянии ось стержня прямолинейна. В этом случае упругий момент имеет вид (закон Кирхгофа— Клебша) [13]
M(s) = Су [к^!(s) + К2в2(s)] + С2К363(s) (1.1)
где e:(s), e2(s), e3(s) — ортогональный базис связанной системы координат, третья ось которого направлена по касательной к осевой линии стержня, а векторы e:(s) и e2(s) — по главным центральным осям инерции поперечного сечения, s — дуговая координата, cl и c2 — соответственно изгибная и крутильная жесткости, к,- — компоненты вектора Дарбу в проекциях на оси e,(s).
Введем ортогональную неподвижную инерциальную систему координат Oxyz с ортами ex(s), ey(s), ez(s). Полагаем, что ось z направлена вдоль недеформированной оси стержня. Определим [14] положение связанной системы координат с ортами e:(s), e2(s), e3(s) по отношению к инерциальной системе Oxyz углами Крылова y(s), 9(s), 9(s). Компоненты вектора Дарбу в углах Крылова имеют вид [14]
JKll = у'cos 0<¡ Slnф 1 + 0'<¡ COSф 1, к3 = ф' - у'sln0 (1.2)
[к2 J [ cos pJ [ - sln pJ
Штрихом обозначена производная по s.
Рассмотрим систему n осесимметричных твердых тел, соединенных в точках Ok пересечения осей симметрии соседних тел Sk _: и Sk упругими сферическими шарнирами. Аналогично закону (1.1) полагаем, что упругий момент в k-м шарнире имеет вид
Mfc = Ci[Ket + K2k62k] + С2Kkek, k = 1, 2, ..., n (1.3)
1 2 3 „ 0 „ 12 3
где 6k, 6k, ek — орты связанной с телом Sk системы координат OkxkykZk, Kk, Kk, Kk —
компоненты конечномерного аналога вектора Дарбу, получаемого из соотношений (1.2) заменой
„,. Wk - Wk-1 0. 0k - 0k-1 . фk - фk-1
У = ---, 0 = -;-, ф = ---
hk hk hk
Здесь hk = OkOk +1 — длина тела Sk вдоль оси симметрии (при равных длинах тел Sk полагаем hk = h = const); углы Крылова yk, 9k, 9k определяют положение связанной системы координат Okxkykzk относительно неподвижной Oxyz, при этом значения углов у0, 0О, ф0 зависят от вида граничных условий. Таким образом, имеем
К} = Mk-i^ 0k{ sln 0k 1 + 0 k - 0 k - 1 < COs ^ } iKkJ hk l COsфkJ hk l-slnфk J
K3 = Pk-Pk-1 Уk - Уk- 1sin 0
Kk = -------sln 0k
hk hk
Отметим, что в рассматриваемом случае требуется малость разностей
Pk- Pk-1, Wk- Wk-1, 0k- 0k-1
а не углов, как в теории балок.
Для учета нелинейности разностей углов, определяющих относительное положение систем координат, связанных с телами Sk _ 1 и Sk, вектор Дарбу представим в виде [11]
3
к( 5) = 2 S е'( s )
i = 1
d ei( s) ds
В этом случае для конечномерной модели имеем
3
К =
J_
2h
S е'к -1 е'к,
к = 1, 2
, i-, ...,
n
(1.5)
ki = 1
Учитывая выражения для направляющих косинусов между осями связанной с телом Sk и инерциальной системами координат [4], получим
Í cos фк | Í sin фк |
COS У к i 1 + sin Ук sin 0к-
I - sin Фк J
+
1 cos Фк J_ Í sin Фк 1
ек+ cos0
Í sin Фк 1 "1 cos Фк J
ey +
I - cos Фк I
sin УЛ . 1 + cos У к sin 0ki 1 1 sin Фк J Icos Фк J.
(1.6)
ек = sin Укcos 0кех - sin 0кey + cos уcos 0кez Из выражений (1.5) находим
к
1
Lk? J 2^к
sin (Ук- У к -1)
cos0
Í sin Фк - / к1cosФк-ь
+ cos0
Í sin Фк 1
11cos Фк J
Í cos 0к - 1sin 0к cos Фк - cos 0к sin 0к - 1cos Фк - 1 I + cos (ук - Ук-1 )i 1 +
1 - sin 0к cos 0к -1 sin Фк + sin 0к -1 cos 0к sin Фк - 1 J
. Q Q Í cos Фк -1 I . n n Í - cos Фк I + sin 0к cos 0к -1 i . 1 + sin 0к -1 cos 0Л . i
-sin Фк - ь
sin Фк
(1.7)
3 1
K = — [cos(Vk- Vk-1)[ 1 + sinQksinQk-1 ]sin(фк- фк-1) -2 hk
- sin (Vk- Vk -1) [ sin 0 k +sin 0k -1] cos (фk- Фk -1) + cos 0kcos 0k -1sin (Фk- Фk -1) ]
Нетрудно убедиться, что в линейной постановке при учете малости разности углов формулы (1.7) совпадают с (1.4).
Отметим еще один случай, когда разность | ek — ek -11 не считается малой, но величиной (ek — ek -1 )2 можно пренебречь. Тогда из соотношений (1.5) и (1.6) получаем следующие выражения для компонентов вектора Дарбу:
3 Прикладная математика и механика, № 5
I = 1
IkÍJ = hk
•г \ a ísln 1 . n J cos Фk \
Sin(Vk - Vk- 1)cos0ki J + sln(0k - 0k- 1 )l . J
lcos Фк J l -sln Фк J
(1.8)
Kfc = -1 [ sin (Фк - Фк - 1) - sln (Vk - Vk - 1) sln 0k] hk
Подставляя последовательно выражения (1.4), (1,7) и (1.8) в равенства (1.3), получим три различных выражения для компонентов момента M(,s) в упругих сочленениях. Продемонстрируем возможности использования этих представлений упругого момента на примерах определения равновесных конфигураций в конечномерных замкнутых системах тел, соединенных упругими сферическими шарнирами.
2. Положение равновесия в замкнутой системе. Рассмотрим систему п связанных осесимметричных твердых тел, на которую не действуют внешние силы и моменты. В этом случае ее центр масс неподвижен. Пусть эта система моделирует замкнутую конфигурацию стержня и начальная точка 01 оси симметрии первого тела и конечная точка Оп + 1 оси симметрии последнего тела 8п совпадают. Полагаем, что по углу кручения ф система совершает целое число оборотов. Тогда из этих граничных условий следует
(2.1)
Фо = ф„ + 2пт, фп +1 = фц - 2пт
Vo = Vn, Vn+1 = V1, 0о = 0«, 0«+1 = 01 где m — произвольное целое число. Кроме того, поскольку
£ Ok Ok +1 = X hk 4 = 0
то, учитывая соотношения (1.6), получим
£ hk sln Vk cos 0k = 0, £ hk sln 0k = 0, £ hk cos Vk cos 0k = 0 (2.2)
Здесь и далее, если не оговорено иное, к = 1, 2, ..., n и суммирование ведется по к от 1 до n.
Будем считать, что действие тела Sk _: на тело Sk (тела Sk +: на тело Sk) характеризует сила Rk и упругий момент Мк (сила —Rk +: и упругий момент —Mk +:), приложенные в точке Ок (в точке Ок +1). Тогда положение равновесия тела Sk определяется из уравнений
Rk = Rk +1 = R (2.3)
Mk - Mk +1 - hk X Rk +1 = 0 (2.4)
Так как система тел замкнута, в уравнениях (2.3) и (2.4) полагаем R« +1 = -R1, M« +1 = -M1
Проектируя уравнения (2.4) при учете соотношений (1.6) и (2.3) на неподвижные оси Оху1, получаем систему уравнений
Mxk - Mxk +! + hk (Rz sin 0k + Ry cos Vk cos 0k) = 0
M - Mk +1 + hk (Rz sin Vk - Rx cos Vk) cos 0k = 0 (2-5)
Mzk - Ml +1 - hk(Ry sin Vkcos 0k + Rx sin 0k) = 0
Система уравнений (2.2) и (2.5) позволяет определить равновесную конфигурацию, а также найти компоненты силы реакции.
Остановимся на случае, когда оси симметрии тел лежат в одной плоскости. Будем
3
считать, что 9k = 0, при этом оси симметрии тел Sk лежат в плоскости Oxz, ey 1 ek и Ry = 0. Тогда второе соотношение (2.2) тождественно выполняется, а остальные принимают вид
^ hk sin Vk = 0, ^ hk cos Vk = 0 (2.6)
3
Проектируя равенство (2.4) на оси ey и ek, имеем
Myk - Mk +1 = hk(Rx cos Vk - Rz sin Vk), MÍ = M¡ +1 (2.7)
Рассм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.