МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 533.6.013.42
© 2008 г. В.Г. ГРИГОРЬЕВ
О ПАРАДОКСАХ ФОРМАЛЬНОГО ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Распространенный подход к определению собственных значений одномерной краевой задачи состоит в записи решения дифференциального уравнения в общем виде, содержащем неопределенные коэффициенты, и построении системы однородных линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять эти коэффициенты, на основе выражений для краевых условий. Собственное значение определяется из условия равенства нулю определителя построенной системы.
В классических задачах (колебания струны, стержня и т.п.) данный прием, как правило, не вызывает затруднений, хотя, например, в работе [1, с. 220] рассмотрены и исследованы примеры, в которых нулевое значение частоты, удовлетворяющее построенному характеристическому уравнению, не является собственной частотой. Покажем, что подобная ситуация в случаях более сложных, чем классические, может привести к парадоксальным выводам и ошибочным результатам.
Рассмотрим уравнение колебаний прямолинейной трубы с протекающей в ней жидкостью [2], в котором учтены эффекты центробежных и кориолисовых сил, действующих на трубу со стороны жидкости:
34w , 32w , d2w , d2w „
-— + a — + b T-J- + с —- = 0
Эх4 dt2 dtdx Эх2 (1)
a = (m1+ m2)/(EJ), b = 2vm2/(EJ), с = и m2/(EJ)
Здесь m1 и m2 - погонные массы трубы и жидкости, EJ - изгибная жесткость трубы, и - скорость течения жидкости. Уравнение (1) дополняется краевыми условиями на концах трубы х = 0 и х = l.
Если представить решение в виде w(x, t) = y(x)ekt, то задача о собственных значениях комплексного характеристического показателя X формулируется [2] в виде линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (зависящими от X):
yV + a X2 y + b Xy' + су" = 0 (2)
дополненного линейными однородными краевыми условиями, которые запишем в общем виде:
L[у] = 0, L2[y] = 0 при х =0 (3)
L3[y] = 0, L4[y] = 0 при х = l (4)
Здесь L1, L2, L3, L4 - линейные функционалы, определяемые значениями соответствующих краевым условиям выражений (в общем случае дифференциальных) в граничных точках.
Соответствующее (2) характеристическое уравнение имеет вид:
р4 + ер2 + ЪХр + а X2 = 0 (5)
так что в предположении, что все четыре его корня р1 различны, фундаментальная система решении уравнения (2) состоит из четырех экспонент е . Подстановка общего вида решения уравнения (2):
п Р1Х _1_ п Р2Х . П РзХ . П Р4Х у = С1е + С2е + С3 е + С4е (6)
в краевые условия (3), (4) дает для определения неизвестных коэффициентов однородную систему линеИных алгебраических уравнении с матрицей вида
А(Х) =
т г Р1 Х1 М е ] Т Г р2Хл ¿Д е ] Т Г РЗ Х1 ¿1[ е ] Т Г р4Х ¿1[ е
р Х ¿2[ е ] 12[ ер2 Х ] рХ ¿2 [ е ] р4 Х ¿2[ е
р Х Ьз[ е ] ¿З[ ер2 Х ] рХ ¿З[ е ] ¿з[ ер4 Х:
Т Г Р1 Х1 е ] Т Г р2Х1 ¿4[ е ] т г рзхП ¿4[ е ] Т Г р4Х ¿4 [ е
(7)
Необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения этоИ системы является равенство нулю определителя матрицы:
а^А (X) = 0 (8)
Как правило, уравнение (8) называют характеристическим, несмотря на то, что означенное условие необходимое, но не достаточное для существования ненулевого решения краевоИ задачи (2), (3), (4). Это означает, что все собственные значения являются корнями уравнения (8), но не обязательно все корни окажутся собственными значениями (см. [1]).
Чтобы понять причину этого, заметим, что корни уравнения (5) являются функциями характеристического показателя X: р^ = рг(Х), / = 1, 2, 3, 4. При определенных значениях X некоторые корни могут оказаться кратными. Подстановка кратных корнеИ в матрицу (7) приводит к нулевому значению определителя в силу равенства столбцов. Сближение значении пары корнеИр^ соответствует стремлению определителя к нулю.
Однако предельная ситуация соответствует качественно иноИ фундаментальноИ системе. Допустим, при X = X* имеется пара кратных корнеИ р1(Х*) = р2(Х*), но р1(Х*) Ф р3^*), р^*) Ф р4^*), р3^*) Ф р4^*). Тогда истинная фундаментальная систе-
, „ р1 х Р1 х рзх Р4х ,
ма состоит из функции е , хе , е , е , и именно эти функции надо подставлять
в выражения (3) и (4), а также (6).
Таким образом, для каждого значения показателя X, соответствующего наличию кратных корнеИ уравнения (5), необходимо построить специфическую фундаментальную систему и соответствующую еИ матрицу. Если полученная матрица не вырожденная, то следует констатировать: несмотря на то, что данное значение X - корень уравнения (8), оно не является собственным значением, поскольку ему не соответствует ненулевое решение краевоИ задачи (2), (3), (4).
В работе [3, с. 303 - 332] проведено исследование собственных значениИ задачи (2) для случаев шарнирно опертоИ и консольно закрепленноИ трубы в зависимости от скорости протекающеИ жидкости. Исследование корнеИ уравнения (8) в указанноИ работе проводилось численно путем сканирования прямоугольноИ области комплексноИ плоскости на заданном растре. При этом были выявлены корни, поведение которых
Фиг. 1
не соответствует основным принципам механики, если допустить, что они являются собственными значениями.
Эти корни названы в [3] "сверхнизкими частотами", поскольку с увеличением скорости жидкости их абсолютные значения возрастают от нуля и пересекают траектории реальных собственных частот без взаимодействия с ними, что требует комментариев. Еще более труднообъяснимым обстоятельством является то, что значения "сверхнизких частот" получаются одинаковыми независимо от вида краевых условий - как для шарнирного опирания, так и для консольного закрепления при одинаковых скоростях жидкости.
В работе [3] не проводилось исследование корнейpi характеристического уравнения (5) на предмет кратности. Проведенные в данной работе численные исследования показали, что "сверхнизкие частоты" обязаны своим появлением совпадению двух корней р.
Рассмотрим более подробно численный пример, приведенный в [3]. Исследуются собственные частоты колебаний шарнирно опертой трубы с параметрами: длина 2 м, наружный диаметр 40 мм, толщина стенки 1.5 мм, модуль упругости 3 ■ 107 Н/м2, плотность материала 500 кг/м3, плотность жидкости 1000 кг/м3. Этим данным соответствуют значения т1 = 0.090713, т2 = 1.07521, Е1 = 1.00998, и соответственно коэффициенты уравнения (1): а = 1.15440, Ь = 0.85167, с = 0.17033.
В процессе исследования уравнения (8) при помощи специально разработанной компьютерной программы обнаружено, что при увеличении скорости течения жидкости от нуля действительно появляются две пары чисто мнимых корней (фиг. 1, скорость и = 0.4 м/с, сечение Яе X = 0), абсолютные величины которых увеличиваются с ростом скорости. Однако при этом наблюдаются два мнимых корня характеристического уравнения (5), сближающиеся при перемещении по мнимой оси комплексной плоскости значений X к указанным корням уравнения (8).
Это обстоятельство, характерное для данного сочетания параметров, позволило провести аналитическое исследование. Допустив, что рх - двукратный корень уравнения (5), преобразуем левую часть уравнения к виду:
(р - Р1 )2[р2 + 2Р!р + (с + 3р1)] + (4р1 + 2ср1 + ЬX)р + (3р? + ср\ — аX2) = 0
откуда видно, что необходимым и достаточным условием существования корня кратности не менее чем 2, является существование решения системы двух уравнений с двумя неизвестными р1 и X:
4 р3 + 2 ср1 + Ь X = 0, 3 р4 + ср2 — aX2 = 0 (9)
Фиг. 2
Положим X = 0 + /ю, и будем искать только чисто мнимые кратные корни р1 = 0 + /а. Система уравнений (9) относительно неизвестных а и ю приобретает вид:
4а3-2 са - Ь ю = 0, 3 а4- с а2 + а ю2 = 0 (10)
Решения системы (10) могут быть получены графически на плоскости (а, ю) в виде координат точек пересечения кривой, описываемой уравнением:
юДа) = 2а( 2а2- с)/Ь
с любой из двух кривых, описываемых уравнениями:
ю+ (а) = а7(с - 3а2)/а, ю2(а) = -а7(с - 3а2)/а
Заметим, что при других значениях параметров (например, при толщине стенки трубы 3 мм) возможно отсутствие пересечения указанных кривых. При этом получались кратные корни с комплексными значениями при комплексных X.
Для скорости и = 0.4 м/с эти кривые изображены на фиг. 2. Точки пересечения выявляют четыре ненулевые корня, соответствующие значениям ю = ±0.040413 (а = +0.12275) и ю = ±0.043368 (а = +0.19354).
В случае шарнирного опирания концов трубы матрица (7) имеет вид:
А(Х) =
1 1 1 1
2 2 2 2
Р1 Р2 Р3 Р4
Р11 Р21 Р31 Р41
е е е е
2 Р11 2 Р21 2 Р31 2 Р41
Р\е Р2е Р3е
Р 4е
(11)
Если же первый корень р1 в точке X = X* двукратный, то в этой точке из краевых условий и фундаментальной системы решений получаем матрицу:
A* (X * ) =
1 0 l l
2 Pl 2 Pl 2 P3 2 P4
Pli е , Pll le P3l e P4l e
2 Pl1 /1 . 2,4 Pll 2 P3l 2 P4l
Р4е
(12)
В табл. приведены значения корней уравнения (8), соответствующие гипотетическим "сверхнизким частотам", а также соответствующие им корни полинома (5) и абсолютные величины определителей матриц (11) и (12):
n Xn P1(Xn) P2(Xn) P3(Xn) P4(Xn) |det A(Xn)| |det A*(Xn)|
1 -0.043364; 0.19354; 0.19354; 0.11537; -0.50244; 0 0.006509
2 -0.040413; 0.12275; 0.12275; 0.25169; -0.49718; 0 0.01703
3 0.040413; -0.12275; -0.12275; -0.25169; 0.49718; 0 0.01703
4 0.043364; -0.19354; -0.19354; -0.11537; 0.50244; 0 0.006509
Из табл. видно, что в указанных точках Хп, соответствующих корням уравнения (8), один из корней полинома (5) имеет кратность 2, а определитель матрицы, получаемой на основе истинной фундаментальной системы решений, существенно отличен от нуля. Следовательно, эти корни не являются собственными значениями краевой задачи (2), что снимает вопрос о "странности" их поведения.
Естественно, что корни уравнения (8), обязанные своим появлением кратности корней полинома (5), никак не связаны с видом краевых условий (3), (4). Этим объясняется независимость не являющихся собственными "сверхнизких частот" от краевых условий задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00698).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.