о параметрической неустойчивости
1959
ЭН
Umz = "ду, Ui = U2 на Еь
- P2 + 2 V2P2
ЭЦ"
Э z
= -P,
U2z = U3z,
Л л аДЗ Э U21 E
U2^ - U3^ = -033-ЭГ На E2.
Здесь (1.1) - уравнения Навье-Стокса и непрерывности, а первое уравнение (1.2) - уравнение Дарси (см. [1]), а3 - безразмерная величина, характеризующая структуру проницаемого материала вблизи E2 (см. [2]).
Декартова система координат xyz выбрана так, что плоскость xy совпадает с границей раздела E жидкостей, а орт ez направлен вертикально вверх. Уравнения границ раздела Eb E2 есть z = 0, z = -h2 соответственно, а уравнения частей поверхностей Su S3, являющихся, соответственно, крышкой и дном сосуда, имеют вид z = hx, z = -h3 (h3 > h2), т.е. высота пористого слоя h = h3 - h2.
За единицу длины примем характерный размер d сосуда, а за единицу времени - величину, обратную к наименьшей частоте ю(0) собственных колебаний идеальной двухслойной жидкости в замкнутом сосуде. Положим
Um = d Ю(0)( Vm - Уфт), Pm = -Pmgz + Pm (d W^)^ - PmzsQ2 COS (Q t), H = ] d,
U3 = dю(0)u, P3 = -P2gz + P2(dЮ(0))2p - P2zsQ2cos(Qt).
Сохраняя за независимыми безразмерными переменными прежние обозначения, для функций 9m, vm, n, p, u получаем задачу
A n dv m 2 .
A9m = 0, = £ ^mAVm
div vm = 0 в Dm
(1.3)
u = -£1 Vp, Ap = 0 в D3, V9m = Vm на Sm, (u • n) = 0 на S3,
(1.4)
(1.5)
^¡7- P17) - (1- P)[ 1+ £2cos(Qt)]n = £22F
iv
2z
Э z
- PV
Э v1z Э Ф2
dz
Э zZ
2
Э Ф1 PV—г
Э z
(1.6)
Эт] = д <p m
dt Vmz Э z
Э v Э v
—2i - Pvfe + ^
Э ? P4 dz
эz э? эz э? )
—Ф2- — Ф1 = V2-Vi на El,
2
Ф9 Э v 77
2 2z p
Э2 ф2 „ Э2®1 -2 +2 PV -л;-""-"- = 0,
^ + 2e2 dt
Э z^
dz
(1.7)
Э Ф 2
' dz
v
2?
- ЭФ2 + £ Г Э 2 Ф 2 Э
v2
Э? 3Vdzd^ dz
21 =
= u на E2.
Здесь = v51m + 52т, V = v1/v2, р = р1/р2, е2 = 1/Я, Я = сРю(0)^2 - число Рейнольдса, е1 = RDa,
Da = к3/сС2 - число Дарси, е2 = sQ2/g, е3 = -Тба/а3, ^ = (m(0))2d/g, 5^ - символ Кронекера. Считаем, что Я > 1 (е < 1), Da < 1, но RDa < 1. Положим е1 = ев, е2 = е1/?у (# = 1, 2). Из соотношений для е и е1 следует, что е3 = е3/2Х (в, у, X = 0(1)).
1960 КРАВЦОВ
Задача (1.3)—(1.7) является сингулярно возмущенной, так как содержит малый параметр е2 при старшей производной. Асимптотическое решение будем искать в виде
1/2 1/2 Фм = Фт = Фм0 + е Фм1 + еФм2 + - , П = По + е П1 + еП2 + - ,
Ут = $Ут + 2 Ут + 62м2 У2 = 8о\т + е $1 Ут + — ,
. „(1) . 1/2„ (1) , 5 _(2) , 1/2 ~ „(2) . + 20 У т + е У т + - + 52м20 >2 + е 62т>2+ -
1/2 1/2 и = Ы0 + е Ы1+ еи2 + —, р = р() + е Р1 + ер2 + —
(1.8)
Здесь Фт, п, и, р - регулярные части асимптотического разложения, а $уМ, 2(1)уМ, 2(2)у2 - по-гранслойные части, существенные лишь в подобластях 0$ , 02 , 02 , примыкающих к поверхностям $ш, 21 и 22 соответственно (пограничные слои только в областях 0ш). Функции Фт0, п0 описывают собственные колебания частоты ю идеальной двухслойной жидкости, полностью заполняющей замкнутый сосуд высоты к1 + к2 с непроницаемым дном, и имеют вид (см. [3])
Фт0 = С/т0СО$ ц, П0 = -С 1:Юр(/20 - Р /10 ^ = 0, ^ = Ю
где/т0 являются ненулевыми решениями задачи
Д/т0 = 0 В От, = 0 на $1, / = 0 на $2 и 22
-/20 Э/10 -/20 р-/10 2 (г Г ) 2
"эТ = "ЭТ' ИГ~р"эТ = (/20-Р/10) на 21.
Здесь и далее д/дп - производные по направлениям внутренних нормалей к границам областей 0к, к = 1, 2, 3.
Согласно идее метода усреднения Крылова-Боголюбова, будем считать, что амплитуда С и скорость изменения фазы йц/Л меняются со временем и что каждая из функций в (1.8) зависит от амплитуды С, фазы ц и разности фаз 0 = ц - дШ/2 (# = 1, 2).
Функции С и 0 удовлетворяют соотношениям
йС/йг = е1/2А1 (С, 0) + еА2(С, 0) + —, й0/йг = Д + е1/2В1 (С, 0) + еВ2(С, 0) + —, (1.9)
где Ап(С, 0), Вп(С, 0), п = 1, 2, ... - периодические функции 0, подлежащие вместе с коэффициентами разложений (1.8) определению из задачи (1.3)-(1.7), Д = ю - дЦ/2 - "расстройка" частот. Будем считать, что Д = О(е).
Для частных производных по г от неизвестных функций, входящих в (1.3)-(1.7), будем иметь разложения, отличные от (1.8). Приведем, например, разложения для дфт /дг:
^ = ю '-Ф"? + е'/2 Г * 1 (Фт0) + Ю Й?) + «Т*2 (Фт0) + К1 (Фт.) + юдФт2
-г дц ( 14 т0/ дц у ( 24т0' 14 т1 дц Кп(Фтк)-д-СкАп + (¿-М + ^)Вп, к = 0, 1,—, п = 1, 2,—.
В введем локальные ортогональные криволинейные координаты 51, s2, s3 (индекс т для краткости опустим), а в 02 и 02 - декартовы координаты х, уш, 2ш и х3, у3, г3 соответственно, аналогично тому, как это было сделано в [3].
Рассматриваем погранслойные члены $уМ, 2(1)уш, 2(2)у2 как функции "растянутых" переменных а = 53/е, = гш /е, = ^3/е соответственно.
О ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
1961
Требуем, чтобы погранслойные функции удовлетворяли соотношениям
$уМ —" 0 при а —► 2(1)уМ —► 0 при —- 2(2)у2 —► 0 при —- (1.10)
Подставляя разложения для всех неизвестных функций, а также разложения для частных производных по г от функций фш, уМ и п в (1.3)-(1.7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем последовательность задач для определения коэффициентов разложений (1.8).
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В СЛУЧАЕ СУБГАРМОНИЧЕСКОГО
РЕЗОНАНСА
Пусть частота О колебаний сосуда близка к величине 2ю (д = 1).
Погранслойные функции $0уш, $2уша, 201) ум, 221) 202) у2, 222) V^ совпадают с аналогичны-
ми функциями из [3] и имеют вид
S0Vmа = 201) V ^ = 20"V £з = 0
^ ехр(-ата) 008 (ц - а,^), ат = (^Ю-
(2),
Г, _ п и 1 д/т0
$0 Vml = СН10
1/2
I = 1, 2,
(ц )1/2
$2Vта = СI 2Ю1 Дп/т0\ехр(-ата)[8ш(ц- ата) + 008(ц- ата)], ,61 т ТрТ^т(-/10 -/20)
201) V % = С""
^ Ьт
1 + рЛ (
ехр (-атСт) 008 (ц - ат Ст),
где знак минус берется при = х, £ = х, плюс - при = ут, £ = у,
2( 2) V, = С
д /2
где £ = х при ^3 = Х3, £ = у при ^ = У3,
ехр(-а2Сз)008(ц - а2Сз),
уО v =
22 V ?т =
(6 - р62 )( V ) 1/2
С 1""+ р """"V "" (2~о"") (Д ху/10- Д ху/20 ) I 21 ехр (-ат Ст )[ 8in (ц - ат Ст ) + 008 (ц - ат Ст )],
222) V ь =
С
""""— ДхУ/20 | 2, ехр(-а2Сз)[8т(ц - а2^з) + 008(ц - а2^з)],
72 ю 2
где Н10 = Н^, 52, 0) - коэффициенты Ламе криволинейной системы координат 51, 52, 53 при 53 = 0,
Д12, Дху, Дху - двумерные операторы Лапласа по переменным 51, 52; х, ут; х3, у3 соответственно.
Из первого уравнения (1.4), рассмотренного с точностью 0(ек/2), к = 0, 1, получаем, что ик = 0 в О3.
Давление р0 удовлетворяет задаче
др
Др0 = 0 в 03, "-"""0 = 0 на $3, р0 = -ю/20Сsinц на 22.
Отсюда имеем
0Ь [ к (г + Из)] .
р0 = Ю /2012г 01а ( кИ ) С 8in ц,
где ю и к связаны соотношением :ю2[ йЬ(кИ2) + р йЬ(кИ1) ] = (1 - р)к.
Из первого уравнения (1.4), рассмотренного с точностью 0(1), получаем
и2 = -в — р0 В Оз.
2
1962 КРАВЦОВ
Определим пограислойные функции !) V^ и У(2) V^. Из второго уравнения (1.3), рас-
смотренного в DmS с точностью 0(е-1/2), и первого условия (1.10) получаем
51 Vma = 0, ^ vma -- 0 при О -►
т.е. S1vmст = 0. Аналогичным образом получаем, что У(1) V ^ = 2) V ^ = 0.
Найдем функции А1, В1. Для этого рассмотрим задачу для функций Фт1 и п1:
ЭФ,, ЭФ2,
АФт1 = 0 в Dm, -дПГ = 0 на -П = 0 на 52 и^, (2.1)
ЭФ21 ЭФ
^Ю-Э^-Р "Э^-(1-Р)П1 = Ярк (Ф10) - к 1 (Ф20)],
ЭФт1 , ЮЭП1 _ ) ЭФ21 _ ЭФ 1 1 „ у
-эТ + Юду _ 1 (п), — " — на
Исключая п1, вместо первого и второго условий на У1 получаем одно для функций Фт1:
(2.2)
^ю2
Э2 Ф21 рЭФ„
Эу2 Эу2
ЭФ21 ЭФ11
р -3-^ _ 2ЮРШ/20- р/ю),
Эг к Эг (2.3)
_ Ап8ту + СВпсо8у, п _ 1, 2,... .
Из соотношений (2.1), (2.3) следует, что Э2Фт1/Эу2 = -Фт1. Учтя это, запишем условия разрешимости задачи для Фт1, в которую у входит уже как параметр:
11(/т0Э!г- Фт!/2)^ _ 0, т _ 1, 2. (2.4)
Вычтем из соотношения (2.4) при т = 2 соотношение (2.4) при т = 1, умноженное на р. После несложных преобразований будем иметь
Э /2
(А^шу + СВ^оъУ)|Д-д^Ч ^ _ 0.
Отсюда получаем, что А1 = В1 = 0. В качестве частного решения задачи (2.1), (2.2) выберем тривиальное, т.е. положим Фт1 = 0 в Dm, п1 = 0 на У1.
Задача для функции р1 аналогична задаче для функциир0, но с однородным граничным условием на У2. Поэтому р1 = 0 в D3.
Найдем остальные функции первого приближения. Из второго уравнения (1.3), рассмотренного в DS с точностью 0(е1/2), первого условия (1.5), рассмотренного с точностью 0(е1/2), и первого условия (1.10) получаем задачи для , I = 1, 2:
Э с - Э2 с п
Ю V'т1 _ Мт " -т1 В DSm,
Эу Эо
= 0 на 5т, —- 0 при о —► +<~.
Отсюда следует, что = 0.
Из второго уравнения (1.3), рассмотренного в Dу с точностью 0(е1/2), третьего условия (1.6), рассмотренного с точностью 0(е-1/2), четвертого условия (1.6), рассмотренного с точностью 0(е1/2), и
О ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ второго условия (1.10) получаем задачи для 21V^ (£т = х, ут):
1963
д i)
d ^(i)
d i)„ _i. д „(1)
Ю ^ Е1 ^ = ^" Е1 ^ В PVddZ Е1 ^ 1 ^ Е1 ^ = 0'
dZ
dZ
dZ)
2((1)V+ 21иV^ = 0 на 21, 2}иV£т — 0 при Ст — +~, где верхний знак берется при £т = х, а нижний - при £ = ут. Отсюда следует, что 2( 1) v£ = 0.
Из второго уравнения (1.3), рассмотренного в 02 с точностью 0(е1/2), третьего условия (1.7), рассмотренного с точностью 0(е-1/2), и третьего условия (1.10) получаем задачи для 2(2) V^ (£3 = х3, У3):
.(i).
d .^(2) д „(2) ю --Г- —1 V с = —- — vc
ду 1 сз дС2 1 с
- D— ,
з —2'
—(2) v^ = а2 X (-fr0 C( sin y -cos на —2, —(2) v^ —► 0 при Z3
д f20 'Сз = ^2 X -Щ
Отсюда находим, что
,(2) _ а X дf20 VC3 = а2X
exp (-а2 Z3) C [ sin (y - а2 Z3) - cos (y - а2 Z3)] •
Для того чтобы найти функции А2, В2, рассмотрим задачу для функций Фт2 и п2. Имеем
дФ
АФИ2 = 0 в Dm, —п
т 2
= S2V ma На Sm >
рдФ12 V ду ду
- (1- р)п2 = F[рK2(Фю) - K2(Ф20)] + (1- P^cos [2(у - 0)],
дФ.«2, юдП) _ дФ22 дФп _ — (1) — ( 1)
+ ю"ЗТТГ = - K2(П0), —^^-------2 vZ2- —2 vZj на —ъ
д z
ду
дФ
22
dz dz
v(2) v
= -2 VZ3- U2z на —2 •
dz
Представим ф.2 в виде
ф 2 = ф21) + ф(32)
m2 2 m2
где Ф(12) зависит от у по законам sin у, cos у, а Ф^ - по законам sin(3y), cos(3y). Учитывая, что д Фт2/ду = -Фт2, для Фт2 получаем задачу
(1) _ дФ.12) _
^Фт2 = 0 В Dт> (у» = S2Vma на Sm>
дФ)2)
дФ((2)
dz "Pif-Fю2(ф22)-рф(2)) =
2Q2 + Ccos (у -20)
Fю( f 20- рf 10),
m
-
2
1964 КРАВЦОВ
ЭФ22 ЭФ12 _ (1) (1) . эф22) „(2)
-эг—ЭЭ7 _ 2 v^2 у2 vна уъ —= у vг,-^ на у2.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.