ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 968-979
УДК 519.624.2
О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВАН дер ПОЛЯ
© 2007 г. А. М. Тер-Крикоров
(141700 Долгопрудный, М. о., Институтский пер., 9, МФТИ, каф. высшей математики)
e-mail: ter-krikorov@mail.ru Поступила в редакцию 22.06.2006 г.
Для классического уравнения Ван дер Поля при < t < исследуются решения, описывающие переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому предельному циклу. Построены формальные ряды по степеням малого параметра. Показано, что коэффициенты рядов являются периодическими функциями относительно быстрой независимой переменной. Дано точное описание зависимости коэффициентов от медленной независимой переменной. Доказано, что для достаточно малых значений параметра точное решение существует в том же функциональном классе, что и члены формальных рядов, начиная со второго члена, и что формальные ряды являются асимптотическими по малому параметру для точного решения. Библ. 10.
Ключевые слова: уравнение Ван дер Поля, малый параметр, переходной процесс, асимптотический ряд, неустойчивое равновесие, устойчивый предельный цикл.
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВАН дер ПОЛЯ
Уравнение Ван дер Поля было предметом многочисленных исследований. Основные результаты изложены в некоторых учебниках и монографиях (см., например, [1]-[7]). В наиболее простом варианте уравнение Ван дер Поля имеет следующий вид:
х - ах( 1-х2) + х = 0, 0 <а< 1. (1.1)
Изложим некоторые известные результаты без дальнейших ссылок на источники. Уравнение (1.1) имеет решение х = 0 и периодическое решение (предельный цикл). Методом Пуанкаре строятся ряды по степеням малого параметра а, дающие асимптотические приближения для периода и периодического решения х^). Равновесие х = 0 при а > 0 неустойчиво, предельный цикл асимптотически устойчив. Он является аттрактором для решений с начальными условиями из окрестности равновесия. Для описания переходного процесса от неустойчивого равновесия к устойчивому предельному циклу уравнение (1.1) обычно подвергают ряду преобразований. После замен параметра и независимой переменной
а ^ —11= г ^ 0 < е < ,
л/1 + е2/4
уравнение (1.1) становится эквивалентным системе двух уравнений первого порядка
х = ех + у - ^ех3, у = 1 + 4)х. (1.2)
Собственные значения матрицы линеаризованной системы (1.2) имеют вид X = е/2 ± i. При малых положительных значениях параметра е положение равновесия неустойчиво, в системе происходит бифуркация Андронова-Хопфа. Систему (1.2) записывают в векторном виде и переходят к базису, состоящему из реальной и мнимой части собственного вектора, соответствующего собственному значению X = е/2 + i. Затем переходят к полярной системе "радиус-угол". Выберем следующий вариант этих стандартных преобразований:
После такой замены система уравнений (1.2) принимает вид
( 2 2 . 4„ £ r „ . зЛ r = £l r -- r sin 0 —— cos 0 sin 0 ,
1 3 3 ) (1.3)
0 = у( r, 0, £), у( r, 0, £) = 1-£ r cos 0 sin3 0 + 6 £2 r sin4 0.
Известный метод исследования переходного процесса основан на применении к уравнениям (1.3) метода усреднения (см. [6]). Если положить в уравнениях (1.3) 0 = t + ф и усреднить по времени правые части уравнений (1.3), то для усредненных зависимых переменных получаются уравнения
ф = 0, r = £(r - r2/4). (1.4)
Решение уравнений (1.4) имеет вид
ф = const, r(t) = a[£(t - t0)], a(т) = 4/( 1+ e~T). (1.5)
_ _ £t0
Так как r —► 4 при t —► r (0) = 4/(1 + e ), то за счет выбора постоянной t0 начальному
значению r (0) можно придать любое значение из интервала (0, 4). Решение, начинающееся из любой точки круга радиуса 4, стремится к r = 4. Доказано, что для точного решения r(t) справедлива равномерная оценка: для некоторого у > 0 имеет место предельное соотношение
supeYt|r(t) - r(t)| —- 0 при £ — 0. (1.6)
t > 0
Заметим, что оценка (1.6) не описывает подробно характер зависимости точного решения от времени t и медленного времени т = £t. Построение последующих приближений методом усреднения теоретически обосновано для широкого класса уравнений (см. [6]), но связано с громоздкими вычислениями, не позволяющими выяснить аналитическую природу этих приближений. В настоящей работе предлагается новый способ построения асимптотических рядов по степеням малого параметра, дается подробное описание функциональных классов, которым принадлежат члены асимптотических рядов. Доказывается, что при достаточно малых значениях параметра £ точное решение принадлежит тому же функциональному классу, что и члены асимптотического ряда, начиная со второго. Предлагаемый метод может быть распространен на общие системы второго порядка, в которых происходит бифуркация Андронова-Хопфа.
Исследование решений системы (1.3) упрощается, если принять в качестве независимой переменной угол 0. После такой замены переменных систему уравнений можно записать в виде
d- = У-1 (r, 0, £), (1.7)
dr
= £
r -2Ч4- Y(0)
+ £2r2f (r, 0, £),
(1.8)
Y(0) = 1-cos (2 0) -12cos (4 0),
34
s, n s • 4„-4rcos0sin 0 + £(-3 + 2rsin 0) ,, _
f(r, 0,£) = sin 0-3-2—(1.9)
3 ( 6-2 r £ cos 0 sin 0 + r £ sin 0)
Уравнение (1.8) может быть исследовано независимо от уравнения (1.7). После определения функции r(0) функция t(0) находится из уравнения (1.7) при помощи квадратур. Если отбросить в уравнении (1.8) члены порядка £2, то после усреднения по углу 0 упрощенное уравнение (1.8) имеет решение a(£(0 - 00)), где функция а(т) определена равенством (1.5). Функция а(т) строго монотонно отображает расширенную полуось [0, на отрезок [0, 4]. Обратная функция имеет вид b(a) = lnа - ln(4 - а). Для любых фиксированных значений £ > 0, 00 функция а(£(0 - 00)) также строго монотонно отображает расширенную полуось [0, на отрезок [0, 4]. Будем искать ре-
шение уравнения (1.8) в виде
г = а(е(0 - 0о))[ 1 + £R(а(е(0 - 0о)), 0, е)]. (1.10)
Учитывая, что функция а(т) удовлетворяет уравнению а' = а - а2/4, получаем уравнение
+ ае^ + 2у)R = ау + аеДа, 0, е) + ае2F(R, а, 0, е), (1.11)
О0
„Де LR = (^ 1 + 1R •
F(R, а, 0, е) = - R2(l-у) + ±[( 1+ еR)2f(а( 1+ еR), 0, е) - f(а,0,е)]. (1.12)
Будем рассматривать (1.11) как уравнение с частными производными относительно независимых переменных 0 и а. Возникающий от такого расширения произвол будет устранен за счет того, что переменные 0 и а связаны соотношением Ь(а) - е(0 - 0О) = 0. Следуя идеям работ [8], [9], спроектируем уравнение (1.11) на направление функции фО(0) = 1 и на ортогональное дополнение к функции ф0. Оператор проектирования P на направление ф0 совпадает с оператором усреднения
п
Pf = 2п 1 f(0)d0, Q = I-P. (113)
-п
Применяя к уравнению (1.11) операторы P и Q, получаем систему функциональных уравнений L5 = Pf(а, 0, е) - 2P(ур) + еPF(R, а, 0, е), R = р + 5, (1.14)
|Р + аеLр = ау + аеQf(а, 0, е)-2аеQ(yр) + ае2QF(R, а, 0, е). (1.15)
О0
Полагая в уравнении (1.7)
t = tо + T(а(е(0 - 0о)), е) + 5(а(е(0 - 0о)), 0, е), PS(а(е(0 - 0о)), 0, е) = о, S(а, 0 + 2п, е) = S(а, 0, е), представляем его в виде
(1.16)
2
е( а -аЛ = P (а (1+ еR), 0, е) - 1], (1.17)
д0 + е(а -0-)Ц = QV-1 [(а( 1+ еR), 0, е) -1 ]. (1.18)
2. ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДОВ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Ищем формальное решение уравнений (1.14), (1.15) в виде рядов по степеням малого параметра е:
р(а, 0, е) = ^ рк(а, 0)ек, » ' = о (2.1) 5(а, е) = £ек(а), е Са[о, 4], р^ е Са(Е).
к = о
Предполагается, что периодические по переменной 0 непрерывные функции рк(а, 0) и 5к(а) удовлетворяют следующим условиям:
Ррк = о, 52к(а) = о, рк(а, -0) = (-1)к +1 Рк(а, 0),
|рк(а, 0)< С'а, |5к(а)| < С'а, к > 1.
Положим также
Я = £ Як(а, 0)ек, Як = Рк + -1. (2.3)
к = 0
Покажем, что все функции рк и 6к могут быть последовательно определены и принадлежат классам, описанным в равенствах (2.2). Подставляя разложение (2.1) в выражения (1.9) и (1.12) для функций / и Р, получаем разложения
к
/(а,0,е) = £ек/(а, 0)
Р
к
к=0
(2.4)
£Яке , а, 0,е = £е р(Я[к]> ^ 0), Я[к] = (Яо>-•> Як).
= 0 = 0
Подставляя разложения (2.1)-(2.4) в уравнения (1.11), (1.12), получаем рекуррентную последовательность уравнений
^ = а у, |0Г = - а^Ро + aQ/о (а, 0) -2 а е б (уро), (2.5)
^ = -аЬрк + аб/к(а, 0)-2аб(урк) + абРк 1 (Я№_п, а, 0), к> 1, (2.6)
Ьбк +1 = Р/к +1(а, 0, е) - 2Р(урк) + РРк(Я[к], а, 0). (2.7)
Воспользовавшись принципом математической индукции, покажем, что уравнения (2.5)-(2.7) последовательно разрешимы и обладают свойствами, описанными в (2.2). Разрешая уравнения (2.5), получаем
2
1 • 1 • „,Л о а . 15а
ро = а[-8т2 0-;г^т4 0, 61 = - —
6 48 / 1 16 512'
Функции р0 и 6Х обладают свойствами (2.2). Пусть первые п - 1 функций обладают свойствами (2.2). Рассмотрим функцию
п
Кп(а, 0, е) = £екЯк(а, 0),
к = о
где функции Як(а, 0) определены равенством (2.3). Из предположений индукции следует, что
62к (е) = о, рк(-0, а) = (-1 )к-1 рк(0, а).
Таким образом,
п
Кп(а, -0, -е) = £(-1 )кек(Рк(-0) + 6к(а)) =
= о
п
к, , , л \ к с
= £ек(-рк(0) + (-1 )Ч(а)) = -Кп(а, -0, -е).
= о
Из формул (1.9) и (1.12) получаем
/(а, -0, -е) = -/(а, 0, е), Р( - Я, а, -0, -е) = Р( Я, а, 0, е),
Р(кп(0, т, е), а, -0, -е) = Р(-Кп(0,т,е), а, -0, -е) = Р(Кп(0,т,е), а, 0, е).
Если разложить функцию Р(кп(0, т, е), 0, е) по степеням е при помощи формулы Тейлора, то коэффициенты с четными номерами будут четными периодическими функциями 0, а коэффи-
циенты с нечетными номерами - нечетными функциями. То же самое утверждение справедливо и для правых частей уравнений (1.14), (1.15). Четность решения уравнения (2.6) противоположна четности правой части этого уравнения. Обозначая правую часть уравнения (2.7) через D(a), где непрерывная на [0, 4] функция D(a) выражается через ранее определенные функции, находим при 5(0) = 0 решение этого уравнения в виде
a
5( a) = (1- a /4 )J( 1- s/4)-2 D (s) ds. (2.8)
0
Из формулы (2.8) следует, что функция 5(a) непрерывно дифференцируема на [0, 4) и
|5(a)| < a max |D(s)|.
s e [0, 4]
Применяя правило Лопиталя, получаем, что
lim 5(a) = 1D(4).
a ^ 4-0 4
Доопределяя функцию 5(a) в точке a = 4 по непрерывности, получаем, что функция 5(a) не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.