ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 1, с. 44-55
удк 519.633
К столетию со дня рождения академика А.А. Дородницына
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ^
Для сингулярно возмущенных параболических задач построены и обоснованы асимптотические разложения периодических по времени решений с пограничными слоями вблизи концов отрезка в случаях, когда вырожденное уравнение имеет двукратный и трехкратный корень. Библ. 3.
Ключевые слова: сингулярно возмущенные параболические уравнения, погранслойная асимптотика, случай наличия кратных корней вырожденного уравнения.
Эту работу я хочу посвятить светлой памяти выдающегося советского ученого-математика академика Анатолия Алексеевича Дородницына, которому в этом году исполнилось бы 100 лет. Анатолий Алексеевич является основателем "Журнала вычислительной математики и математической физики", который за короткое время после выхода первого номера в 1961 году стал одним из ведущих математических журналов мира. Спектр математических исследований А.А. Дородницына весьма широк, и в этом спектре есть работы по теории сингулярных возмущений — той области, к которой относится данная статья. Хорошо помню, как в начале 60-х годов прошлого века, будучи студентом-дипломником профессора А.Б. Васильевой, я штудировал замечательную работу Анатолия Алексеевича [1]. В последующие годы, когда А.А. Дородницын был главным редактором нашего журнала, в нем были опубликованы несколько моих работ, чем я горжусь и за что очень благодарен Анатолию Алексеевичу.
в котором s > 0 — малый параметр, A(x, t) иf(u, x, t, s) суть T-периодические по времени функции, т.е. A(x, t + T) = A(x, t),f(u, x, t + T, s) = f(u, x, t, s). Уравнение (2.1) будем рассматривать в полосе
(x, t) е D = (-1 < x < 1 ) x (-да < t < да)
с краевыми условиями
© 2011 г. В. Ф. Бутузов
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: butuzov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 23.06.2010 г.
1. ВВЕДЕНИЕ
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим сингулярно возмущенное параболическое уравнение
(2.1)
du
---(-1, t, s) = ^( 1, t, s) = 0, -да < t < да,
(2.2)
dx dx
dx
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00413).
и условием периодичности решения по переменной I
и(х, г + Т,б) = и(х, г, б), (х, г) е Б. (2.3)
Известно (см. [2]), что если функции А(х, I) и/(и, х, I, б) достаточно гладкие и вырожденное уравнение
/(и, х, г, 0) = 0 (2.4)
имеет гладкий Г-периодический по I корень и = ф(х, I), (х, I) е Б, который является устойчивым, т.е.
/и(ф(х, г), х, I, 0)< 0, (х, г)е Б, (2.5)
то для достаточно малых б задача (2.1)—(2.3) имеет решение и(х, I, б) с асимптотическим представлением
п п - 1
и(х, г, б) = ф(х, г) + £ г%(х, г) + 6£ б'(г) + а(|, г)) + 0(г" +1), (х, г) е Б, (2.6)
¡= 1 ¡ = 0
где и I (х, I) — члены регулярной части асимптотики,
\ = ( 1 + х)/6 и 1 = (1 - х)/б
суть погранслойные переменные, а пограничные функции 6,(2,, I) и (|, I) экспоненциально стремятся к нулю при стремлении соответствующей погранслойной переменной к бесконечности. Отметим, что в этом случае корень ф(х, I) вырожденного уравнения является простым (однократным) в силу (2.5), а знак функцииА(х, I) не играет существенной роли, в частности асимптотика решения имеет вид (2.6) и тогда, когда А(х, I) = 0.
В данной работе задача (2.1)—(2.3) исследуется при условии, что вырожденное уравнение (2.4) имеет к-кратный корень и = ф(х, I) (будут рассмотрены случаи к = 2 и к = 3). Это означает, что функцию /(и, х, I, б) можно представить в виде
/(и, х, г,б) = - к(и, х, г)(и - ф(х, г))к + 6/1 (и, х, г, 6), (2.7)
причем к = 2 или к = 3 и к(ф(х, I), х, I) Ф 0 при (х, I) е Б.
Как оказалось, в этих случаях вид асимптотического разложения решения задачи (2.1)—(2.3) и масштабы погранслойных переменных существенно зависят от коэффициента А(х, I) и функции /1(ф(х, I), х, I, 0) (см. (2.7)). В разд. 3 и 4 для к = 2 будут рассмотрены случаи А(х, I) = 0 и
А(х, I) Ф 0 в Б, в разд. 5 — аналогичные случаи для к = 3. Во всех случаях будут доказаны теоремы о существовании и асимптотическом разложении решения задачи (2.1)—(2.3).
3. СЛУЧАЙ, КОГДА ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ДВУКРАТНЫЙ КОРЕНЬ И А(х, I) = 0
Условие А1. Пусть А(х, I) = 0, (х, I) е Б.
Условие А2. Пусть функция /(и, х, I, б) имеет вид (2.7), где к = 2, а функции к, ф, /1 являются ГГ-периодическими по переменной I, достаточно гладкими и
к (х, г) := к (ф( х, г), х, г)> 0, (х, г)е Б. (3.1)
Как обычно, требуемый порядок гладкости обусловлен порядком асимптотики, которую мы хотим построить. Для построения асимптотики произвольного порядка потребуем, чтобы эти
функции были бесконечно дифференцируемыми. Введем обозначение/1 (х, I) = /1(ф(х, I), х, I, 0). Условие А3. Пусть /1 (х, I) > 0, (х, I) е Б.
При этих условиях асимптотика решения задачи (2.1)—(2.3), как и в случае однократного корня вырожденного уравнения, состоит из регулярной и двух погранслойных частей, но суще-
ственное отличие заключается в том, что регулярная часть представляет собой ряд по степеням л/б (а не б), а погранслойные переменные имеют теперь иной масштаб, а именно
у 1 + X у 1 X Ъ — Ъ — 3/4 ,
6 6
и в соответствии с этим погранслойные ряды начинаются с членов порядка 63/4.
Итак, асимптотическое разложение решения задачи (2.1)—(2.3) будем строить в виде
и(х, г, 6) — £б'%(х, г) + 63/4£б'/4(г) + &г)). (3.2)
' —0 ' —о
Подставляя искомое разложение в уравнение (2.1) и граничные условия (2.2), стандартным образом (см. [2]) приходим к уравнениям для членов ряда (3.2). Для и0 (х, 1) получаем
щ (х, г) — ф(х, г),
а уравнение для и1 (х, 1) имеет вид
- н (х, г)и2 + /1 (х, г) — о.
В силу условий А2 и АЗ это квадратное уравнение имеет два вещественных корня. В качестве и1 (х, 1) выберем положительный корень (такой выбор будет оправдан ниже при рассмотрении уравнений для пограничных функций и далее при доказательстве существования решения с построенной асимптотикой):
и1 (х, г) — [к1(х, г)/ 1(х, г)]1/2 > о, (х, г) е Ъ. (3.3)
Следующие члены ц (х, 1) регулярной части асимптотики последовательно определяются как решения простых линейных алгебраических уравнений
(2н(х, г)щ(х, г))и(х, г) — /(х, г), '> 2,
где/(х, 1) выражаются рекуррентно через ц (х, 1),] < ¡, а коэффициент при и 1(х, 1) отличен от нуля
в силу (3.1) и (3.3), что и обеспечивает однозначное определение и, (х, 1).
Для нахождения пограничных функций 1) — членов левого погранслойного ряда (в окрестности прямой х = —1) получаем линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка (переменная 1 входит как параметр)
Ц'- к2(г)а, — г), Ь> о, (3.4)
дЬ2
с граничными условиями д01
ЯЪ (0' г) —
5 и1П{ ч .
--—(-1, г), если '-четное число,
дхК ' (3.5)
0, если '- нечетное число, б,(да, г) — 0,
где к2(1) = 2Н(-1, г)и1(-1, г) > 0, а функции 1) рекуррентно выражаются через С/Ь, 1),] < ¡, в частности #0(Ь, 1) = 0. Для С0(Ъ, 1) получаем выражение
00(Ъ, г) — к-1 (г)|$(-1, г) ехр (-к (г)Ь), (3.6)
д х
а остальные функции 1) также находятся последовательно в явном виде и экспоненциально стремятся к нулю при Ь —► да. Будем считать, что каждая функция 1) умножена на срезающую функцию, в результате чего 1) не изменяется в фиксированной 5-окрестности прямой х = —1, но становится равной нулю вне 25-окрестности этой прямой и тем самым не вносит не-
вязку в граничное условие при х = 1. Слагаемые ¿1 (2, ^ правого погранслойного ряда определяются аналогично. Отметим, что все члены ряда (3.2) являются Г-периодическими функциями по переменной t.
Теорема 1. Если выполнены условия А1—А3, то для достаточно малых б задача (2.1)—(2.3) имеет решение и(х, t, б), для которого построенный ряд (3.2) является асимптотическим рядом, т.е. для любого п > 1 справедливо равенство
2п 4п - 2
и(х, г, б) = ф(л г) + £е;/2и(х, г) + 83/4 £ е;/4(¿(^ г) + 0,(1, 0) + о(8п +1/2), (X, г) 6 Ъ. (3.7)
1 = 1 1 = 0
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 2 с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений задачи (2.1)—(2.3) с использованием построенного ряда (3.2). Напомним понятия нижнего и верхнего решений.
Определение 1. Функции и (х, t, б) и и(х, t, б) называются нижним и верхним решениями задачи (2.1)—(2.3), если они удовлетворяют таким условиям соответственно:
Л 2ТТ _
+я и, х, г, б) > 0 > ьг и, (X, г) 6 Ъ;
2
1) ЬЕи := Б2
д и _ д_Ц
дх2 дг)
2) дд=( _1, г, б) > 0 > _1, г, 8), 1, г, б) < 0 < |и( 1, г, б) , < г < ®;
дх дх дх дх
3) и(х, t, б) и и(х, t, б) суть Г-периодические функции по переменной t. Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если
и(х, г, б)< и(х, г, б), (х, г) 6 Ъ.
Известно (см. [3]), что если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения задачи (2.1)—(2.3), то эта задача имеет решение и(х, t, б), удовлетворяющее неравенствам
и(х, г, б) < и(х, г, б) < и(х, г, б), (х, г) 6 Ъ. (3.8)
Обозначим через ип(х, t, б) частичную сумму ряда (3.2) следующего вида (п > 1):
2п 4п
ип(х, г, 8) = £б;/2и(х, г) + 83/4£б;/4(¿(2, г) + (|, г)).
=0 =0
В силу уравнений для членов ряда (3.2), функция ип удовлетворяет равенству (оператор Ье задан в определении 1)
4ип = о(8п+1), (х, г) 6 ъ, (3.9)
а в силу граничных условий при = 0 для 0 (см. (3.5)) и аналогичных граничных условий при
2 = 0 для ¿1 (2 , 1) и также благодаря тому, что все граничные функции умножены на срезающие функции, частичная сумма ип(х, t, б) удовлетворяет краевым условиям (2.2):
и и
—п(-1, г, б) = —п(1, г, б) = 0, -да< г<®. (3.10)
х х
Нижнее решение задачи (2.1)—(2.3) возьмем в виде
и(х, г, б) = ип(х, г, б) _ Мбп +1/2, (3.11)
где М — положительное число, не зависящее от б, п > 1.
Очевидно, что при любом М функция и(х, t, б) удовлетворяет в силу (3.10) условию 2) для нижнего решения из определения 1, а так как все члены ряда (3.2) являются Г-периодическими функциями по переменной t, то и(х, t, б) удовлетворяет условию 3). Покажем, что число Ммож-
но выбрать так, что для достаточно малых 6 функция и (х, 1, б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.