научная статья по теме О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 165-168

УДК 531.36:534.1

О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ

© 2007 г. А. П. Блинов

Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К.А. Тимирязева, г. Москва

Поступила в редакцию 22.05.2005 г.

Изучению движения связки двух тел на орбите спутника Земли посвящено большое количество работ ([1-4] и др.). Рассматривается задача о плоском движении по инерции трех тел, связанных нерастяжимой невесомой нитью в форме разомкнутой цепочки. Такую конфигурацию может представлять, например, связка двух космических аппаратов, вращающихся относительно общего центра масс (для имитации силы тяжести) при дальних космических перелетах, когда на связующем тросе расположено третье тело (лифт). Тела рассматриваются как материальные точки (частицы).

PACS: 45.20.dc; 45.50.Jf

Пусть 11,12 - длины невесомых, нерастяжимых нитей, связывающих частицу массы т0 соответственно с массами т1 и т2.

Выберем неподвижную систему координат Оху, расположенную в плоскости движения частиц с началом в центре масс (рисунок).

Положение системы определим полярными координатами г, ф частицы с массой т0 (на фигуре точка С) и углами а и в, отсчитываемыми от направления радиуса г до натянутых нитей 11 и 12. Будем изучать движение, при котором силы натяжения нитей не исчезают. Пусть (е0, е), (е01, еД (е02, е2) представляют пары единичных радиальных и трансверсальных векторов, выходящих из точек С, А, В соответственно (см. рисунок, где А и В обозначают точки, в которых расположены частицы с массами т1 и т2. Учитывая, что векторы скорости V, у1, V2 точек С, А, В соответственно равны

V = гфе + Ге0; V! = V +11 (а + ф) е^ П2 = V + /2 (в + ф) е2,

запишем выражение кинетической энергии системы

1 2 2 1

T = 2mr ф +2m1 l1(a + ф) х

х [ 2 гф cos a - 2Г sin a +11 (a + ф)] +

1 (1) + 2 m2 l2(Y + ф)[-2r ф cos y + 2 Г sin y +12 (Y + ф)] +

12

+ --mr , 2

где m = m0 + m1 + m2; Y = в - п.

Координата ф циклическая и соответствующий циклический интеграл имеет вид

22 [mr + m1( 2l1 rcos a +11) +

+ m2 (-2 l2r cos Y +12) ]ф + + m111( ra cos a - r sin a) + + m212 (-rY cos Y + r sin y) = K, (K = const).

(2)

Отметим, что в стационарном движении a = Y =

= 0, a = в = 0, r = 0; ф = Ш + ф0, r = r0, ю = const, выполняется равенство

[mr0 + mili(2r0 + li) + m2l2(-2r0 + l2)]ю = K0. (3)

Для определенности будем полагать, что центр масс системы в стационарном движении лежит строго между точками В и С. Совпадение центра масс с точкой С исключаем, чтобы избежать вырождение координаты ф при г = 0.

-1

е. l. a

j е г С ео ф

O i x l2

в

е02 е2

Чтобы центр масс системы находился в начале координат, должны выполняться условия

sin у = X sin а; X = m111/(m2/2),

m, m2l

r =--/,cos а + — /2cos y .

mm

(4)

(5)

Из условия (5) следует, что в указанном выше стационарном движении

Го = (m2/2- mJi)/m, (m2/2 > mi/1)

и, что

m1 m2

r = — /i(xsin а--/2 "/sin y .

m 1 m 2

А из условия (4) следует, что

m1/1((cosа - m2/2"/cosy = 0, Y = (X cos а/л/Г^Х^п^а.

(6)

(7)

(8)

Используя это соотношение, выражение (1) для кинетической энергии можно несколько упростить

Т = 1 /<2 + (/Цех + /2 'у )< +

(9)

< = [K + (mr /Г sin а - m2/2sin") Г- mr /Га - m2/2Y2 ]/J.

(10)

Уравнения (4), (5), (7), (8), (10) позволяют вы-

Таким образом, вся задача сводится к одной квадратуре. Силы растяжения нитей ¥2 определяются выражениями

F1 = m1 [/Г (а + <)2 + r<2cos а-2Г< sin а -- r < sin а - Г'cos а],

F2 = m2 [/2 (Y + <)2- r <2cos Y + 2r < sin y + +r< sin y + r cos y].

(12)

(13)

Если ограничиться изучением движения связки частиц в окрестности стационарного движения

а = 0; Y = 0; г = го; ф = ю; А = h0; ^ = £"0, полагая sin а~а;

1 2

cos а= 1 - 2а ; h = h0 + Ah; K = K0 + AK;

m1 /1 2 то "~Ха; r = r0 + —— (1-Х)а ; (X< 1).

(14)

2m

r = ■

m1 /1

m

(1- Х)аа; < = [ K - m1/1 (/1 + /2 )а]/J,

.1 ,2.2.1 ,2-2 , + 2 m1 /1а +2 m2 /2 Y +

12

+ (m2/2sinY""- m1/1sinааа)Г + 2-mr/ ;

J = - mr2 + m1 r2 + m1/2l + m2/2.

Условия равенства нулю проекций количества движения системы на координатные оси представляют лишь некоторые комбинации ранее полученных условий (4), (5), (7), (8).

Используя указанные условия из циклического интеграла, выразим <.

где J = J0 - г0т1/1(1 - Х)а2; J0 = -т г0 + т1 /1 + т2 /2

и уравнение (11) для возмущенного движения принимает вид уравнения гармонического осциллятора

• 2 2,22 а = a - b а ,

(15)

где a2 = (Ah - KoAK/Jo)/g, b2 = ^1/1(1 - X)KAK/(g ./J), g = 1/2m1 /j [1 + m1/m - m1(/1 + /2)2/J0].

Колебания имеют амплитуду A = a/b и период т = = 2n/b.

Условием отсутствия провисания нитей является положительность сил F1, F2. Непосредственная проверка этого условия требует большой вычислительной работы. Чтобы получить более удобную оценку сил натяжения учтем, что: m2/2 >

> m1/1; ф > 0; cos a cos y ^ 0. Поэтому 1/2(m2/2 -- m1/1)/m < r < m2/2/m.

Скорость ф минимальна, когда связка тел вытянута в прямую, а максимальное значение ф

разить энергию системы (9) только через а и а, можно получить из интерала энергии. То есть ю <

то есть на уровне энергии Т = к получим уравнение первого порядка относительно а вида

Р(а)а2 = h - Q(а), (11)

где Р(а), Q(() - рациональные функции относительно sin а, cos а, V1 - X2 sir

< < < V2h/J0.

Из (15) следует, что |а| < а. Учтем также, что m1 /1 Л X sin2а

г- =

1-

2

sin а

sin аа, т.е. величина

22 sin а .

m ^ 2 V1 - X2 sin

Г является величиной более высокого порядка

О ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ПО ИНЕРЦИИ СВЯЗКИ ТРЕХ ТЕЛ

167

малости по отношению к а. Поэтому формулам (12), (13) можно дать оценку

F1 > m1 11(ю2 - 2a 42 h / J0),

F2 > m212 (Ш - 2 ha J2h/ J0 -

2m2l2h mJ

(16)

(17)

Таким образом, чтобы в нитях не исчезали растягивающие усилия, достаточно выполнение

системы неравенств: ю2 > 2а д/2к/10; ю2 > > 2ХаЛй/10 +

0 т. 0

В частности, когда т0 = 0, тогда необходимо а = = 0; у = 0; г = г0; ф = ю и из (16), (17) следует ^ = = т1(11 + г0)ю2; Р2 = т2(12 - г0)ю2. Что и соответствует центробежной силе ^ = = при вращении связки двух тел. В случае, когда в стационарном движении частица С (лифт) совпадает с центром масс системы, выбранные выше координаты могут вырождаться. Чтобы это исключить, за обобщенные координаты можно принять полярные координаты частицы А относительно центра масс системы (точка О), угол между лучами СА и СВ.

Однако при этом уравнения становятся очень громоздкими. Поэтому остановимся на более частном случае, когда т1 = т2; /1 = 12. Тогда положение связки можно определить с помощью расстояния г точки С от центра О и углом поворота ф прямой АВ относительно оси х.

Введем две вспомогательные величины

I = ОА = 7/2- (1 + т0/тГ)г2;

п

mr

Ф1 = Ф --- + ^А0С = Ф - arccos—0-■ + п/2 2 2m1l

и получим выражение кинетической энергии системы

1 / 2;2 ,2ч

2 2 2

R (r) = 2m0 + m^

l1-(1+m°] r2

m

R1( r) +

1 + ^1 r71

m

Координата ф циклическая и ей соответствует циклический интеграл дТ/ Эф) = (m0r2 + 2m1P) ф + + 2m1/2R1(r) r = K, K = const из которого находим ф = R3(r) + R4(r) r, R3(r) = K/[2m11] - (2m1 + m0)r],

- 2m, l? + 2(m, + m0)r2

R4(r) = -T-—-Rl(r).

2m1l1 - (2m1 + m0)r

Исключая ф из выражения энергии, получим Т = R5(r) r2 + R6(r) r + R7(r), где R5(r) =

= Qm0r2 + m1 l2) R2(r) + 2m1/2R1(r)R4(r) + R2(r),

R6(r) = 2( 2m0r + m1 Г )R3(r)R4(r) + 2m1/2R1(r)R3(r),

R7(r) =

m111- ( «1 + 1 m0

2

Таким образом, на заданном уровне энергии Т = h решение сводится к квадратуре относительно координаты r.

Если ограничиться рассмотрением движения связки в малой окрестности стационарного вращения: r = 0; (l = 0); ф = ю = const; r = 0; l = l1, т.е. рассмотрением линеаризованной (относительно r) системы, то в выражении энергии достаточно сохранить только квадратичные члены:

T« T0 = 2m()r2 + ю2{m1 + 2m^r2;

2

ю = K/2m1l1,

T = тm0(r ф + r ) + m1 (l1 (1 + l ) =

= (1 m0 r2 + m11)ф2 + 2 m112 R1 (r )ф r + R2( r) r2,

m

где l = -1 1 + — I гГ/1; ф1 = ф + R1(r) r, 1 mu'

*■<' > = [1-(r

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ том 45 < 2

m1

и уравнение относительно г: г + I 1+2 —1 ю2г = 0

V т0)

описывает гармонические колебания лифта относительно вращающейся прямой АВ с частотой

О = „¡Г+1тГ/т0 ю.

Любопытно отметить, что частота колебаний не зависит от длины троса (в линейном приближении).

Замечание. Стационарное движение сложенной цепочки, т.е. при у = п не представляет практического интереса, так как оно либо не реализуется (из-за потери натяжения нити), либо не-

2007

устойчиво. Неустойчивость можно доказать от противного. Из предположения об устойчивости следует, что должен существовать момент времени, когда острый угол между нитями АС и ВС достигнет максимума и скорость относительного движения нити станет равной нулю. Но в этот момент равнодействующие центробежных сил и сил натяжения нитей не равны нулю и направлены под тупым углом друг к другу, что должно привести к увеличению ¿ABC. Возникшее противоречие с предположением о максимальности угла отвергает предположение об устойчивости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белецкий ВВ., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите // Космич. ис-след. 1969. Т. 7. Вып. 3. С. 372-384.

2. Окунев Ю.М. О некоторых свойствах поступитель-но-вращательного движения длинной гантели в центральном поле сил // Научные труды. Инст. механики МГУ. № 10. Изд-во МГУ, 1971. С. 87-121.

3. Блинов А.П. О периодическом движении гантели в центральном поле сил // Космич. исслед. 1990. Т. 28. Вып. 5. С. 702-705.

4. Буров А.А., Степанов С.Я. О колебаниях маятника на круговой орбите // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 714-719.

On the Planar Inertial Motion of a System of Three Coupled Bodies

A. P. Blinov

Russian State Agricultural University/Timiryazev Moscow Agricultural Academy, Russian Academy of Sciences,

ul. Timiryazeva 47, Moscow 127550, Russia

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком