ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2008, том 44, № 1, с. 137-141
ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
О ПОКАЗАТЕЛЯХ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ*
© 2008 г. Е. М. Бронштейн
(Уфа)
Под инвестиционным проектом понимается вектор C = (c0, ..., cn) произвольной конечной размерности, у которого первая ненулевая компонента отрицательная, cn > 0, Xct > 0. Без потери общности в большинстве случаев будем считать, что c0 < 0, полагая, что рассматриваемые характеристики проектов инвариантны относительно сдвига проекта во времени. Отрицательные компоненты означают вложения средств в проект инвестором в соответствующие моменты времени (года), положительные — поступления средств инвестору (теория инвестиционных проектов описана в (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2002)).
Для сравнительного анализа инвестиционных проектов применяется ряд характеристик, зависящих от некоторого экзогенного показателя (нормы дисконта, банковского процента и др.), который отражает эффективность альтернативного вложения средств. Этот показатель заранее неизвестен, и его стохастическая природа часто игнорируется (Виленский, Лившиц, Смоляк, 2002, гл. 1—5; Бронштейн, Черняк, 2005, с. 21—28). При анализе используется также эндогенная характеристика — внутренняя норма доходности (IRR).
Пусть х — годичный коэффициент накопления. Функция доходности равна дисконтированной стоимости проекта NPV(C, х) = х-1. Здесь за IRR(C) принимается единственный, не меньший 1, корень уравнения доходности
n
X cx' = 0. (1)
i = 0
Из определения инвестиционного проекта следует, что уравнение (1) имеет хотя бы один корень на множестве [1, да), поскольку NPV(1) = X ct > 0, а lim NPV(x) = c0 < 0. Если корней более
одного, то значение IRR не определено. Для стандартных инвестиционных проектов, т.е. таких, что для некоторого к ct < 0 при i < к и ct > 0 при i > к, внутренняя норма доходности существует. Если для проекта C значение IRR определено, то NPV(C, х) > 0 при х е (1, IRR). То есть, чем больше IRR, тем больше шансов, что проект будет прибыльным в условиях полной неопределенности будущей банковской процентной ставки.
Предпринимались многочисленные попытки ввести аналог IRR для более широкого класса инвестиционных проектов (см. (Виленский, Смоляк, 1999, с. 73-98)), в том числе с привлечением некоторых экзогенных факторов (Беленький, 2005, с. 3-19).
В работе (Arrow, Levhari, 1969, с. 560-566) определена некоторая функция от инвестиционного проекта, имеющая единственный корень. К. Эрроу и Д. Левхари рассмотрели непрерывный поток платежей, заданный интенсивностью поступления средств, и показали, что аналогичная конструкция применима и в дискретном случае средств. Приведем построение и доказательство соответствующего утверждения для дискретного случая.
Пусть Pk, к = 1, ..., n, - функции доходности усеченных инвестиционных проектов, т.е.
Pk (x) = У c¡x ', x) = max Pk (x)
„ k
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-06800009).
n
Следующее утверждение является дискретным аналогом основного результата работы (Arrow, Levhari, 1969).
Предложение 1. Функция y(x) является невозрастающей на множестве [1, да).
До ка за тель ство. Достаточно проверить, что на указанном множестве правая производная у'+(х) < 0. Поскольку y(x) — максимум функций Pfc(x), то для этого достаточно доказать следующее утверждение: если при некотором x е [1,да) справедливо равенство y(x) = P^(x) (т.е. в точке x максимум значений P(x) достигается при i = к; таких значений к может быть несколько),
то P'k (x) < 0.
Очевидно, что если Ск Ф 0, то Ск> 0. Если Ск-s Ф 0 и Ск-s + 1 = ... = Ск-1 = Ск = 0 (s > 0), то Ск-s > 0. Действительно, в противном случае Рк(х) < Рк_s- 1(x), а это противоречит выбору индекса к. Аналогично, если Ск + s ф 0, Ск +1 = ... = Ск+s-1 = 0, то Ск + s < 0.
Таким образом, максимум Рк(х) может достигаться только при таких к, для которых последний предшествующий ненулевой платеж (к ним относится и платеж к) положительный, а первый последующий — отрицательный. Представим множество натуральных чисел {0, ..., к} в виде объединения
{0, 1.....to - 1} и {/„,..., Si - 1} u {sb ..., ti - 1} u ... u {tr-1, ..., Sr- 1 = k},
где значения с в моменты «у,.-, У — 1 неположительные, а в моменты у, ..., Sj +1 — 1 — неотрицательные.
Поскольку Рк(х) = тах{Р1(х), ..., Рп(х)}, то справедливо неравенство
к
Рк(х) - Р,(х) = У ех' > 0, г < к. (2)
i = t + 1
Рассмотрим производную
k iS1 - 1 r - 1 Sj +1 - 1 ^
P'k(x) = - У iCiX~'-1 = — I у iCiX~' + У У iCiX~'
XI
i = 1 vi = 1 j = 1 i = Sj
(3)
и оценим каждое из слагаемых
S,- + , - 1 tj - 1
zx' = У icx ' + у iCfX
i = sj i = sj i = tJ
It -1
У 'ех ' = У 'ех ' + У 'е¡х '
' = ь ' = ь ' = ь
приу = 1, ..., г — 1. Поскольку в сумме У\ 'СХ-1 все с < 0 и г < у — 1, то
>г1 г-1
У ¡ее' >( г}-1) У ех-, (4)
' = ' =
Хя,- +1 - 1 • — г
/ -1 ' С(Х справедливы противоположные неравенства, то
Ь +1-1 Ь +1-1
У 'ех ' >(1) У ех'; (5)
для слагаемых в сумме У^ - 'с1х-1 справедливы противоположные неравенства, откуда
Ь+1-1 ь+1-1
У 'ех'>( 1) У ех-. (6)
О ПОКАЗАТЕЛЯХ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ 139
Для _ 1 2 _ 1. i cix с учетом неравенств (2), (6) и tr_ 2 < tr_ ь справедлива оценка
r - 1 Sj +1 - 1 k sr-1 - 1 k
Х Х ''CX-' ^ -1 - 1) Х ciX' + (tr - 2 - 1) Х cx- >( tr - 2 - 1) Х С> 0 •
j = r - 2 i = Sj i = sr _ 1 i = sr _ 2 i = sr _ 2
Продолжая по индукции, получим:
r - 1 sj +1 - 1 k
Х Х icx- >(t1 - 1) Х c<x- > 0• (7)
j = 1 i = Sj i = S1
Оценим ХS1-- / i C(Xl • Если t0 = 1, то все слагаемые этой суммы неотрицательные. С учетом (7) имеем
S1 - 1 r - 1 sj + 1 - 1
Х icix~i + Х Х icx' > 0• (8)
i = 1 j = 1 i = Sj
Если t0 > 1, то к множеству {1, ..., t0 — 1} u {t0, ..., ^ — 1} можно применить неравенство (6):
s1 - 1 s1 - 1
Х icix-i >(to - 1) Х ctx-. (9)
i = 1 i = 1 В этом случае из (7), (9) и t1 > t0 следует, что
S1-1 r -1 sj +1-1 S1-1 k k
Х ictxl + Х Х icix' > (t0 - 1) Х c'X' + (t1 - 1) Х C'X' > (t0 - 1) Х C'X' > 0.
i = 1 j = 1 i = Sj i = 1 i = s1 i = 1
Таким образом, в любом случае справедливо неравенство (8), т.е. из (3) следует, что Pk (x) - 0. ■ Предложение 2. Уравнение y(x) = 0 имеет единственный корень на множестве [1, да). До ка за тель ство. По предложению 1 функция у(x) невозрастающая и
у( 1 )> NPV( 1) = Хct > 0;
с другой стороны, при достаточно больших x все функции P^(x) отрицательные (это следует из неравенства c0 < 0). Таким образом, непрерывная функция y(x) равна нулю на некотором отрезке [а, р]. Поскольку она кусочно-полиномиальная относительно 1/x, то при р > а функция y(x) совпадает на [а, р] с P^(x) = const. Но если P^(x) = const при некотором к, то P^(x) = c0 < 0. Следовательно, а = р. ■
Обозначим единственный корень уравнения y(x) = 0 на множестве [1, да) через x(C). К. Эрроу и Д. Левхари не придают этой характеристике содержательного смысла. Естественно считать, что Х(С) в определенном смысле характеризует доходность проекта. Заметим, что эту характеристику можно определить иначе.
Предложение 3. Значение х(С) совпадает с максимальным корнем совокупности многочленов
(относительно 1/x) Pk(x) = Хл- оcx l, к = 1, ..., n.
До ка за тель ство. По определению при х = х(С) хотя бы одна из перечисленных функций обращается в 0, причем все функции Р%(х) при таком х неположительные. Утверждение следует из того, что при значениях х, больших максимального корня перечисленных функций, все эти функции отрицательные. ■
В работе (Бронштейн, Скотников, 2005, с. 7—17) выделен класс инвестиционных проектов (правильных проектов), на которых определен показатель эффективности, названный предельной доходностью. Идея этого подхода возникла при анализе работы (Promislov, 1997, с. 739—759). Исходным понятием является трансакция, т.е. годичный займ (0, ..., 0, —а, Ь, 0, ...), где Ь < а > 0. Под доходностью трансакции понимается отношение Ь/а.
Инвестиционный проект называется правильным, если он представим в виде суммы последовательных трансакций. Критерием правильности проекта является выполнение условий: С0 < 0,
'y"_kci > 0 при к = 0, ..., п. Правильный проект может представляться в виде суммы трансакций
различными способами. Например,
(-1, 2, 6, 0...) = (-1, 3, 0, ...) + (0, -1, 6, 0, ...) = (-1, 4, 0, ...) + (0, -2, 6, 0, ...).
Доходность суммы трансакций определяется как максимальная из доходностей слагаемых. Предельная доходность LP(C) правильного проекта равна минимальной доходности сумм трансакций, представляющих проект C. Существование минимума доказано в (Бронштейн, Скотников, 2005). Из этого определения следует, что LP(C) это минимальное значение величин x > 1, при которых совместна система линейных неравенств относительно (a0, ..., an_ х):
c0 = - a0,
0 < a{_ 1 < c{ + a{ < Xa{_ 1, 0 < i < n, (10)
0 < an-1 < cn <Xan-1.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Предложение 4. Предельная доходность правильной финансовой операции совпадает с максимальным из корней совокупности многочленов Q^x) = yj _ 0 c^-', к = 1, ..., п.
До ка за тель ство. Поскольку у всех многочленов старший коэффициент с0 отрицательный, то Q^x) при значениях x, превышающих максимальный из корней многочленов, принимают отрицательные значения. Пусть при некотором x система (10) совместна. Умножая первое равенство на x и складывая с неравенством при i = 1, получим с^ + с1 + a1 < 0, т.е. Q1(x) = с0x + с1 < —a1 < 0. Умножим это неравенство на x и сложим его со следующим неравенством системы (10), в результате имеем Q2(x) < —a2 < 0. Продолжая этот процесс, придем к неравенствам Q^x) < —ак < 0 при к < п — 1. Наконец, умножая последнее из этих неравенств на x и складывая с последним неравенством системы (10), получаем: Qn(x) < 0. Тем самым LP(C) не меньше максимального из корней многочленов
Q^x).
Пусть теперь Q^x) < 0 при некотором x для всех к. Положив aк= — Q^x) при к = 1, ..., п — 1, убеждаемся в справедливости неравенств системы (10), т.е. предельная доходность не превосходит x. Поскольку x — произвольное число, большее максимального из корней совокупности многочленов, то LP(C) не больше максимального из корней
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.