МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3:534.1
© 2008 г. С.М. БАУЭР, О.Г. КЛЕЦ, Н.Ф. МОРОЗОВ
О ПОВЕДЕНИИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ПРИЛОЖЕНИИ РАДИАЛЬНОГО
ДАВЛЕНИЯ
Рассматривается задача о потере устойчивости трансверсально-изотроп-ной длинной цилиндрической оболочки, находящейся под действием динамического внешнего давления. Для случая внезапно приложенной нагрузки [1] и быстро возрастающей по времени нагрузки [2] проводится сравнение результатов, полученных по двумерным теориям Кирхгофа-Лява и Тимошен-ко-Рейсснера.
В работах [3, 4] представлен ряд задач статики и свободных колебаний однородных трансверсально-изотропных тонкостенных конструкций, для которых результаты, получающиеся по приближенным моделям, основанным на кинематических гипотезах Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера, сравниваются с асимптотическими решениями трехмерных уравнений теории упругости. Показано [3], что для тонкостенных конструкций теория Кирхгофа-Лява является первым асимптотическим приближением трехмерной теории. Теория Тимошенко, учитывающая сдвиг, для тел из изотропного материала является асимптотически противоречивой и незначительно уточняет двумерную модель Кирхгофа-Лява. Однако показано [4], что для тел из трансверсально-изо-тропного материала с малой жесткостью на сдвиг в направлении толщины оболочки или пластины ситуация меняется, теория Тимошенко-Рейсснера уточняет теорию Кигх-гофа-Лява и дает следующее асимптотическое приближение трехмерной теории.
Рассмотрим устойчивость длинной цилиндрической оболочки, сжатой динамической радиальной нагрузкой.
На основе теории Кирхгофа-Лява при внезапно приложенной нагрузке, превосходящей статическое критическое значение, эта задача была исследована в работе [1], в которой был предложен новый подход к решению задач устойчивости конструкций при динамических нагрузках. Предполагалось что к системе, имеющей начальные несовершенства, внезапно прикладывается нагрузка, превышающая статическую критическую нагрузку, при этом возникает движение, в результате которого система не возвращается в первоначальное положение. Полагалось также, что на начальной фазе этого движения перемещения всех элементов системы пропорциональны одной функции времени. Если нагрузка мала, то эта функция гармоническая, и система совершает нормальные колебания. Если нагрузка достаточно велика, то возникает движение, описываемое экспоненциальной функцией и соответствующее потере устойчивости. Число форм динамической потери устойчивости тем больше, чем больше величина внезапно приложенной нагрузки, так как известно, что нагрузки, при которых наряду с основной формой равновесия возможны близкие искривленные, образуют некоторую возрастающую последовательность. Начальные несовершенства, соответствующие различным формам нормальных движений, предполагались имеющими один порядок малости. Было показано [1], что наиболее быстро меняются те формы, которым соответствует наибольший коэффициент в показателе экспонент функции времени, относящейся к соответствующему движению. Отмечалось также, что формы потери устойчивости могут отличаться от низшей и высшей, возможных для данной нагрузки форм равновесия.
В работе [1] уравнение малых движений трубы, полученное по классической модели теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, при учете зависимостей нормального прогиба ^ от угла 0 и времени t и начального отклонения ^0(9) формы оболочки от круговой имеет вид:
г* (-ф л4 ^
и д w „о w д w —б + 2—4 + —2
Я3 1О0б д04 д02
+ рНЯ —5
дГ
(ц2
д_н-д 02
■ - w
+ Я
(л4 л2 ч\
д w + д w д 04 + д 02
= /(0)
(1)
где и = ЕН3/[12(1 - V2)] - цилиндрическая жесткость оболочки, Н - толщина оболочки, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, р - плотность материала оболочки. /(0) = (и/Я3)(д^о/д06 + 2д^^д04 + д^о/д02). При выводе уравнения (1) деформация растяжения-сжатия срединной поверхности предполагается отсутствующей. После подстановки w(0, 0 = wш(t)sinт0 для функции wш(t) получается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
2
Л2
и т2(т2 - 1)(т2 - п2)
р НЯ
2
т +1
w
/т
р НЯ(т + 1)
(2)
/т = ПI / (0^п т0 й0, п2 = 3 Я* + 1, Я* = 3 -3 П Я Я
где я* - статическое критическое значение внешнего давления длинной цилиндрической оболочки. Как отмечалось в [1], целая часть числа п определяет номер наивысшей возможной статической формы потери устойчивости. Решение уравнения (2) может быть представлено как сумма частного решения неоднородного уравнения и решения однородного уравнения. Последнее ищется в виде wm(t) = еа(т)*. При т > п возникают колебания оболочки, при т < п происходит потеря устойчивости. Безразмерный коэффициент а* = а(т)л/р НЯ41 и в экспоненте, характеризующий быстроту потери устойчивости по динамической форме с номером т, определяется выражением
а *2 = т2( т2-1)(3 д/д* + 1 - т2)/(т2 + 1)
(3)
Если при выводе уравнения устойчивости цилиндрической оболочки использовать модель Тимошенко-Рейсснера [5, 6], учитывающую инерцию вращения нормального элемента и деформации, связанные с поперечными силами Qy = к1ОНву, где ву - соответствующий угол поворота отрезка нормали (у = Я0), к2 - коэффициент сдвига, то уравнение устойчивости будет иметь вид
г> Л6 -,4 -.2 ч\ и д w „д w д w
Я Iд0б д04 д02
+ рНЯ—-
дt
2
-д-02
■ - w
+ Я
42
д w д w — + —
д04 д02
Од д4
к 2 Я2 О'Н д04
2
д w Э0
+ w
ир
к 20' Я д t2 д02
2
д w Э0
■ - w
рН3
12 Я д t2 д02
2
д^ д02
+ w
2
р Н д
12 к 2С д t2 д02
2
д 02
■ + w
рН3рЯ д4
12 к 2С д t4
2
д_н-д 02
■ - w
+
П
4
4
4
Здесь G - модуль поперечного сдвига. Для изотропных оболочек G = G = £/2(1 + v). При расчетах полагаем к2 = 5/6, как это было предложено Э. Рейсснером [5], и как это принято в уточненных теориях оболочек и пластин [3-6].
Полученное уравнение (4) отличается от уравнения (1) подчеркнутыми членами. Полагая, как и в работе [1], w = ^ wm(t)sinm9 , для функций wm(t) получим уравнение
2j( m2 + 1) +
m = 2
2
d w„
£^^+1) + p 2 12к G dt dt
Rh +
D к2 G R
h
12 R
2
h q
\ \
22 m (m -1)
12к G'
2 , 2 14( D. 2 Dq 2^
- wmm (m -1 )l q —-(m -1) + -—-f— m
1 R к R G h J
fm>
(5)
fm = П í f (9) sin m 9 d9
Решение уравнения (5), по-прежнему, ищем в виде wm = еа(т)'. При а = 0 можно определить нагрузки, при которых увеличивается количество возможных искривленных форм равновесия оболочки. В данном случае эти значения несколько ниже значений, полученных по классической теории:
q*
D (m - 1)
R
1
L1 + m2 D/( к2 G R2h )J
m
2, 3,4, 5...
(6)
Видно, что чем выше возможная форма равновесия, тем большую поправку к величине соответствующего критического значения дает теория Тимошенко. Критическому значению статической задачи, по-прежнему, соответствует значение т = 2:
1
q*
3D
L1 +4 D/( к2 G R2 h )J
Чтобы сравнить динамические формы потери устойчивости, получающиеся по теории Кирхгофа-Лява и по теории Тимошенко-Рейсснера при одинаковых нагрузках, положим, как и в работе [1], q = Д(п2 - 1)/К3. В этом случае нагрузки равны последовательным критическим нагрузкам статической задачи, полученным по классической теории. Сравнивая это соотношение с равенством (6), можно получить номер N наивысшей возможной статической формы, полученной по теории Тимошенко-Рейсснера, т.е. для целого N должно выполняться неравенство
D(N -1)
R
1
L1 + DN2/( к2G R2h )J
D ( n2 - 1 )
N
1+ D (1 - n 2
к2 G R2 h
Последнее равенство выполняется для любого N, если 1 + Б(1 - r\2)/(k2G,R2h) < 0, т.е. приложенная нагрузка удовлетворяет равенству q > 3k2G'h/R.
Это обстоятельство, как отмечается в работе [4], говорит о неприемлемости оболо-чечной модели при малом значении G (или при очень большой величине нагрузки), так как в этом случае сам материал теряет устойчивость [4]. Для безразмерного коэффициента а*, характеризующего быстроту потери устойчивости по динамической фор-
п
0
Таблица 1
Лаврентьев-Ишлинский [1]
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m * 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 9 10 11
q/q* 2.7 5 8 11.7 16 21 26.7 33 40 47.7 56 65 74.7
а* 3.4 7.1 11.3 16.8 23.5 30.9 39.1 49 59.5 70.6 83.4 97 111.3
Таблица 2
Теория Тимошенко, h/R = 0.05, E/G' = 10
q/q* 2.7 5 8 11.67 16 21 26.7 33 40 47.7 56 65 74.7
N 3 4 5 6 7 8 10 11 13 15 17 20 24
m* 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 12 13 15
а* 3.5 7.2 11.7 17 24.2 32.5 41.9 52.8 65.3 79.5 95.7 114.9 137.7
Таблица 3
Теория Тимошенко, h/R = 0.05, E/G' = 20
q/q* 2.7 5 8 11.7 16 21 26.7 33 40 47.7 56 65
N 3 4 5 6 7 9 12 14 18 25 46
m* 2 3 4 5 6 7 8 9 11 или 12 15 23
а* 3.5 7.3 12 17.9 25.2 34.3 45.3 58.5 75.2 97.3 131.2
ме с номером т, по уравнению (5) в этом случае можно получить биквадратное уравнение:
22
2(т - 1) -
2 -1 т +1
(7)
Из уравнения (7), по-прежнему, может быть определен один положительный корень а*, соответствующий потере устойчивости. При малых отношениях Eh2/G'R2 и h2/R2 и не очень больших значениях m значение а* будет близко к получаемому по классической теории (3).
Темп возрастания прогиба определяется величиной а*, а наибольшее значение коэффициента а* соответствует наблюдаемой форме потери устойчивости m = m*. Ниже представлены некоторые результаты расчетов.
В табл. 1 представлены результаты работы [1], полученные по классической теории. Эти результаты от параметров оболочки (отношений h/R, G'/E) не зависят. В табл. 2-5 представлены результаты, полученные по модели Тимошенко-Рейсснера. Расчеты показывают, что значения коэффициента а*, характеризующего скорость возрастания динамической формы потери устойчивости, несколько больше при использовании теории Тимошенко-Рейсснера. Для тонких изотропных оболочек результаты, полученные по теории Тимошенко, очень близки к результатам, представленным в [1]. Для трансверсально-изотропных оболочек при не очень больших нагрузках результаты, полученные по тео-
D
k 2G' R2 h 12 R2
*4 Ä2
а* + а *
1 +
Dm
k2G'R2h 12 R2
1-
D
k2G' R2h
. 2 14J m (П -1 )J -
22
m (m - 1)
2
m +1
2 2 2 Dm П - m + (n -1)
2
k 2G' R2h
= 0
2
2
Таблица 4
Теория Тимошенко, h/R = 0.05, E/G ' = 50
q/q* 2.7 5 8 11.7 16 21 26.7
N 3 4 6 8 11 21
m
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.