Автоматика и телемеханика, № 7, 2015
© 2015 г. Р.В. ИВАНОВ, канд. физ.-мат. наук (roivanov@yahoo.com) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
О ПРЕДСКАЗАНИИ МАКСИМУМА СЕМИМАРТИНГАЛА И ОПТИМАЛЬНОМ МОМЕНТЕ ПРОДАЖИ АКЦИИ
Обобщаются результаты недавних публикаций о предсказании неизвестного максимума процесса на случай экспоненциального семимартин-гала, логарифм которого представим в виде суммы локальных мартингалов и положительного сноса. Полученные в статье результаты охватывают широкий круг моделей, включая многофакторные. Результаты могут быть применены к задачам редуцирования рисков.
1. Введение
В случае, когда процесс S = (St)t<T является геометрическим броуновским движением, т.е. удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
(1) dSt = rStdt + aStdBt, So = 1, t < T < то,
где B = (Bt)t<T - процесс броуновского движения, задача об оптимальной остановке
S
(2) sup Е-
о<т<т max St
- - о<t<T
где через E обозначено математическое ожидание относительно исходной вероятностной меры, была впервые рассмотрена в [1]. Авторами [1] представлено решение (2) при r > а2 и r < а2/2. В первом случае оптимальным моментом остановки
* Т^ ST т^ ST *
т : sup Е-- = Е--
0<т<т max St max St - - о<t<T о<t<T
является конечный момент наблюдений T. При r < а2/2 решением является начальный момент 0. Авторы [2], рассмотрев оставшийся случай а2/2 < r < а2 в задаче (2), нашли, что решением в этом случае также является конечный момент T (при r = а2/2 оптимальным является любой момент т € [0,T]).
Относительно других работ в данном направлении отметим работу [3], в которой была решена задача о предсказании минимума процесса, работу [4], в которой вместо максимума рассматривались геометрическое и арифметическое средние, работы [5, 6], в которых авторами обсуждалась задача предсказания первого попадания в нуль диффузионного процесса с отрицательным
сносом на бесконечном временном интервале, а также работу [7], в которой задача (2) частично решена для экспоненты обобщенного гиперболического процесса.
Отметим, что в [1, 2] задача об оптимальной остановке (2) решается в контексте проблемы оптимального инвестирования на финансовых рынках. Так, в случае r > а2/2 оптимальное решение - не выполнять никаких действий с акцией до конца периода инвестирования. В [1] данный тип акции был назван "хорошим" ("good stock"). В данной статье результаты работ [1, 7] обобщены на случай экспоненциального семимартингала. Основным результатом работы является теорема 1. Примеры использования приведены в разделе 3.
2. Результаты
Пусть процесс S является экспоненциальным семимартингалом, т.е.
St = eHt, t < T< то, где H = (Ht)t<T - семимартингал. Тогда задача (2) имеет вид
(3) sup Eexp ( HT — max Ht
0 <t<t v °<t<T
Определение 1 [8, c. 109]. Семейство случайных величин y = (7(t))t>° называется заменой времени на вероятностном пространстве с фильтрацией (Q, F, (Fq)q>°, P), если выполнены два условия:
(а) (7(t))t>° - непрерывное справа неубывающее семейство случайных величин, в общем случае принимающих значения на [0, то];
(б) для всех t > 0 случайная величина 7(t) является марковским моментом, т.е. для всех в > 0 {7(t) < в} € Fq.
Предположим, что семимартингал (Ht)t<T представйм в виде
n
(4) Ht = Ц + £ akBkik(t),
k=l
где B1 = (Bl)s>°, B2 = (B2)s>°, ..., Bn = (Bin)s>° - винеровские процессы
с коэффициентами корреляции pj между Bг и Bj, ц € R, а > 0, а стохасти-
k
ческие процессы замены времени 7k удовлетворяют условию
k
P (У(T) < то) = 1.
При этом предполагается, что процессы замены времени в (4) являются независимыми с винеровскими процессами, т.е. Bг независим с 7j, i,j € € {1, 2,... ,n}. Процессы замены времени могут быть зависимыми между собой. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть процесс H определяется уравнением (4), где ц > 0. В этом случае 'решение задачи (3) есть т* = T, т.е.
(5) sup Eexp ( HT — max Ht ) = Eexp ( HT — max Ht
°<t <T V °<t<T J V °<t<T
Следствие 1. Если в рамках теоремы 1 Н - процесс со стационарными приращениями, то вместо (5) имеем равенство
Замечание 1. Как известно, в силу леммы Дамбиса-Дубинса-Шварца (см., например, § 11.5.1 в [8]) любой непрерывный локальный мартингал X = = (Хг)г>0, Хо = 0, (X= то представйм как
где В = (Вг)г>о - винеровский процесс и (Т(£))г>о - некоторый процесс замены времени. В условии теоремы 1 предполагается независимость процесса Т(£), но допускаются скачки в процессе.
Замечание 2. Отметим, что никаких дополнительных предположений, кроме независимости с винеровскими процессам, на вид процессов замены времени не делается. Результат теоремы 1 справедлив для геометрического броуновского движения, аффинных процессов, процессов со стохастической волатильностью, процессов Леви и их сумм, определяемых видом рассматриваемой многофакторной модели. Таким образом, результат работы [7] обобщен на существенно более широкий класс стохастических процессов.
Полагая к = 1, у = г — и2/2 и 7(£) = £ в (4), нетрудно видеть, что результат теоремы 1 включает результаты работ [1, 2] по нахождению условий, определяющих "хорошую акцию".
Пример 2. Обобщенные гиперболические процессы.
Варианс гамма и гауссовский обратно-гауссовский процессы, рассмотренные в [7], имеют представления
где д = (д(£))г<т и гд = (гд(£))г<т - гамма и обратно-гауссовский независимые с броуновским движением процессы соответственно. Данные процессы являются процессами Леви с более "тяжелыми хвостами", чем броуновское движение. Они имеют многочисленные применения в моделировании различных финансовых индексов, смотрите, например, работы [9-12].
Пример 3. Модели стохастической волатильности.
Хг = Вт (г))
3. Примеры
Пример 1. Геометрическое броуновское движение. Заметим, что решением уравнения (1) является процесс
Нг = + Вд(г) и Нг = + Вгд(г),
Предположим, что процесс Н имеет дифференциал Ито
(6) (1Щ = +
где В = (Вг)г<т - броуновское движение и процесс стохастической волатиль-ности (а(Ь))г<т удовлетворяет почти наверное условиям:
т
а2(Ь) > 0, 0 < Ь < Т, J а2(в)(в < то.
о
Данная модель весьма популярна в приложениях, в частности в финансовой математике, см., например, работу [13] и библиографию в ней.
В рассматриваемом случае согласно лемме Дамбиса-Дубинса-Шварца процесс Н имеет представление
(7) Н = р + В?(г), ь < т,
где В = (В8)5>0 - некоторое броуновское движение. В представлении (7) замена времени Т(Ь) определяется как
Т(Ь) = ! а2(в)(8.
о
В случае детерминированной волатильности при ц > 0 процесс Н (6) также удовлетворяет условиям теоремы 1. При этом, как нетрудно заметить, уже при функции волатильности
^(ь) = ь, ь < Т,
процесс Н не является процессом Леви.
Если процесс волатильности порожден некоторым другим броуновским движением Ш, независимым с В, удовлетворяя, например, уравнению модели Хестона (см. [14, 15])
(а2(Ь) = д(а - а2(Ь))(Ь + Ъа(Ь)дШь,
то в качестве броуновского движения ВТ можно выбрать процесс В, и условия теоремы 1 будут также выполнены.
Пример 4. Модель Мертона.
Пусть процесс Н имеет вид
г
(8) Нг = У г(в)(в + В7(4),
о
г
где процесс замены времени 7 удовлетворяет условиям теоремы 1, а г = = (г(Ь))^т - стохастический процесс процентной ставки.
В модели Мертона (см. [16, 17]) предполагается, что г определяется уравнением
м
rt = ro + at + ев
с r0 > 0, a > 0, в > 0 и броуновским движением Bм = (BtM)t>0. По формуле Ито
t
,2 f
Ht = rot + SL-+P J (и + t)dB™ + Bl[t). o
Используя пример 3 и тот факт, что результат теоремы 1 сохраняется при замене постоянного сноса у на детерминированный возрастающий ограниченный снизу константой уо > 0 снос y(t), видим, что теорема 1 применима и к процессу (8).
4. Заключение
В статье автором доказаны достаточные условия, при которых оптимальным моментом остановки в задаче о предсказании неизвестного максимума экспоненты локального мартингала с линейным сносом является конечный момент интервала наблюдений. Круг рассмотренных процессов представляется весьма широким. Он включает в себя, в частности, обобщенные гиперболические процессы Леви, собственно броуновское движение, а также модели со стохастической волатильностью и случайной процентной ставкой. Полученные результаты определяют достаточные условия, при которых финансовый актив, имеющий указанное распределения логарифма, оптимален для долгосрочного инвестирования. Аналогично [1], можно назвать актив данного типа "хорошей акцией".
ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство теоремы 1. Для t > 0 положим
(П.1) Ht = max Ни и St = max Su = eHt.
0<u<t 0<u<t
В этом случае задача (3) может быть записана в виде
sup E(Sr/ST).
0<t <T
Имеем
E(Sr/ST) = E ( E ( ф- 71(i), 72(i), • • •, 7"(*), t < T
T
Заметим, что (П.2)
Е(
т
1г(Ь) = 7о(Ь), г = 1,2,...,п, Ь < Т) =
• к
То (г)
Еехр рт + ^ -кВК, ) - шах рЬ + ^ -кВ^о
к=1
к=1
При этом (П.3)
Е-к Вко (г) = Е-V^ (ьж
к=1
к=1
где Жк, к = 1,2,...,п,- стандартные нормально распределенные случайные величины с коэффициентами корреляции рг] между N и Nj. Из (П.3) следует, что
Е„ктзк Ьа'ш
к=1
7о (г)
\
г,з=1
где N - некоторая стандартная нормально распределенная случайная величина.
Положим
п у-
а(Ь) = £ -Vргу7г(Ь)7^(Ь).
г,з=1
Тогда получаем, что для произвольного момента остановки т < Т
(П.4)
Е-кВкк, , - ша^ рЬ + У^ акВ
~*0(т) г<т \ ^
к=1
к-пк 1 Ьаш
- В „к
к=1
70к (г)
Ьат
'= Ва0(т) - ИЩ* {рЬ + В«о(г))
где ао(Ь) = Р V ^0(Ь)т0(Ь) и В = (Вг)г>о - некоторое броуновское
движение. Из (П.2) и (П.4) следует, что
(П.5)
Е &
Е(Е(|^
а(Ь), Ь < Т
= Е (Е (ехр (Ят - Нт) ф), 1<т))
Е ^ а(г), = Е (ехр (Ят - Нт) ф), * < т) =
= Е (етр ^Ва(т) + Рт - 1шатс(Ва(г) + РЬ)) Ф), Ь < .
и
Очевидно, что
(П.6) E ^exp(Ба{т) + ут - imax(Ba(t) + yt)) | a(t), t < T j =
= E ^min jexp ^Ба(т) + ут - max (BaW + yt)^ , exp(-Tmaxr(B«(t) + yt - Ба(т) - ут)) | a(t), t < T j .
Положим
(П.7) GM (s, x) = E^min|exp(-x), exp max(Ba(t) + yt - Ba(s) - ys)^| a(t)
s < t < T
Тогда, сопоставляя (П.6) и (П.7), получаем, что
(П.8) Е (ехр (Ят - Нт) a(t), t<T) =
= Е^G" (т, inaTx(B«(t) + yt)-Ba(T) - ут) |a(t), t < т).
Фиксируем произвольную трае
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.