ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2012, No 3, с. 57-64
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 004.94+517.95
О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ЛАПЛАСА И ДИНИ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗЛОЖИМЫМ ГЛАВНЫМ СИМВОЛОМ
© 2012 г. Е.И. Ганжа
Красноярский государственный педагогический университет, 660049, Красноярск, ул. А.Лебедевой, 89 E-mail: eiganzha@mail.ru Поступила в редакцию 10.09.2011
Реализованные в современных системах компьютерной алгебры алгоритмы решения линейных уравнений с частными производными обычно ограничены случаем уравнений с двумя независимыми переменными. В данной работе предложено обобщение теории преобразований Лапласа на дифференциальные операторы второго порядка в R3 (и более общо, в Rn) с главным символом, разлагающимся в произведение двух линейных по производным множителей. Рассмотрено два алгоритма таких обобщенных преобразований Лапласа и описаны классы операторов в R3, к которым они применимы. Исправлена ошибка в работе [8] и показано, что преобразование Дини является преобразованием Лапласа для оператора с коэффициентами из некоммутативного тела Оре.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее десятилетие широкое развитие получили различные алгоритмы решения дифференциальных уравнений с частными производными, основанные на дифференциальных подстановках ([2], [7]—[11]). Имеются частичные реализации [12] этих алгоритмов в системе компьютерной алгебры REDUCE [15]. Однако, как правило, их применение принципиально ограничено уравнениями с двумя независимыми переменными. Почти единственными исключениями являются [3] и [8]. В настоящей работе мы обобщим известный алгоритм каскадного преобразования Лапласа на некоторый класс уравнений второго порядка с тремя и более независимыми переменными.
Как известно (см. [1, 11]), линейные гиперболические уравнения второго порядка на плоскости, например
Uxy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (1.1)
с отличным от нуля инвариантом Лапласа h = ax + ab — c допускают дифференциальную подстановку v = uy + au, называемую преоб-
разованием Лапласа, и переводящую решения уравнения (1.1) в решения уравнения
Li(v) = Vxy + aiVx + b(x, y)vy + civ = 0, (1.2)
где a1 = a — hy/h, c1 = a1b + by — h.
Условие h = 0 гарантирует обратимость этого преобразования: подстановка u = h (vx + bv) переводит решения уравнения (1.2) обратно в решения (1.1).
Вышеописанные преобразования лежат в основе классического алгоритма нахождения решений для некоторого класса уравнений (1.1) (каскадный метод Лапласа). Именно, проделав преобразование Лапласа несколько раз (обычно это приводит к резкому росту сложности коэффициентов и требует использования систем компьютерной алгебры), можно в некоторых случаях получить уравнение вида
(Dx + b)(Dy + a)u = 0,
(Dx = dx, Dy = dy), которое легко интегрируется, а затем, воспользовавшись обратными преобразованиями Лапласа, получить из решений этого уравнения решение исходного
уравнения (1.1). Описанный алгоритм после соответствующих модификаций применим и к другим типам линейных дифференциальных уравнений на плоскости [4, 5]. Еще один класс преобразований (преобразования Мутара) с применением к решению уравнения Шредингера рассматривался в [6].
Применение преобразования Лапласа к общему гиперболическому уравнению второго порядка на плоскости обычно основано на приведении уравнения к виду (1.1) заменой независимых переменных. С алгоритмической точки зрения это требует выпрямления характеристик уравнения, то есть решения произвольных нелинейных уравнений первого порядка, что, как очевидно, весьма затруднительно. Простой способ совершать преобразования Лапласа для любых строго гиперболических уравнений с переменными коэффициентами
Ьи = Аихх+Виху+ Сиуу+_Оих+Еиу+_Ри = 0, (1.3)
не приводя их к каноническому виду (1.1), был предложен в [9, 10]. Там же были указаны примеры применений обобщенного алгоритма Лапласа к некоторым уравнениям математической физики. Именно, любое строго гиперболическое уравнение Ьи = 0 вида (1.3) можно записать в характеристической форме
Ьи = (Х1Х2 + а Х1 + «2X2 + аз)и = 0, (1.4)
где а = «¿(ж, у) — некоторые конструктивно выписываемые функции, а коэффициенты характеристических операторов Xi = Ох — Аг(ж,у)^у находятся из характеристического уравнения
АА2 — В А + С = 0. Используя инвариант Лапласа
Н = Х1(а1) + а2а1 — а3, (1.5)
запишем исходный оператор Ь в частично факторизованной форме
Ь = (Х1 + а2)(Х2 + а1) — Н. (1.6)
Из нее мы видим, что уравнение Ьи = 0 эквивалентно системе первого порядка
Г (Х2 + «!)и = *, (1.7)
\ (Х1 + 0!2)-У = Ни. у '
Если инвариант Н = 0, найдем и из второго уравнения системы (1.7):
и = Н-1(Х1 + о^и (1.8)
и подставим это выражение в первое уравнение системы (1.7). Получим преобразованное уравнение
Ь1и = Х1Х2и + (а1 — р1 — Х2(1п Н))Х1и +
+ (а — Р2)Х2^ + (Х2(а2) — (1.9)
— Х1(а1) + а3 — а2Х2(1п Н))-и = 0,
где = Рг(ж,у) — функции из соотношения [Х1, Х2] = р1Х1 + р2Х2. Оператор Ь1 называется Х1-преобразованием Лапласа оператора Ь. Аналогично, если записать (1.3) в виде
Ь = (Х2 + а1)(Х1 + а2) — к,
можно совершить Х2-преобразование Лапласа (в случае к = 0) и получить оператор Ь-1. Нетрудно проверить, что операторы Ь и ¿1 связаны "соотношением сплетения"
М1 о Ь = Ь1 о М,
где М = Х2 + а1, М1 = Х2 + а1 — Х2(1пН).
Цель данной работы — обобщение теории
преобразований Лапласа на дифференциальные
операторы второго порядка в М3 (Мп) с
разложимым главным символом. Для уравнений
второго порядка в Мп разложимость главного
символа означает, что главный символ,
рассматриваемый как многочлен второго
порядка от формальных коммутативных д
переменных ^ = дх, разлагается в произведение двух линейных по ^ многочленов. Это условие автоматически выполняется для любого линейного гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Для многомерных уравнений разложимость ограничивает рассматриваемый нами класс операторов. Отметим, что в работе [8] на основе результатов У. Дини было предложено другое преобразование для такого же класса операторов. Это преобразование не является дифференциальной подстановкой. Как мы показываем ниже, в [8] была допущена ошибка. Мы исправляем эту ошибку и показываем, что преобразование Дини из [8] фактически является
преобразованием Лапласа для оператора вида (1.4) с коэффициентами аг из некоммутативного тела Оре псевдодифференциальных операторов. Рассмотрено два алгоритма таких обобщенных преобразований Лапласа и описаны классы операторов в Мз, к которым они применимы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00762а) и гранта НШ-7256.2010.1 поддержки ведущих научных школ.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА С НЕКОММУТАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Мы будем рассматривать операторы вида
Ь = Ац А + ЛпОхБу + А22 А +
+ Азз А + А13 АА + А2з^у А + (2.1) + А1 Ах + А2Ау + Аз Б г + Ао
с коэффициентами А* = А*(х,у,г) из некоторого конструктивного алгебраически замкнутого дифференциального поля функций Е. Пронормируем оператор (2.1) условием Ац = 1 и возьмем часть его главного символа А + А12Бх Бу + А22Ау. Найдем корни Лг уравнения Л2 — А12А + А22 = 0. Предполагается, что А1 = Л2 — вещественные корни в некоторой области М3. Легко заметить, что оператор (2.1) при этом можно записать в виде
Ь = Х1Х2 + а^1 + а2^2 + аз,
(2.2)
где Хг = Бх — Лг(х,у,г)Бу, а аг — дифференциальные операторы относительно , аз — оператор второго порядка (в общем случае), а1 = т(х, у, г) А + п(х, у, г), а2 = /(х, у, г) А + д(х,у,г), то есть аг Е Е[А].
Таким образом, мы пришли к задаче построения преобразования Лапласа для операторов вида (1.4), но с некоммутативными коэффициентами из кольца дифференциальных операторов Е[А ] (а в дальнейшем и более общего вида). Для работы с такими операторами естественно воспользоваться алгебраической конструкцией неком-
мутативного тела Оре ([13, 14]) формальных отношений дифференциальных операторов: Е(А) = {Я|Я = Р-1 <; Р,<< Е Е[А]} с отношением эквивалентности: Р-1< ~ К-1Ы, если
существуют такие Б,Т Е Е[А], 5 = 0, Т = 0, что БР = ТК, = ТЫ.
Более общо, любое некоммутативное кольцо К, для которого выполнены условия Оре (см. ниже), изоморфно вкладывается в тело Т = {Е|Е = Р-1<; Р,< Е К} с приведенным выше отношением эквивалентности.
Условия Оре на исходное некоммутативное кольцо К заключаются в следующем:
1. К не содержит делителей нуля, то есть У А, В Е К, если АВ = 0, то либо А = 0, либо В = 0;
2. У А, В Е К, А = 0, В = 0, ЭР = 0, < = 0, такие, что РА = <В, и ЭМ = 0, N = 0, такие, что АМ = ВЫ.
Нетрудно показать, что в кольце Е[А] (а также в кольцах операторов с частными производными Е[Ах,Ау]) выполнены условия Оре, поэтому Е[А] изоморфно вкладывается в определенное выше тело Оре Е(А). Тем самым мы можем производить с коэффициентами оператора (2.2) все арифметические операции, учитывая свойство некоммутативности. Результатом всегда будет дифференциальный оператор того же вида с коэффициентами из тела Е(А). Тело Е(А) имеет внешние дифференцирования А, Бу, очевидным образом продолжаемые с исходного кольца Е[А ]. В теле Е(А) корректно определен порядок элемента по формуле отй(Р-1<) = отй(О) — отй(Р).
Тем самым становится возможным формально проделать такие же шаги преобразования Лапласа, как и в коммутативном случае. Запишем оператор (2.2) в виде (1.6) с Н = [Х1,а1] + а2а1 — аз. Отсюда видим, что Н Е Е[А ,Бу ], так как [Х1,а1] = [Х1, тБг + п] = Х1(т) А + Хф) + тБг(Л^Бу, где т = т(х, у, г), п = п(х, у, г), А1 = А1 (х, у, г) — функции из Е.
Нетрудно также показать, что оператор (2.2) всегда можно представить в виде
Ь = (Х1 + а2)(Х2 + а1) — Н, с аг и Н из Е[А]. Для этого нужно взять
(2.3)
а1 = а1 + в, а2 = а2 — в, (2.4)
где в = тВ—л. При этом
Н = Х1(т)Д* + Х1(п) + Х1(в) + Й2Й1 — аз (2.5)
является оператором второго порядка относительно Д* в общем случае. Проделаем для оператора (2.2) в виде (1.6) или (2.3) формально те же шаги преобразования Лапласа, что и в коммутативном случае, при этом будут верны формулы (1.7), (1.8). Аналог формулы (1.9) в некоммутативном случае имеет вид
Ь1 = Х2Х1 + -Ш1Х1 + а2Х2 + (ад1«2 — Н + [Х2,а2]),
(2.6)
= На1Н 1 — [Х2, Н]Н 1. Здесь для удобства мы опускаем тильду над аь, Н.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.