научная статья по теме О ПРЕЦЕССИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВОГО КОЛЬЦА ВСЛЕДСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ Механика

Текст научной статьи на тему «О ПРЕЦЕССИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВОГО КОЛЬЦА ВСЛЕДСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2015

УДК 531.383

© 2015 г. В. Ф. ЖУРАВЛЁВ

О ПРЕЦЕССИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ

КРУГОВОГО КОЛЬЦА ВСЛЕДСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ

Маятник Фуко, обладающий свойством сохранять в инерциальном пространстве плоскость своих колебаний, теряет это свойство, как только траектория перестает быть плоской. Если конец маятника описывает вместо отрезка прямой эллиптическую траекторию, то этот эллипс прецесси-рует в том же направлении, в котором материальная точка описывает сам эллипс. При этом угловая скорость прецессии эллипса пропорциональна его площади и объясняется нелинейностью уравнения колебаний математического маятника [1].

В упругом нерастяжимом кольце, являющемся одним из представителей семейства "обобщенный маятник Фуко" [1], имеет место аналогичное явление: если в неподвижном кольце возбудить стоячую волну, то она будет неподвижной относительно кольца только в случае нулевой квадратуры, если же квадратура не равна нулю, то стоячая волна прецессирует относительно кольца со скоростью, пропорциональной величине квадратуры.

Как и в случае классического маятника, это явление объясняется нелинейностью кольца, как колебательной системы.

В настоящей заметке получена явная формула для вычисления угловой скорости подобной прецессии.

Ключевые слова: обобщенный маятник Фуко, упругое нерастяжимое кольцо, прецессия формы колебаний.

Выведем уравнения колебаний тонкого нерастяжимого кольца без предположения малости амплитуд колебаний, следуя изложению работ [2, 3]. Рассмотрим в плоскости ху кольцо в произвольном деформированном состоянии (фиг. 1).

Будем использовать следующие переменные и обозначения. Независимая переменная 5 определяет положение на кольце рассматриваемой точки и представляет собой длину дуги между некоторой начальной точкой кольца и рассматриваемой точкой. Полярные координаты этой точки, определяющие её положение в плоскости ху и принимаемые за обобщенные лагранжевы координаты, обозначаются через г и 0. Угол Ф — вспомогательный угол, который потребуется в дальнейшем при вычислении потенциальной энергии деформированного состояния кольца.

Уравнения движения удобно составить в форме уравнений Лагранжа, для чего требуется выписать плотность потенциальной энергии, плотность кинетической энергии и уравнение связи. Выведем сначала уравнение связи. Для этого вычислим длину дуги кривой, изображающей среднюю линию кольца между точками 5 и 5 + А 5, где А 5 — малое приращение. Из образованного приращениями Дф, Дг и А 5 треугольника на фиг. 2 находим

Фиг. 1

Фиг. 2

(А^)2 = (А г)2 + (г Ав)2 =

Отсюда уравнение связи получается в виде

(г ')2 + (г 0 ')2 = 1 (1)

Дифференцирование по независимой переменной, определяющей положение точки на кольце, будем обозначать штрихом.

Плотность кинетической энергии кольца имеет вид

Т = (1/2) р 5ГГ2 + г2 02] (2)

Через £ обозначена площадь поперечного сечения кольца. Угол Ф (фиг. 1) определяет положение нормали к осевой линии кольца в рассматриваемой точке. Производная от этого угла вдоль деформированного кольца, обозначаемая через Ф', характеризует кривизну деформированного кольца в этой точке. Напряжения изгиба в кольце воз-

никают при изменении его кривизны, определяемой формулой Ф'- Ф0, где Ф0 обозначает производную от Ф в рассматриваемой точке для недеформированного кольца. Плотность потенциальной энергии поэтому может быть записана в виде

П = (1/2)Е1(Ф' -Ф0)2 (3)

Следовательно, плотность функции Лагранжа выражается как

Х(0,г,г,Ф') = (1/2)5р[(г2 + г202) -Е1 (Ф'-Ф0)2] (4)

Переменная Ф не является обобщенной координатой и должна быть выражена через г и 0. Угол между направлением радиуса-вектора в данной точке кривой и нормалью к кривой в этой точке (на фиг. 1 угол а) определяется как

1 йг

tga =--

гй0

Следовательно,

Ф = 9 - аг^ (-^ (5)

Переписывая связь (1) в форме

/(9',г,г') = [(г')2 + (г9')2 - 1] = 0 (6)

воспользуемся вариационным принципом Гамильтона для составления уравнений движения кольца. Минимизируемый функционал есть действие по Гамильтону:

¡2 ¡2

Н = Ц[Х(9, г, г, Ф')-Щ9', г, г ')]ййя (7)

¡1 ¡1

где X — неопределенный множитель Лагранжа (функция я и t). Вариация функционала имеет вид

'2гдХ5б + дъЪг + дъ5. + дх 5ф'_

.59 дг дг дФ' /оч

(8)

5н = |

¡1

( 59' + д/ 5г + щ 5г •) \д9' дг дг !.

Интегрируя по частям, сводим вариации 89,8г,8Ф ',89', 8г' к вариациям 89,8г, 8Ф:

¡2

бН = _ ...

А I д/\\ А ЯТ '

(- т+й ))+(дх - й дх -

й 59 йЛ 59'И \дг й дг (9)

-ад/ + й (Щ )-й М. §Ф

дг йЛ дг 'П йя 5Ф'

Вариацию 5Ф, которая не является независимой от 50 и 5 г, получаем из соотношения (5):

5Ф = 50--

(г 0 ')2

(г0 ')2 + г

15 &)

Учитывая уравнение связи (1), имеем

§ф = 59- г9'5 г' + г'9'5г + гг'59' (10)

Подставляя это соотношение в (9) и снова интегрируя по частям, для исключения 5г' и 89', находим

SH = ) ) (Г- d дЛ+d (xf )d ^

JJ(L dt 59 ds\ 597ds5Ф'

si ti

+ -

d (rr d dL )lS9 + rdL - d dL

ds\ ds 5Ф7 _

+

dr dt dr dr

8r} dtds

+ d Uf)-d (r 9' d dL)-r ■ 9' d dL ds\ dr'! ds\ ds5Ф7 ds5Ф'J

Отсюда следуют уравнения Лагранжа динамики тонкого нерастяжимого кольца без каких-либо ограничений на величину деформаций:

d dL _ d Uf) + d JL _ d (rr • d IL) = 0

dt 59 ds( 59') ds 5Ф' ds \ ds 5Ф7 (11)

d dL _dL + ^5_ d (f)+ d (• d M.) + r • 9' d dL = 0

dt дг дг дг йЛ дг 7 йЛ ds дФ 7 ds дФ'

Эти уравнения совместно с уравнениями связи (6) позволяют найти г, 9, X как функции t и ^.

Переменные г и 0 будут характеризовать положение в системе ху точки кольца, отстоящей от некоторой помеченной его точки на расстоянии л, измеряемом вдоль изогнутой средней линии, в произвольный момент времени t. Коэффициент X есть значение реакции связи (натяжение в кольце в точке с координатой л в момент времени t). Подставляя в уравнения (11) выражения (4) и (6), получаем

Spй[г29 - Е1(Ф - Ф0)" + Е1[гг'(Ф - Фо)"]' - (Аг29')' = 0

dt (12)

Брг - 5рг92 - Е1[г9'(Ф - Фо)"]' - Е/г'9'(Ф - Ф0)'' + Аг9'2 - (Аг')' = 0

Уравнения (12) представляют собой уравнения колебаний кольца с большими перемещениями, исходная недеформированная форма которого не обязательно имеет форму окружности.

В дальнейшем рассматривается круговое кольцо радиуса Я и для решения нелинейной системы (12) используется метод двух масштабов [4]. Все подробности процедуры решения можно найти в [2]. В частности, в главе 12 (с. 64) волна изгибных колебаний в тонком, нерастяжимом и не вращающемся кольце представлена в форме суммы двух бегущих в противоположных направлениях волн:

= а ео8(2ф + ю0т) + Ь со8(2ф-ю0т) (13)

Здесь ф — угол, определяющий место на кольце, в котором наблюдается его отклонение от окружности, ю0 — частота собственных колебаний неподвижного кольца, соответствующая эллиптической форме:

к(к2 -1) 100 = ЖТ

Безразмерное время т определено так

, Е1 ,

Т =-7 t

JpSR4

где Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения, р — массовая плотность кольца, 5 — его поперечное сечение, а Я — радиус, t — размерное время.

Волна с амплитудой а перемещается по часовой стрелке, волна с амплитудой Ь — против часовой стрелки. Если а = Ь результирующая волна является стоячей. В "электрическом" пространстве (х,у), где значения

х = А 1р=о = (а + Ь)со8«от, у = Аф=п/4 = (Ь -а^т«от (14)

представляют собой напряжения, снимаемые с электродов, находящихся в указанных положениях, выражения (14) являются уравнениями эллипса в параметрической форме, в которых в качестве параметра выступает безразмерное время т. Полуоси этого эллипса таковы:

г = Ь + а и к = Ь - а (15)

В [2] получено уточнение выражения для волны (13), учитывающее нелинейные свойства нерастяжимого кольца:

а = аео8

2 2 Т

2ф + ю0т - (а1а + а2Ь ) —

ао.

+ Ь ео8

2 ф - ю от + (а2 а2 + а3 Ь3) —

ао

Это уточнение потребовало построения трех приближений метода двух масштабов, поскольку, как известно, в нелинейных системах эффект изменения частоты (а именно установление этого эффекта и понадобится) обычно улавливается лишь в третьем приближении.

Скорость прецессии эллипса определяется суммой стоящих перед временем т коэффициентов

12 2 12 2

ЮрГ = ю0--(а1а +а2Ь ) -ю0 + — (а2а + а3Ь ) =

ао ао (16)

= —[(а2 -а1)а2 + (аз - а2)Ь2] ао

Выразим из (15) а и Ь через г и к, и подставим в (16): 1 2

Юрг =-— [(г + к) (аз -аО + 4гк(а2 -а1)] (17)

4а о

Если к = 0, что соответствует стоячей волне и прямолинейным колебаниям в электрической плоскости (квадратура равна нулю), то

12

Юрг =-— (аз -а1)г (18)

4а о

Этот результат уже был получен в [2]. Он означает появление ухода по чисто нелинейным причинам, что сводится к зависимости масштабного коэффициента Брайана не только от амплитуды колебаний г, но и от угловой скорости вращения кольца ю.

Если г + к = 0, что означает случай чисто бегущей волны (в электрической плоскости окружность), то

ЮрГ = — (а1 -а 2)гк (19)

а 0

и этот результат говорит о чисто геометрическом факте влияния квадратуры на дополнительную прецессию стоячих волн в кольце.

Коэффициенты а1, а2, а3 вычислены в [2, 3] в зависимости от параметров кольца, его угловой скорости и номера рассматриваемой формы колебаний.

После вычисления коэффициента (а1 - а 2)/а 0 по формулам, приведенным в [2, 3] для случая неподвижного кольца (ю = 0), в размерных переменных получим

ю„Г = 10.694ц ^к (20)

Я2

где ц есть размерная частота собственных колебаний кольца:

ЮО _Е1_ (21)

2n\pSR

Пример. Пусть частота собственных колебаний кольца равна 500 Гц. Амплитуда колебаний кольца равна r = 0.001 мм. Квадратура равна k = 0.0001 мм. Радиус кольца равен R = 30 мм, подставляя в (21), найдем уход, равный юрг = 0.77 °/час.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Журавлёв В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 27-35.

2. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 125 с.

3. Glynn C.C. On the resonant nonlinear traveling waves in a thin rotating ring // Intern. J. Non-Linear Mech. 1982. V. 17. № 5/6. P. 327-349.

4. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.

Москва Поступила в редакцию

E-mail: zhurav@ipmnet.ru 27.0

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»