научная статья по теме О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА Математика

Текст научной статьи на тему «О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1091-1108

УДК 519.651

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИИ ДВУХТОЧЕЧНЫМИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА

© 2015 г. В. В. Шустов

(125319 Москва, ул. Викторенко, 7, ФГУПГосНИИ авиационных систем) e-mail: vshustov@gosniias.ru Поступила в редакцию 24.07.2014 г.

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных формах. Даны интерпретация и связь двухточечного представления функции и ее разложения в ряд Тейлора. Сформулирован достаточный признак сходимости последовательности двухточечных многочленов к заданной функции. Приведены примеры представления синус-функции последовательностью двухточечных многочленов Эрмита для заданных отрезков. Проведено аналитическое и численное сравнение погрешностей приближения функции с использованием двухточечного разложения и ее разложения в ряд Тейлора. Библ. 8. Фиг. 8. Табл. 6.

Ключевые слова: формула Тейлора, интерполяция Эрмита, приближение функций многочленами, двухточечное разложение, оценка погрешности приближения.

DOI: 10.7868/S004446691504016X

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим представление функции у =Д(х), имеющей достаточное количество производных на некотором промежутке, в виде ряда по степеням переменной х. Если заданы значения производных до порядка ж + 1 включительно в какой-либо одной точке х0 этого промежутка, то функция Д(х) может быть представлена (см. [1, с. 549]) в виде многочлена Тейлора Тж(х)

* f j

T (x) = X - X0)j (0.1)

j=0 j

с коэффициентами при степенях переменной, зависящими от значений производных в этой точке , и остаточного члена г, записанного, например, в форме Лагранжа:

г(х) = ¿^(х - х)+1, (0-2)

(5 + 1)!

где п е (х0,х), т.е.

дх) = ад + г(х). (0.3)

При определенных условиях, в частности при существовании и ограниченности производных любого порядка, эта функция может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Т(х) = У ¿^Щх - х{). (0.4)

!!

Фиг. 1. Приближение функции y = sin х рядом Тейлора.

Известны разложения для некоторых функций в ряд Тейлора. Так, например, для функции y = sinх разложение ее в ряд в точке х0 = 0, которое в этом случае называется рядом Маклорена, имеет вид (см. [1, с. 179]):

3 5 7 2k+1

sinx = x - — + — - — + ... + (-1)k—-+ ..., k = 0, 1, 2, ... (0.5)

3! 5! 7! (2k +1)!

Используя соответствующее число членов этого ряда, можно с заданным приближением аппроксимировать функцию многочленом на заданном конечном промежутке. Пример аппроксимации функции y = sin х многочленом Тейлора, построенным по значениям производных в точке х0 = 0 для различного числа членов k этого разложения, представлен графически на фиг. 1.

Из графиков, представленных на фиг. 1, видно, что погрешность аппроксимации неравномерна на промежутке разложения: если в окрестности точки разложения многочлен Тейлора хорошо аппроксимирует функцию, то при достаточном удалении от точки разложения аппроксимирующий многочлен существенно отличается от функции. Действительно, функция y = sin х ограничена на всей вещественной оси, так как ее значение не превосходит единицы, в то же время многочлен T^) в общем случае не ограничен на всей вещественной оси. Наличие существенной неравномерности аппроксимации функции f (х) многочленом Тейлора отмечено также в [2, с. 30].

Одним из способов уменьшения погрешности и, соответственно, улучшения аппроксимации функции многочленом является использование информации о значениях функции и ее производных не только в одной точке х0, но и в других точках заданного отрезка [х0, х1].

Если имеем значения функции в некоторых точках и значения производных в этих же точках, то задача отыскания некоторой приближающей функции, проходящей через указанные точки и совпадающей с заданными значениями ее производных в этих точках, относится в общем случае к задаче, традиционно называемой задачей интерполирования Эрмита (см. [2, с. 163]). Для решения задачи интерполяции в классе многочленов строится интерполяционный многочлен Эрмита.

Многочлен Тейлора можно рассматривать как частный вид интерполяционного многочлена Эрмита, построенного по одной точке (см., например, [4, с. 74]). Можно сказать, что многочлен Тейлора осуществляет одноточечное разложение функции, так как в этом случае значения функции и ее производных задаются только в одной точке.

Многочлен, построенный по значениям функции и ее производных, заданных только в двух крайних точках отрезка, назовем двухточечным многочленом Эрмита, или, кратко, двухточечным многочленом. Представление функции с использованием двухточечного многочлена можно назвать двухточечным представлением. Представление функции последовательностью двухточечных многочленов назовем двухточечным разложением.

В работе рассматриваются вопросы представления многочлена, приближающего заданную функцию при известных значениях функции и ее производных в обоих концах заданного отрезка [х0, х1]. Кроме того, исследуются вопросы, связанные с приближением функции последовательностью двухточечных многочленов.

1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОГО МНОГОЧЛЕНА

Пусть в обеих концевых точках отрезка [х0, х1] заданы значения функции f(х) и ее производных до порядка аг1 включительно:

= у = 0,1,..., а, -1, , = 0,1.

(1.1)

Необходимо построить многочлен, удовлетворяющий условиям (1.1).

Такой многочлен может быть построен различными путями.

Для построения этого многочлена достаточно ограничиться использованием решения задачи Эрмита для общего случая, в котором предполагается, что значения функции и ее производных известны в п + 1-й точке отрезка [х0, хп].

Общая формула для представления многочлена Н(х), удовлетворяющего условиям (1.1), согласно, например, [3, с. 172], а также [5, с. 154] и [6, с. 146] на отрезке [х0, х1], в наших обозначениях имеет вид

1 а,-1 а,-1-у

1=0 у=0 к=0

</)Ц к !у!

(х - х) О(х)

(к)

Р(х)

<=х. (Х - Х)

а, -У-к

(1.2)

где

П(х) = (х - х0)ао(х - х/1. (1.3)

Формула (1.2) для случая двухточечного представления может быть существенно упрощена и представлена в удобном для дальнейшего использования виде.

После подъема членов формулы с отрицательными степенями в числитель дроби и выноса членов, не зависящих от индекса суммирования по к, во внешние циклы формула для многочлена Н(х) примет вид

1 а, -1 (у) а,-1-у

Н(х) = Х^X У - х,)У X к|

,=0 (х - х) 'у=0 у!

к=0

(х - х,)°

О(х)

(к)

(х - х)

Введя обозначение

ю,(х) =

1 / \0 (х - х,)

формулы для Н(х) и ю(х) можно записать в виде

1 а,-1 у) а,-1-у

Н(х) = Xю'<x)X/ух - х)) X к

а,-1-у

1

_ю,(х)_

(к)

(х - х,) ,

,=0 у=0 J к=0

Ю,(х) = (х - х1-;)а1-'.

Последовательным дифференцированием и подстановкой при х = х1 находим, что

1

_Ю,( х)_

(к)

= (-1)

к(а1-, - 1 + к)!

1

(а!-, - 1)! (х,-х1-,)

а1-/ + к'

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

С учетом (1.7) формула (1.5) для Н(х) принимает вид

1 а,-1 (.•) а,-1-у

Н(х) = Xш;<x)Xух — х)) X 1(-1)к;

а,-1-у'

1

(х - х,)

к! (а . — I)! (х. —х )-'-■■"

,=0 у=0 ^ к=0

Выполнив дальнейшие несложные преобразования и учтя (1.6), получим, что

у Г " % кV ' (а1-, — 1)! (х, —х,-^+к

Н(х) = XI

,=0

х - х

1-

х, х1-,

-

Xу - х)у X 1(аг- 1^) ■

^ к! (ам -1)! \х1-,-х1)

а, -1-]

у=0

к=0

(1.8)

к

Для более наглядного представления многочлена Н(х) введем относительные переменные '¡, I = 1, 2, связанные с исходной переменной х соотношением

^; = , (1.9)

хи -х;

из которого видно, что переменные '0 и ' удовлетворяют равенству

'о + ' = 1. (1.10)

Обозначим через наивысший порядок производной, используемой для построения многочлена Н(х) в узловой точке х, т.е.

= а,; — 1. (1.11)

Учитывая введенные обозначения и записывая произведение дробей в виде одной дроби, формулу (1.8) можно записать следующим образом:

1 — Ш; - -

ню = У^гг+1У— - х)- у(щ-; +к)! $. (1.12)

у у -! у к!(т1-;)!

В этой формуле так же, как и последующих, сохраним прежнее обозначение для многочлена Н(х), хотя в правой части формулы кроме исходной переменной х имеются переменные '¡, связанные с переменной х зависимостью ' = '¡(х), как представлено формулой (1.9).

Обозначая дробное выражение под знаком внутренней суммы через акт _., получаем

- т;--

Н(х) = У^Г+1Х-{х - х)У акт^к. (1.13)

¿=0 У=0 -! к=0

Заметим, что введенный коэффициент ар (записанный с опущенным индексом внешнего

суммирования ¡) выражается через биноминальный коэффициент

к _ т!

Ст

т к!(т - к)!

в виде

(1.14)

акт = сШ к (1.15)

С использованием биноминального коэффициента скт многочлен Н(х) может быть записан

в виде

1 т; - т;-}

Н(х) = ур-.+У—{х - х)) У +£к.

;=0 -=0 -! к=0

Ниже представлена часть таблицы коэффициентов представления ар двухточечного многочлена, полученная из соотношений (1.14) и (1.15).

Можно заметить, что множество коэффициентов акт образует треугольник Паскаля, рассматриваемый относительно главной диагонали, элементы которой выделены полужирным шрифтом.

Необходимо отметить, что при заполнении таблицы не обязательно использовать определяющие ее формулы (1.14) и (1.15), в которых необходимо вычислять значения факториалов, а достаточно воспользоваться соотношением

к _ к-1 к ат = ат + am-1,

которое следует из определяющего свойства биноминальных коэффициентов

к _ к-1 к ст = Ст-1 + Ст-1

(см., например, [7, с. 534]). Другими словами, коэффициент разложения в ячейке таблицы равен сумме этих коэффициентов, размещенных в ячейках, примыкающих слева и сверху к данной ячейке.

Таблица 1. Таблица коэффициентов ат

к т 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 3 6 10 15 21 28 36

3 1 4 10 20 35 56 84 120

4 1 5 15 35 70 126 210 330

5 1 6 21 56 126 252 462 792

6 1 7 28 84 210 462 924 1716

7 1 8 36 120 330 792 1716 3432

1.1. Интерпретация двухточечного многочлена Формулу (1.13) можно также записать в виде

1 т, (у) т,-у

У,

Н(х) = XXу<x - х)^"X аЩ_$).

,=0 у=0

у

к=0

Пусть

/г \ г Щ-;+1 \ 1 к у к

ф = X ,

к=0

(1.16)

и назовем фД',) поправочной функц

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком