МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Н.В. МИНАЕВА
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ВОЗМУЩЕНИЙ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Если считать, что решения классических задач механики сплошных сред изучены достаточно хорошо, то малейшие отклонения, например, границы тела или характеристик материала от традиционных делают эти задачи недоступными для точных решений. В этом случае возникает необходимость в приближенных методах, среди которых самым распространенным является метод возмущений. К классическим задачам применения метода возмущений при исследовании поведения деформируемых тел относятся задачи, исследованные в [1-6]. В работах [5, 6] приведен широкий обзор исследований, посвященных анализу влияния возмущений формы границы тела на его напряженно-деформированное состояние.
Во многих исследованиях отмечалось большое значение вопроса сходимости приближенных решений, а это значит исследования непрерывной зависимости решения исходной задачи от характеристик возмущений ("несовершенств"). Данная работа посвящена анализу вида математических моделей деформируемых тел при проведении исследований о непрерывности зависимости решения исходной задачи от характеристик возмущений формы границы тела, на которой граничные условия заданы в напряжениях, и характеристик свойств материала. На основе проведенного анализа сделан вывод о том, что при применении метода возмущений граничные условия в напряжениях следует формулировать на границе реального тела в деформированном состоянии.
Математическую модель, применяемую при изучении поведения деформируемого тела, состоящую из уравнений равновесия, реологических соотношений и граничных условий в напряжениях, запишем в следующей операторной форме:
Я, (и, о, Р) = 0, Н2(и, о, ц) = 0
(1)
Яз( и| /,о, /, Р) = 0
где ц - характеристика физических свойств материала, / - характеристика границы тела, и - вектор перемещений, и/- вектор перемещений точек границы тела, о - тензор напряжений, Р и Р - объемные (массовые) и поверхностные внешние силы.
Решать задачу (1) в общем случае весьма трудно. Поэтому обычно применяются некоторые упрощения. Рассмотрим эти упрощения, касающиеся оператора Н3, т.е. граничных условий.
Пусть граница тела, на которой заданы граничные условия в напряжениях, описывается функцией
/ = / + /(2) где/° - функция, описывающая границу некоторого идеализированного по форме тела, а /(1) - функция, характеризующая отклонение реального тела от идеального (геометрическое "несовершенство").
H.B. Минаева
Поскольку обычно
II/11 < I 1/11 (3)
то вместо математической модели (1) рассматривают такую Н,(и, о, F) = 0, Н2(и, о, ц) = 0
А) (4)
Нз( /0,о, /, P) = 0
Оператор Н3 в (4) соответствует граничным условиям в напряжениях на границе
идеального тела в деформированном состоянии. При этом считается, что решение задачи (4) достаточно хорошо описывает поведение реального объекта, т.е. предполагается, что решение задачи (1) непрерывно зависит от /-1"1 и
lim \Ы\ = |К| (5)
II/0 " "
Однако, решение задачи (4) также бывает весьма затруднительным. Поэтому при определении напряженно-деформированного состояния тела, ограничиваясь задачами, в которых
IIUI ^ 11/11 (6)
вместо математической модели (4) чаще всего рассматривают такую Н1(и, о, F) = 0, Н2(и, о, ц) = 0
^0 (7)
Нз(0, о, /, P) = 0
Оператор Н3 в (7) соответствует граничным условиям в напряжениях на границе идеального по форме тела в недеформированном состоянии. Обозначим решение задачи (7) через u2. Выполнение условия (6) при этом просто проверяется для получен-
0
ного и = и2.
Вопрос же о выполнении условия (5), т.е. о непрерывности зависимости решения задачи (1) от /-1"1 при /-1"1 = 0, остается открытым.
Если исследование непрерывности зависимости решения задачи (1) от /(1) заменить исследованием непрерывности зависимости от /(1) решения следующей задачи:
Н1(и, о, F) = 0, Н2(и, о, ц) = 0
0 (8) Нз(и°,о, /, P) = 0
то это будет равносильно предположению о том, что
N f - /II ^ I/!)и (9)
т.к. оператор Н3 в (8) соответствует граничным условиям в напряжениях на границе, получаемой добавлением к точкам границы реального тела не их истинных перемещений, а перемещений соответствующих точек идеализированного тела. Решение задачи (8) обозначено через и1. Поскольку, как следует из (9)
lim и, I,-J = 0 (10)
II/"IU 0" / Л1
то предположение (9) равносильно предположению о непрерывности зависимости решения /(1) задачи (8) при /(1) = 0 на границе тела. Это означает, что в такой формули-
Механика твердого тела, < 1, 2008
ровке задача о непрерывной зависимости решения системы уравнений (8) поставлена некорректно.
Если же исследование непрерывности зависимости решения задачи (1) от /(1) заменить исследованием непрерывности зависимости от /(1) решения следующей задачи:
Я, (u, G, F) = 0, Я2(u, G, ц) = 0 1 2 (11) Яз(0, G, /, P ) = 0
то это будет равносильно предположению о том, что
H /|| « 1/1 (12)
т.к. оператор Я3 в (11) соответствует граничным условиям в напряжениях на границе реального тела в недеформированном состоянии.
Решение задачи (11) обозначено через u2. Из (12) следует
lim ||u2|J = 0 (13)
II/ 1(IU 011 1
т.е. граница не деформируется, что противоречит постановке задачи.
Итак, при исследовании проблемы непрерывности зависимости решения, описывающего напряженно-деформированное состояние тела от характеристик его несовершенств на основе математической модели граничные условия в напряжениях следует формулировать только на границе реального тела в деформированном состоянии, т.е. вид оператора Я3 следует выбирать соответствующим (1).
Очевидно, что вид операторов Я1, Я2 не влияет на корректность постановки задачи о непрерывности зависимости решения задачи (1) как от /, так и от ц.
Если характеристики ц и / заданы с точностью до малых параметров, т.е. ц = ц°(х, y, z) + е!Ц(1)(х, y, z) и/(1) = е2ф(х, y, z), выполняется условие непрерывности зависимости решения задачи (1) от ц и / при ц = ц° и/=/°, а выражения в (1) аналитичны по е;, то характеристики напряженно-деформированного состояния тела будут аналитическими функциями параметров ег- в окрестности точки ег- = 0. Поэтому решение задачи (1) в этом случае можно искать в виде степенных рядов по малым параметрам, являющихся рядами Тейлора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
2. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. 2. М.: Физматлит, 2002. 448 с.
3. Ивлев Д.Д. Приближенное решение задач теории малых упругопластических деформаций // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. < 3. С. 527-528.
4. Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. < 2. С. 294-296.
5. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошной среды (обзор) // Прикл. механика. 1987. Т. 23. < 9. С. 3-29.
6. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. Киев: Выща шк., 1989. 352 с.
7. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Выща шк., 1982. 352 с.
Воронеж Поступила в редакцию 3.03.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.