Автоматика и телемеханика, № 8, 2008
РАСЭ 89.40.Dd
© 2008 г. В.А. ПОГОРЕЛОВ, канд. техн. наук
(Ростовский военный институт ракетных войск им. Главного маршала артиллерии Неделина М.И.)
О ПРИМЕНЕНИИ ПАРАМЕТРОВ КЕЙЛИ-КЛЕЙНА ДЛЯ СИНТЕЗА СТОХАСТИЧЕСКОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ БЕСКАВДАННОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ АВТОНОМНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Для бескарданной навигационной системы, измерительный комплекс которой содержит три акселерометра, три датчика угловой скорости и баровысо-томер, получены уравнения вектора состояния и его наблюдателя, ориентированные на использование методов нелинейной фильтрации, обеспечивающих требуемую точность оценивания при произвольном пространственном маневре летательного аппарата.
1. Введение
Достигнутый к началу 80-х годов прогресс в области конструирования лазерных гироскопов (ЛГ) и бортовых вычислительных средств привел к созданию первых се-рииных образцов бескарданных инерциальных навигационных систем (БИНС) [1, 2]. Несмотря на то, что первые образцы БИНС имели по сравнению с платформенными навигационными системами существенно меньшую точность, выигрыш от их применения на борту летательных аппаратов (ЛА) оказался настолько существенным, что определил дальнейшую перспективу развития систем навигации - замену платформенных навигационных систем на БИНС. Существенным препятствием, не позволяющим на сегодняшний день полностью использовать выигрыш от такой замены, является свойство инерциальных навигационных систем (ИНС) накапливать ошибки [3]. Принципиально решить указанную проблему можно путем интегрирования показаний БИНС с показаниями спутниковых навигационных систем (СНС) [4]. Однако использование показаний СНС в алгоритмах навигации не позволяет обеспечить выполнение требования автономности функционирования ЛА, что для целого ряда объектов, прежде всего военного назначения, может оказаться неприемлемым. Кроме того, недостаточная частота поступления информации от СНС и возможность пропадания ее сигнала при маневрировании ЛА или создании помех существенно снижает эффективность интегрирования БИНС с СНС [4, 5].
В качестве альтернативного способа повышения точности навигации ЛА можно рассмотреть возможность комплексирования неинерциальных датчиков (НД), основные характеристики которых удовлетворяют современным требованиям, с БИНС [6, 7]. Необходимо отметить, что такой подход не только позволяет полностью сохранить автономность ЛА, но и обеспечивает скрытность его функционирования. Вместе с тем применение НД снижает помехоустойчивость БИНС, что приводит к необходимости фильтрации шумов измерений чувствительных элементов измерительного комплекса ЛА [8, 9]. Традиционным и хорошо апробированным подходом к синтезу алгоритмов фильтрации является оценивание ошибок вектора состояния по разности показаний инерциальных и неинерциальных датчиков [6]. Несмотря на то,
что данный подход в общем случае обеспечивает получение оптимальных оценок параметров БИНС, его эффективное использование возможно только на ограниченном интервале времени, когда ошибки, обусловленные линеаризацией вектора состояния, не достигают критической величины.
Существенно улучшить точность оценивания параметров движения ЛА можно путем синтеза инвариантных алгоритмов БИНС, позволяющих непосредственно оценивать навигационные параметры подвижных объектов [4, 8, 9]. Преимущества и недостатки их использования представлены в [4] на примере комплексирования БИНС со спутниковыми системами навигации. В то же время необходимость использования автономных объектов делает релевантным распространение инвариантных алгоритмов на случай комплексирования БИНС с неинерциальными измерителями. Так как для решения этой задачи необходимо синтезировать вектор состояния БИНС в линейной форме, то целью работы поставим задачу синтеза вектора состояния БИНС, максимально приближающегося к линейному виду.
Очевидно, что синтезировать уравнения БИНС в линейной форме на основе использования традиционных кинематических параметров (углов Эйлера, Эйлера-Крылова, матриц направляющих косинусов, вектора конечного поворота) не представляется возможным. В связи с этим рассмотрим возможность применения альтернативных кинематических параметров: Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна, чисел Люша и квадриплексных чисел. Преимущества и недостатки их использования в алгоритмах навигации достаточно полно раскрыты в [10,11]. Поэтому, не останавливаясь на различных аспектах их применения, далее рассмотрим один из возможных методов синтеза стохастической модели вектора состояния комплексированной навигационной системы в параметрах Кейли-Клейна [12].
2. Синтез вектора состояния автономной БИНС
Для синтеза стохастического вектора состояния ЛА введем в рассмотрение следующие правые системы координат (СК) [13]:
- инерциальную (ИСК) I с началом в центре Земли,
- сопровождающую (ССК) S OXYZ, начало которой совпадает с центром масс ЛА, ось Z направлена то местной вертикали к центру Земли, а плоскость OXY
Z
- приборную (ПСК) J 0xyz, оси которой направлены по соответствующим осям чувствительности приборов, входящих в состав измерительного комплекса ЛА.
Считаем также, что в состав измерительного комплекса входят баровысотомер (БВМ), три акселерометра и три ЛГ, оси измерения которых ортогональны и совпадают с соответствующими осями ПСК.
В качестве модели шумов измерений чувствительных элементов БИНС примем белый гауссовский шум (БГШ). Такой подход не накладывает принципиальных ограничений на решение поставленной задачи, поскольку при необходимости путем расширения вектора состояния за счет введения формирующих фильтров оказывается возможным получить из БГШ процесс с требуемым законом распределения.
Для синтеза вектора состояния БИНС определим через его переменные текущую ориентацию ССК относительно ПСК. Для этого предварительно рассмотрим текущую ориентацию ПСК и ССК относительно ИСК.
SI
темой кинематических уравнений [11] (1) Л=1ф(АК
Ai (0) = Ai0, А2 (0) = А20, Аз (0) = Аз0, А4 (0) = А40,
где ш = [ шх wy шz ] ^ вектор абсолютной угловой скор ости ССК, w¿, i = = X,Y,Z- проекции абсолютной угловой скорости ССК на ее оси, равные
шх = шх0 — П cos p sin х, WY = ШY0 + П cos p cos X, WZ = П sin p,
wXo, wYo - проекции угловой скорости ССК на ее оси, обусловленные движением ЛА
т
относительно Земли, Л = [ Ai Л2 Аз Л4 ] -вектор параметров Кейли-Клейна [4],
jA Аз jAi jA Л4 jA2 jAi —Ai —jA3
jA2 —A2 — jA
ЛА, x _ угол разворота оси Y ССК относительно плоскости меридиана. Углы p и х выражаются через параметры Кейли-Клейна следующим образом [11]:
, j(AiA3 + A2A4) р = —arctg——-———--Ь ктг,
Ai A4 + A2A4
i (А? - A¡ + Al - Al)
П - скорость вращения Земли, Ф (Л) =
p
X = —arctg
a2 — a2 — a2 + A4
+ ктг, к = 0, оо.
Текущая ориентация трехгранника ПСК относительно ИСК также может быть
т
описана с помощью параметров Кейли-Клейна /л = [ М1 м2 М3 М4 ] 1 1
(2)
2
Ф(/) шл,
Mi(0) = Mio, M2 (0) = M2o , Мз(0) = M3o , М4(0) = M4o ,
где Ф (/)
шл
[ Шх Wy Wz ] - вектор абсолютной угло-
^Мз Мз .7М1 ^>4 М4 ^М2 ^М1 —М1 -^Мз |_ ^М2 —М2 —>4 J
вой скорости вращения приборного трехгранника, который может быть получен по показаниям Zd = [ Zz ] ЛГ:
(3)
шл = Zd — Wd,
где Ша = [ Wx Wy Wz ] - вектор аддитивных помех измерения ДУСов, который аппроксимируется БГШ с нулевым средним и матрицей интенсивности С учетом (3) угловое движение БИНС (2) может быть представлено в векторном виде
(4) ^ =
Для окончательного синтеза вектора состояния навигационной системы ЛА необходимо далее в замкнутой форме представить правую часть системы уравнений (1).
Учтем, что проекции угловой скорости ^Хо, шу0 трехгранника 5 связаны с проекциями линейной скорости объекта Ух, Уу на соответствующие оси сопровождающей СК линейными соотношениями
(5)
Vx = — wyo (r + h), vy = wxo (r + h) ,
где г - радиус Земли, к - высота объекта над уровнем моря, которая может быть получена по показаниям Z^l баровысотомера
(6) = к + Шк.
Входящая в выражение (6) помеха измерения описывается в общем случае стохастическим дифференциальным уравнением 2-го порядка:
Шнг = Ло № + ¡Н1 (*)&!,
(7) = + 1н2 (*) + Л3 №н2 ,
Chi
где fi, г = 0,3 - известные функции, определяемые типом прибора, =
нормальный белый гауссовский вектор-шум.
Для синтеза искомых выражений проекций Vx и Vy обратимся к основному уравнению инерциальной навигации [14]
(8) a = V + (2«3 + wo) х V - g,
где a - ускорение, измеряемое акселерометрами в ССК, w0 = [ wXo wYo 0 ]T-вектор угловой скорости ССК, обусловленный дв ижением Л А относительно Земли, V = [ Vx Vy Vz ] - вектор скорости центра масс ЛА относительно Земли, S73 =
= [ —fi cos p sin х П cos p cos х fi sin p ] - вектор угловой скорости вращения Земли в ССК,
g = [ fi2(r + h) cos p sin p sin х —fi2(r + h) cos p sin p cos х fi2(r + h) cos2 p + go ]T
- вектор ускорения силы тяжести, g0 - гравитационное ускорение, в наиболее общем случае рассматриваемое как функция g0 = g(R, p, h) высоты h и сироты p, аппроксимируемая конечным рядом Лежандра.
Стохастическое выражение для вектора ускорения а может быть получено из
T
выражения вектора выходных сигналов акселерометров Za = [ Zi Z2 Z3 ] в еле-дующем виде:
(9) a = CT (Za — Wa) ,
где C(p, A,) = D(p)BT (A) - матрица направляющих косинусов в параметрах Кейли-Клейна, определяющая ориентацию ПСК относительно ССК, D(p) - матрица поворота 2-го рода в параметрах Кейли-Клейна [11], определяющая ориентацию ПСК относительно ИСК
D(p)
^(м? - - l4 +MÍ) -^(м?+M2-Мз-MÍ) M3M4-M1M2
^(м? -+ i4 -MÍ) + i4 + iA + MÍ) -Í(MЗМ4 + М1М2)
M2M4 — M1M3 j (M2M4 + М1Мз) M1M4 + M2M3
В = Б(А) матрица 2-го рода в параметрах Кейли-Клейна, определяющая ориентацию ССК относительно ИСК, Wa = [ Ш Ш Шз ]т - вектор помех акселерометров, который в общем случае может быть описан БГШ с нулевым математическим ожиданием и известной матрицей интенсивностей Ба.
Из первого и второго уравнений системы (8) с учетом (5), (6) и (9) получим стохастические выражения для проекций УХ и Уу
(10)
" Vx ' " C11 C21 C31
. Vy . C12 C22 C32
(Za - Wa) -
+
1 0 0 0 1 0 000
(2fi3 + wq) x
Vx Vy
Zh — fho — fhi
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.