КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2009, том 47, № 5, с. 477-480
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 629.78 514.18
О ПРИМЕНЕНИИ РЕЖИМА СТРАННОГО АТТРАКТОРА В ЗАДАЧАХ ТРЕХОСНОЙ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
© 2009 г. Р. Р. Назиров1, Б. И. Рабинович1, А. И. Мытарев2
1 Институт космических исследований РАН, г. Москва 2 Центральный научно-исследовательский институт машиностроения, г. Королев
vprokhorenko@mail.ru Поступила в редакцию 15.11.2007 г.
РЛС8: 45.40.Cc
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается космический аппарат, предназначенный для широкого спектра исследований космического пространства на основе периодического обзора небесной сферы. Предполагается, что КА снабжен для решения этих задач соответствующей системой управления, обеспечивающей ориентацию КА в инерциальном пространстве в соответствии с той или иной программой.
КА считается твердым, абсолютно жестким телом с осесимметричным эллипсоидом инерции, с главными осями, совпадающими со строительными осями КА. Для коррекции орбиты, разгона и торможения предусмотрен жидкостной ЖРД с вытесни-тельной подачей топлива, обеспечивающей отсутствие свободной поверхности у жидкости. Датчико-вая аппаратура включает три датчика угловых скоростей (ДУС), расположенных по строительным осям КА, и датчики углов направления на Солнце (на оси Ог, совпадающей с осью вращения эллипсоида инерции) и на выбранную звезду (в одной из плоскостей стабилизации, проходящей через эту ось), имеющие ограниченную апертуру.
Исполнительными элементами в контуре управления являются три пары верньерных двигателей, которые могут работать как на активных, так и на пассивных участках траектории, создавая пары сил относительно всех трех строительных осей, и три тороидальных магнитогидродинамических (МГД) элемента, выполняющих те же функции, но только на пассивных участках траектории.
Стабилизация объекта на активных участках траектории, которые мы здесь не рассматриваем, обеспечивается системой управления с гироплат-формой, снабженной соответствующими датчиками, и управляющими двигателями, упомянутыми выше. На пассивных участках - системой с МГД-элементами в контуре управления, ДУС и датчиками углового положения.
Проблемам ориентации различных КА, в первую очередь ИСЗ, посвящена обширная литера-
тура (см., например, [1-3]). Настоящее исследование отличается тем, что в целях сканирования небесной сферы используется хаотическое движение КА вокруг центра масс, соответствующее режиму странного аттрактора [4, 5]. При этом в качестве исполнительных элементов в контуре управления применяются, наряду с верньерными двигателями, МГД-элементы [6-8].
Центральным моментом в является формирование опорной системы координат, одна из осей которой Ог предполагается направленной в заданную точку небесной сферы (в частности, на Солнце), а содержащая ее координатная плоскость - проходящей через точку небесной сферы, соответствующую выбранной звезде. Мы ограничимся рассмотрением первого этапа решения этой задачи, заключающего в ориентации оси Ог КА на Солнце, который включает следующие режимы: программная раскрутка относительно всех трех строительных осей до достижения угловых скоростей, соответствующих стационарному состоянию странного аттрактора; реализация режима странного аттрактора; "захват" Солнца и быстрое торможение вращения относительно осей Ох и Оу, перпендикулярных направлению на Солнце; стабилизация положения КА относительно оси Ог, направленной на Солнце.
Режимы раскрутки, торможения и странного аттрактора реализуются с помощью верньерных двигателей, стабилизации заданного пространственного положения КА - с помощью МГД-элементов.
Режим странного аттрактора может обеспечивать также поиск какого-либо объекта на небесной сфере, а также - выставление в нужное положение гироплатформы, предшествующее коррекции траектории (разгону, торможению). Именно этот режим мы будем рассматривать в дальнейшем, используя математическую модель, прошедшую экспериментальную проверку [7].
1. СТРАННЫЙ АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
Рассмотрим систему уравнений, описывающую странный аттрактор, полученную Э. Лоренцом [4, 5]. Введем во второе из них коэффициент Ь, отличный от единицы, и несколько изменим обозначения:
X + сХ - сУ = 0; У + ЬУ + ЬХ - аХ = 0; X + ЬХ - ХУ = 0.
(1)
Эти уравнения описывают движение жидкости фазовом пространстве с дивергенцией
дХ д У дХ ,
эх + дУ+дХ = -( 2Ь +с) ■
(2)
При с > Ь система уравнений (1) имеет два стационарных решения:
Х0 = У0 = ±7Ь(а - Ь); X0 = а - Ь. (3)
Для каждого из этих решений характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений имеет вид
Д(Х) = X3 + (2Ь + с)Х2 + Ь(а + с)Х + 2Ьс(а - Ь) = 0. (4)
Это уравнение имеет один вещественный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных. На границе устойчивости X = ±г'а; уравнение (4) распадается на два независимых уравнения:
а = Ь (а + с); (2Ь + с)а2 - 2Ьс(а - Ь) = 0.
(5)
с ( с + 4 Ь)
с — 2 Ь ■
(6)
Мы получим соответствующую математическую модель, комбинируя уравнения Эйлера движения твердого тела относительно неподвижной точки и уравнения динамики пассивного МГД-элемента из [7], полагая, что электродинамические и гидродинамические характеристики всех трех МГД-элементов одинаковы, например, за счет наличия внутренних кольцевых ребер, за исключением коэффициентов ву(в2 = в3 = в Ф в1) и моментов
инерции С0 (С0 = С = С0 Ф С0).
При этих предположениях можно придать математической модели форму системы интегро-дифференциальных уравнений шестого порядка с сингулярными ядрами:
Са>1 + С?Й1- С0(ю302- ю203) = М^ А ю-г' (С - А )ш1ш + С0О- г'С0(юО1- ю1О) = М;
С? (О1 + ю) + С?(ю302 - ю2 03) +
+
в-1
01(т)^т *]г - т
= 0;
(7)
Первое из них определяет частоту а, второе -критическое значение а* параметра а:
При с < 2Ь стационарное состояние системы всегда устойчиво, при с > 2Ь и а > а* - неустойчиво. Именно в последнем случае реализуется режим странного аттрактора. Эти условия являются обобщением условий неустойчивости [4].
2. РЕЖИМ СКАНИРОВАНИЯ
Мы располагаем теперь информацией, необходимой для планирования управления, обеспечивающего режим сканирования. Это управление включает раскрутку КА относительно трех строительных осей, режим странного аттрактора, торможение вращения.
2.1. Режимы раскрутки и торможения. Будем полагать, что раскрутка, реализуемая с помощью верньерных двигателей при пассивных (обесточенных) МГД-элементах, может происходить одновременно относительно всех трех строительных осей.
С0(О + ю) - С(ю01 - ю1О) + в [ ^(У)^ = 0;
В уравнениях (7) использованы следующие комплексные функции времени: ю = ю2 + г'ю3; О = = 02 + г'03.
В вещественных переменных оу, Оу (у = 1, 2, 3) получим систему уравнений девятого порядка. Коэффициенты А, С и С0, С0 - это элементы тензоров инерции объекта с затвердевшей жидкостью в МГД-элементах; М1 и М = М2 + гМ3 - управляющие моменты, создаваемые верньерными двигателями.
Для реализации режима странного аттрактора необходима раскрутка КА относительно каждой из осей до совершенно определенной угловой скорости. При применении ШИМ в контуре управления ширина импульсов командных токов должна быть задана как некоторая программная функция времени. Если программа предусматривает не одновременную, а последовательную раскрутку до необходимых угловых скоростей относительно каждой из осей, то нелинейные члены в (7) исчезают и система уравнений (7) расщепляется на три независимые системы уравнений третьего порядка.
Режим раскрутки завершается, когда относительная скорость жидкости в полостях МГД-эле-
ментов становится равной нулю О у = 0 то есть объект вращается вместе с жидкостью с постоянной абсолютной угловой скоростью как твердое тело. В этот момент происходит переключение верньерных двигателей на режим, соответствующий странному аттрактору. После "захвата" Солнца осуществляет-
* —
а
О ПРИМЕНЕНИИ РЕЖИМА СТРАННОГО АТТРАКТОРА
479
ся быстрое торможение вращения КА, которое завершается, когда относительная скорость жидкости обращается в ноль.
2.2. Режим, соответствующий странному аттрактору. Моменты М1 и М = М2 + гМ3 являются в этом случае величинами второго порядка малости, как и слагаемые в левых частях соответствующих им уравнений, тогда как гироскопические моменты, связанные с относительным движением жидкости, как и произведения внешних моментов на коэффициенты Ру-величинами третьего порядка малости.
Пренебрегая малыми величинами третьего порядка и переходя к вещественным переменным, можно исключить относительные скорости жидкости и придать уравнениям (7) следующую форму:
(с - С!+ |
Р1С г О»!(т)йт
С J 4г-т
_ М1;
(А - С0)а>2 + (с - А)ю 103 + ™ |
РА г (О2(т)йт _
(А - С0)ю3 + (С - А)ю1 ю3 + ^А |
с0 { 4Т-т
г
РА гю3(т)йт _
Со-> тг-
М2;(8)
М 3.
Учитывая колебательный характер решения, соответствующего странному аттрактору, с частотой, близкой к а (5), воспользуемся следующей квадратурной формулой, соответствующей оу = Юу0ехр(г'аг):
Достаточные условия, которым должны удовлетворять параметры а и с, сводятся к неравенствам, приведенным в разд. 1:
с > 2Ь(=р1 > 2р); а > а* = с(с+ 4Ь-.
с - 2Ь
Кроме того, должна быть осуществлена предварительная раскрутка КА до угловых скоростей,
равных в соответствии с (3) ю° = = (а - Ь);
ю3 = а - Ь. При выполнении условий, перечисленных выше, мы получим режим движения КА относительно центра масс, соответствующих странному аттрактору.
3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ 01, НАПРАВЛЕННОЙ В ЗАДАННУЮ ТОЧКУ НЕБЕСНОЙ СФЕРЫ
Этот процесс реализуется с помощью МГД-эле-ментов при выключенных верньерных двигателях и организации соответствующего управления и может быть описан следующей линеаризованной математической моделью [7]:
Сю + С? О = 0;
С0(О + ю) + а 3 + р|
О ( т ) й т _
4 г - т
-1;
Ие
ю у (т)йт
4 г - т
П2аюу( г); (у = 1,2,3).
Ь * 3-аО + у|
3(т)йт _
4 г - т
- Ь* I,
В качестве управляющих введем следующие момен-(А - С°) С В*
ты: М1 = --ю2; М2 = (А - С0)аю0; М3 = 0,
(С - А) С0
что позволяет, обозначив X = ю0, У = ю2, X = ю3, придать уравнениям (8) форму уравнений, соответствующих странному аттрактору (1):
ю0 + сю0 - сю2 = 0;
ю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.