РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 4, с. 454-457
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.874.6
О ПРИМЕНЕНИИ СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЗАДАЧАМ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ИЗОТРОПНОЙ КИРАЛЬНОЙ СРЕДЕ © 2004 г. В. В. Фисанов
Поступила в редакцию 17.06.2002 г.
Сопоставлены различные системы материальных уравнений, используемые для описания электромагнитного поля в изотропной киральной среде. Применимость уравнений Друде-Борна-Федорова ограничена задачами распространения и рассеяния при отсутствии сторонних источников электромагнитного поля, предложена их модификация.
В электродинамике искусственных электромагнитных материалов значительный интерес вызывают среды с электромагнитной активностью [1]. Среди них наиболее известна и хорошо изучена изотропная киральная среда, для которой рассмотрены различные канонические задачи распространения и рассеяния, а также некоторые задачи излучения электромагнитных волн. Исторически сложилось, что для описания электромагнитного поля в киральной среде в макроскопической электродинамике применяются разные системы материальных уравнений (уравнений связи векторов напряженностей и индукций электрического
(E, D) и магнитного (H, B) полей). В современной литературе по электромагнетизму наиболее часто используются симметричные уравнения Друде-Борна-Федорова [2-4]
D = вD(E+pvxE), B = цD(H+pvxH), (i)
уравнения Поста [5, 6]
D = в PE + i % B, H = B / цР + i % E, (2)
уравнения Теллегена [7]
D = btE + ikH, B = \iTH - iкE (3)
(вариант уравнений (3) содержит безразмерный параметр киральности к/VвТ Цт [8]) и симметричные уравнения Кондона [9]
D = bcE - gдH/дt, B = \iCH+gдE/dt, (4)
которые в гармоническом режиме с фактором exp(- ifflt) сводятся к уравнениям (3), если полагать вс = вт, цс = цт, o>g = к. Системы уравнений связи (1)-(4) равносильны в том смысле, что они феноменологически верно описывают оптическую (электромагнитную) активность как проявление слабой пространственной дисперсии. Это не-
посредственно следует из вида уравнений (1). Пространственная нелокальность взаимосвязи полей в уравнениях Поста и Теллегена, не содержащих производных, присутствует неявно, через сопутствующие однородные уравнения Максвелла [10]. В свою очередь наличие слагаемых с перекрестной (магнитоэлектрической) связью в уравнениях (2)-(4) отражает физическую природу киральных включений среды, на которых индуцируются одновременно электрический и магнитный диполь-ные моменты. Для обоснования уравнений Поста и Кондона были предложены модели микроскопического уровня описания [11, 12]. Между диэлектрической проницаемостью вв, магнитной проницаемостью и параметром киральности в системы (1) и соответствующими материальными параметрами остальных систем существуют соотношения взаимосвязи [4, 13], для получения которых необходимо использовать однородные уравнения Максвелла.
Для описания электромагнитных явлений с учетом пространственной дисперсии известен также подход Ландау-Лифшица [14], при котором используется форма уравнений Максвелла без магнитного поля Н. Применительно к изотропной киральной среде, используя этот подход, получаем несимметричные уравнения вида (1) с опущенным во втором из них слагаемым, содержащим ротор [9, 15]. Вследствие трудностей, связанных с согласованием с результатами для ограниченных сред, полученными на основе симметричных уравнений связи [9], значительное применение указанного подхода в электродинамике киральных сред ограничено, и далее его обсуждать не будем (современное состояние вопроса о соответствии подходов см. в [16]).
Эквивалентность форм материальных уравнений (1)-(3) подразумевали и при наличии сторонних источников в уравнениях Максвелла [6, 17]. Однако сравнительно недавно было отмечено,
О ПРИМЕНЕНИИ СИСТЕМ МАТЕРИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
455
что при наличии таких источников между системами (1) и системами (2), (3) существуют различия, которые проявляются в том, что операция дивергенции, примененная к этим уравнениям, дает противоречивые результаты, а в преобразованные вихревые уравнения Максвелла и в уравнения Гельмгольца входят слагаемые, неадекватно описывающие сторонние источники [18-20]. Многообразие используемых форм уравнений связи приводит иногда к неоправданному дублированию исследований, затрудняет сопоставление результатов. Цель данной работы - провести выбор материальных уравнений при постановке задач излучения волн и возбуждения структур в изотропной киральной среде, а также предложить критерий унификации формы этих уравнений.
Будем исходить из системы обобщенных уравнений Максвелла, содержащих объемные плотности как электрических, так и магнитных сто-
ронних токов (3, 3 ) и зарядов (р, рт):
Ух Н = 3 - г ю В,
т
Ух Е = г ю В - 3
(5)
у-В = р, у-В = рт. (6)
Токи и заряды связаны уравнениями непрерывности
-> ->т т
У - 3 = г юр, У - 3 = г юр
(7)
Ух Е - ру2 Е - г ю|В ) Н =
= I 1
I к,
т
(8)
(гюР|В3- 3 ),
Очевидно, что левые части уравнений (8) и (9) полностью соответствуют левым частям уравнений (10) и (11), (12) и (13), тогда как их правые части принципиально различаются.
Уравнения Гельмгольца содержат записанные для разных систем материальных параметров эквивалентные дифференциальные операторы второго порядка:
Ж(•) = У х У х (•)-2Ру2У х (•) -у2(•),
Ж( •) = У х У х (•)-2 ю|р^Ух( •) - к2р( •), (14)
Ж (•) = У хУ х( •) - 2юкУ х (•) - (к2Т - ю2 к2)(•)
(где кр = ю7ер|Р является средним геометрическим, а кТ = ю^гТ|Т - средним арифметическим волновых чисел собственных волн киральной среды для систем Поста и Теллегена соответственно), но различаются правыми частями. А именно,
Ж(Е) = гю|В 1 к-)2(3 + РУ х 3) -1 кт)2У х 3т, (15)
ж( н) = ^ 1 ]ух 3+
(у Л2 ->т т
+ гюеВ(3 + РУ х 3 )
Подставляя системы материальных уравнений (1)—(3) в вихревые уравнения (5), получаем соответственно
(16)
применительно к системе (1) [21],
Ж (Е) = г ю|Р (3 - г£, 3т) - Ух 3
т
Ж (Н) = г ю|Р (г£, 3 + 3 / п2) + Ух 3
(17)
(18)
УхН-ру2Н + гюеВI ) Е =
к,
= 11
I ко.
\2 ->т
(г юРео3 + 3),
(9)
Ух Е - ю|Рс, Е - г ю|РН = - 3 ,
УхН-ю|РН + гю(еР + |Р£, )Е = 3; Ух Е - юкЕ - г ю|ТН = - 3 , Ух Н - юкН + г юеТЕ = 3.
(10) (11) (12) (13)
где у = кВ/^ 1 - к,р2 является средним геометрическим волновых чисел собственных полей круговой поляризации (полей Бельтрами): ух, 2 = кВ/( 1 - квР),
а ко = юд/еВЮ есть среднее гармоническое этих волновых чисел [21];
применительно к системе (2), где цс=По/л/1 + (По^)2 -
обобщенный киральный импеданс (п0 = ЛР/Ёр) [6], и
Ж( Е) = гю|Т3 + юк3 - Ух 3 , (19)
Ж (Н) = -юк 3 + Ух 3 + г юеТ3 (20)
применительно к системе (3). Легко убедиться, что правые части уравнений Гельмгольца (15) и
(16) не согласуются с правыми частями уравнений
(17), (19) и (18), (20) соответственно.
Вычисление операции дивергенции относительно выражений (1), как и относительно (8)-(9) или (15)-(16), с учетом уравнений непрерывности (7) приводит к результату
У - Е = р/еВ, У - Н = рт/
(21)
456
ФИСАНОВ
Аналогичным образом можно получить
m
V • E =1 (р - i^) =
e P eT |т = К
(22)
vH = 1 ( ^ + pm/n2 ) = (23)
eP £T |T = к
Поля E и H при наличии источников не являются бездивергентными во всех вариантах, но соотношения (21), в отличие от (22) и (23), показывают отсутствие перекрестной (магнитоэлектрической) связи с источниками, что нехарактерно для киральной среды.
Чтобы обосновать выбор системы материальных уравнений, следует исходить из того, что в макроскопической электродинамике вещества источники электрических зарядов и токов разделя-
> >
ются на сторонние рст, jст и наведенные рнав, ,, причем присутствие последних учитывают путем введения материальных параметров среды. Применяя преобразование Фурье с ядром exp(ik • r ), запишем уравнения Максвелла для спектральных амплитуд в вакууме в виде
k B = 0, k х E = юB,
ik E = (Рст + Рнав)^
k х B + i Ю£о |оE = |о( jст + jнав )
(24)
(25)
Уравнения (24) и (28) образуют фундаментальную систему для описания электромагнитного поля в киральной среде с внешними источниками через векторы E и B. Комбинируя их, получим уравнение Гельмгольца в спектральной области:
k х k х E + аю^ х E + ю e|E = =i ю| j ст.
Ему соответствует в координатном пространстве уравнение
Ж(E) = V х V х E + iаю|^х E =
2
= ю e|E = iю|jCT,
(29)
(зависимость полей и источников от спектральной переменной - волнового вектора к - опущена для краткости). Свяжем наведенные источники с
полями Е и В линейной зависимостью через посредство векторов поляризованности Р = в0%еЕ и намагниченности М = %тВ /ц0 среды:
с которым полностью согласуется выражение (17), где применены уравнения Поста (2), если опустить там фиктивные магнитные источники и полагать
* > г
] = у'ст, в = вР, ц = цР и а = 2[\. Следовательно, в силу соотношений (14) все дифференциальные операторы эквивалентны оператору (29), а различие в правых частях существует только между уравнением (15), где применены материальные уравнения Друде-Борна-Федорова, и другими уравнениями Гельмгольца, включая (29).
Таким образом, применять систему материальных уравнений (1) можно лишь при отсутствии источников. Исправить положение, оставаясь в системе материальных параметров (ва, цв, в), можно, если вместо формы (1) применить представления в форме Теллегена:
Y
Л
D = e DI --- E + iy H,
Y
k,
ю
A
(30)
B = | dI r- H = i £ Y E,
ю
рн
>
= =i(e = e0)k • E,
(26)
равносильное уравнениям (2) и (3). Уравнения (30) приведены в [4, 21], где они названы эквивалентными монохроматическими материальными уравнениями, однако для описания поля с источниками там используются вместо них соотношения (1). Если рассмотреть уравнения Максвелла (5) и (6) совместно с (30), то правые части (8) и (9), (15) и (16), (21) окажутся в полном согласии с соответствующими выражениями, полученными с применением материальных уравнений Поста и Теллегена. В частности, вместо (21) следует записать
V • Е = (р/вв - г'юврт), V • Н = (рт/цв + гювр).
Для того чтобы модифицировать уравнения Друде-Борна-Федорова и сделать их справедливыми при наличии сторонних электрических
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.