АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 339-346
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ^^^^^^^^
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 517.9
О ПРОБЛЕМАХ ПРИМЕНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К ДИФРАКЦИИ НА ВЫТЯНУТЫХ ТЕЛАХ © 2014 г. М. М. Попов, Н. Я. Кирпичникова
Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН E-mail: nkirp@pdmi.ras.ru, mpopov@pdmi.ras.ru Поступила в редакцию 20.08.2013 г.
Статья является продолжением работы авторов, посвященной осесимметрической задаче коротковолновой дифракции на вытянутых телах вращения. В ней кратко излагается подход, основанный на двухмасштабном асимптотическом разложении в методе параболического уравнения Леонтови-ча—Фока, и возникающие при этом проблемы. В случае сильно вытянутого тела (например, для эллипсоида вращения, большая полуось которого более чем в 30 раз превосходит малую) соответствующее параболическое уравнение и все последующие рекуррентные уравнения становятся сингулярными. В неосесимметрическом случае проблемы возникают в связи со специфическим поведением геодезических линий на поверхности рассеивателя.
Ключевые слова: дифракция коротких волн на вытянутом теле вращения, уравнение Леонтовича— Фока, волны соскальзывания, согласование локальных асимптотик.
DOI: 10.7868/S0320791914040145
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время имеется целый ряд статей, посвященных задачам коротковолновой дифракции на вытянутых телах (см. [1, 2] и библиографию в них). В большинстве из них задача ставится в упрощенном виде: рассеиватель представляет собой строго выпуклое и сильно вытянутое осе-симметричное тело вращения, а падающая волна распространяется вдоль оси вращения. Волновое поле при этом строится в окрестности границы свет—тень (область Фока) [3] и в затененной части этой области, где возникают волны соскальзывания [4, 5]. Отметим, что область Фока в окрестности границы свет—тень играет существенную роль в построении дифракционного поля, являясь в определенном смысле "зародышем" поля для затененной части тела и для окрестности конуса лучей соскальзывания. Тем более что в освещенной части рассеивателя дифрагированное поле можно надежно описывать лучевым методом, если оба главных радиуса кривизны поверхности рассеивателя много больше длины волны падающего поля.
Вытянутость тела характеризуется отношением радиуса кривизны вдоль меридианов (геодезических) к радиусу кривизны вдоль параллелей. Напомним, что на поверхности вращения они образуют ортогональную сетку линий главных кривизн. Будем предполагать, что в области Фока и в ее затененной части, где возникают волны соскальзывания, эти радиусы кривизн много больше длины волны падающего на рассеиватель по-
ля. В этих условиях представляется естественным использовать параболическое уравнение Леонтовича—Фока для построения дифрагированного поля.
В работе [6] предложен и развит иной по сравнению с упомянутыми выше статьями подход к рассматриваемым задачам, базирующийся на двухмасштабном асимптотическом разложении по двум независимым большим параметрам: фо-
ковскому параметру М = (кр/2)^3 и новому параметру Л = р//, характеризующему вытянутость тела вращения. Здесь к — волновое число, р — радиус кривизны вдоль меридианов (геодезических линий) и / — радиус кривизны вдоль широт, т.е. в поперечном направлении к геодезическим линиям. При этом предполагается, что кр > 1 и к/ > 1, а тело вращения оказывается вытянутым при р > /. В статье показано, что при следующем соотношении параметров: Л = 2М 2~Е, 0 <е< 2, классический метод параболического уравнения Леонтовича—Фока сохраняет асимптотический характер и позволяет однозначно построить дифракционное поле в области Фока и ее затененной части, где возникают волны соскальзывания. Волновое поле описывается в привычных терминах: в виде интегралов от произведений функций Эйри и их производных на полиномы. При этом не требуются какие-либо другие специальные
функции. В случае б = 0, когда Л = 2М , метод параболического уравнения Леонтовича—Фока оказывается неприменим.
Целью настоящей работы является краткое изложение основных идей предложенного метода двухмасштабных асимптотических разложений в рассматриваемых задачах коротковолновой дифракции на вытянутых телах вращения и возникающие при этом трудности.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТОВИЧА-ФОКА
2.1. Область Фока
Мы предполагаем, что поверхность dZ рассеи-вателя £ образована вращением плоской, выпуклой кривой х = f (z) вокруг оси г декартовой системы координат х, y, z'
V2 2
х + y , х = r cos ф, y = r sin ф.
Сечение dZ плоскостью z = 0 есть экватор и совпадает с границей свет-тень падающей плоской волны. Полное волновое поле удовлетворяет следующей задаче.
(А + k2)U = 0, U se = 0, U = Uinc + Uref, (1) рассеянное поле удовлетворяет условию излучения
lim R
dS2 = h2sds1 + dn2 + híd^2,
где
hs = 1 - n
f "(z(s))
= 1 + -
[1 + (Az(s)))2]3/2 p(s)'
h = f (z(s)) + ■
2 = f (z(s)) + n^z.
ds
а/тТох!*))?
Отметим, что в двух последних формулах координата г рассматривается как функция ж, получаемая обращением равенства
s =
-с
У1 + (f (z))
dz.
Представим полное поле в виде U ■■ Тогда
U = (Uinc + Uref) = eiks(Winc + Wref) = eiksW. (4)
[(A + k 2)eiksW ] = eiks{(AW + BW)} = 0.
Оператор A соответствует 2D задаче и равен
AW = k2(1 - hs )W +
2 ik W + dlW
- IikW + Ш-)h
v ds 2 d ln hs
-2 + d2W
ds
dWd ln hs
dn
дs дп дп Что касается двумерной задачи, то детальное построение главного члена асимптотики содержится в [3], а математически четкая и обоснованная схема дальнейших приближений имеется в [4, 5]. Оператор В содержит в себе всю специфику 3Ь исходной задачи и представляет наибольший интерес:
1 (01 Ыж + дЖ) + ж
BW =
hm I ds h.
ds
dn dn
(6)
В области Фока введем растянутые координаты (а, V) вместо (5, п):
а =
k 1/3s 21/3р 0/3
M 0 s
V = •
2nM0
Р 0 р0/3 Ро
где р0 = р($)| 5=0 является радиусом кривизны меридианов на границе свет—тень (экватор). Через М0 обозначен большой безразмерный параметр Фока
(7)
{^^Г - ) = 0, к = (2)
Падающее поле есть плоская волна вида
и1пс = е1к!, к > 1. (3)
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в системе координат (5, ф, п), где ж — длина вдоль геодезических линий, ф — азимутальный угол, п — длина вдоль внешней нормали тела вращения. Квадрат элемента длины в координатах (5, ф, п) есть
M0 =
(8)
по которому и строится асимптотическое разложение задачи. Область Фока, где рассматривается параболическое уравнение, характеризуется тем, что введенные растянутые координаты удовлетворяют условиям а = 0(1) и v = 0(1) при к ^ да, т.е. они остаются ограниченными при стремящемся к бесконечности волновом числе. Отсюда вытекает, что с уменьшением длины волны пограничный слой в окрестности границы свет—тень сужается. Указанные условия на координаты существенным образом учитываются во всех последующих построениях. При этом предполагается, что все производные от радиуса кривизны также имеют порядок 0(1) при к ^ да. Функция ослабления W строится в следующем виде:
U = eiksW,
W = £Wmk-
m¡ 3
(9)
и=0
Заметим, что разложение (9) может быть представлено по отрицательным степеням большого безразмерного параметра Фока (8), (см. ниже формулы).
Обратимся к вопросу о дифракции плоской
волны е к на гладком вытянутом теле. Вытяну-тость тела характеризуется вторым большим параметром
А -Pi л 0 - ,
Pt
(10)
где р( = f (0) есть поперечный радиус кривизны рассеивателя. Параметр Л 0 появляется лишь в
0
операторе В. Ниже построим в области Фока двухмасштабное разложение поля (9), которое сохраняет асимптотический характер по обратным степеням параметра Фока при условии
Ло - 2Мо2-Е. (11)
Здесь е — любое положительное число из интервала 0 < е < 2. Это позволяет получить приближенные формулы для расчета волнового поля, которые зависят от относительной силы двух больших параметров задачи М0 и Л0, определяемой параметром е. Величина е в свою очередь зависит от конкретных параметров исходной задачи, а именно от к, р0 и /(0) в окрестности границы свет—тень.
Приведем разложение части оператора В (без 1/ ) в области Фока
[...] =
_ Ро
2M0
dW dv
-iGW + dW + о (m-)
Ял/ V '
(12)
и разложение для коэффициента Ламе
hjp, v) = f (0) -
2ро
3 .
s Po ■ + n + +
+
s4 (рорО' - 2р02 + 1
3!р0
3!р0
S П , „ i 5\ -—2 + 0 (S ) = 2р0
= f (0) Ü +
Л0
2M2
,v-a2 ) + ^ + 12M0
(v-a2 ^
2M021 3!
р0р" - 2р02 + l) -vj + 0(M0-3)
Отсюда Н - можно представить, при условии (11), в виде следующего разложения:
h-1(a, v) = У (-1)" f(0)
т=0
Л 0
v 2M02
(13)
(v - ст2) + О
v M0
так что параметр Л 0 входит в задачу только в комбинации с М0.
Применяя метод параболического уравнения, получаем, что полное поле в главном члене асимптотического разложения в области Фока имеет следующий вид:
U 0(s, n) = eiksW0(a, v) = eiks(Wt + W0ref) =
iks m
=тп J«
iuQ
v(Z-v) - Wi(Z-v)
dZ.
(14)
но вытянутом теле вращения, приходится вычислять еще два члена разложения (9): Ж1 и Ж2, пока не появится второй параметр задачи Л 0. Следующее приближение к полному полю содержит
множителем параметр Фока М0-1:
/ у/з . , ¡к, и^, п) = Ш ¡Р^ е V кр0) Чп
I х
v kp0,
x{i [((-v2 )v (Z-v) + 2v' (Z-v)]^ + [ßi(Qwi (Z - v) + Pi(2)v2wi (Z - v) +
(15)
((+öi0) )i (Z-v)
dZ,
и оно обращается в нуль для случая симметричного относительно плоскости г = 0 рассеивателя (например, эллипсоида вращения), когда р0 = 0.
Как и следовало ожидать, коэффициенты В1, Р/^, /->(1) ^(0)
01 и 0 не содержат второго параметра задачи и имеют не слишком сложный вид:
А© =
z 2v(Z)+__2 zwio
4wi(Z) 2 Wi2(Z) 3 Wi3(Z)_
Pi(2)(Z) =
4wi(Z)
aa)(o=
i -; Qi0)(Z) =
2Z v(Z)
,3wi2(Z) 2wi(Z)
3^(0
После достаточно громоздких выкладок получаем, что второе приближение к основному полному полю, содержащему параметр М0-2, определяется формулой
U2(ст, v) =
Л2/3 iks
1 e
I V f e
kpj vn J
Z
X i i [[, v)v(Z - v) + Ö2(C, v)v'(Z - v)] +
+ {B2(Z)Wi(Z-V) +
У ^ )(Z)v 7
j=i
(16)
Wi(Z - v) +
3
+
Здесь контур интегрирования (£ идет по лучу arg Z = 2я/ 3 от бесконечности до нуля и по лучу arg Z = 0 от нуля до бесконечности. Ввиду того, что м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.