ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2012, No 2, с. 68-71
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 681.3.06
О ПРОБЛЕМЕ КЛАССИФИКАЦИИ ГУРСА
© 2012 г. О.В. Капцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН 660036 Красноярск, Академгородок, 50 E-mail: kaptsov@icm.krasn.ru Поступила в редакцию 15.08.2011
В статье рассматривается проблема Гурса - классификация гиперболических нелинейных уравнений, обладающих двумя нетривиальными инвариантами характеристик. Описывается алгоритм нахождения инвариантов характеристик. На основе данного алгоритма, реализованного в системе REDUCE, произведена проверка инвариантов характеристик двух уравнений Лэне. Показано, что одно из них обладает инвариантами второго и третьего порядков. Наличие такого уравнения показывает, что проблема Гурса, видимо, остается открытой. Компьютерные расчеты демонстрируют, что инварианты характеристик второго уравнения Лэне, приведенные в его работе, указаны неверно.
В последние годы компьютерная алгебра все чаще находит приложения не только в традиционных областях, таких как коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия, теория групп, но и в дифференциальных уравнениях, линейном программировании и других дисциплинах. Так, одним из популярных приложений компьютерной алгебры в дифференциальных уравнениях является вычисление симметрий уравнений [1, 2]. Другой областью применения служит теория солитонов [3]. Настоятельная необходимость применения систем компьютерной алгебры объясняется тем, что при анализе дифференциальных уравнений приходится проводить большие символьные вычисления. В нашей работе системы компьютерной алгебры применяются к проблеме классификации Гурса.
В конце девятнадцатого века Дарбу предложил подход к интегрированию нелинейных уравнений с частными производными, обобщающий метод промежуточного интеграла Монжа-Ампера. Подробное описание, с большим числом примеров, дано в замечательной монографии Гурса [4]. В данном методе
используются дифференциальные 1-формы. Близкий подход, основанный на применении дифференциальных операторов, описан в [5], там же дано обобщение метода Дарбу на системы уравнений с частными производными. В дальнейшем используется именно этот подход.
Введем необходимые понятия на примере уравнения второго порядка
F(x, y, u,p, q, r, s, t) = 0,
где p = Ux, q = Uy, r = uxx, s
u
xy
(1)
t=
Пуу. Пусть М - поле вещественных чисел, X = М2, У = М, Ук - пространство к-струй, У,, -пространство те-струй [6], а Zk = X х Ук , = X х У, - соответствующие продолженные пространства. Обозначим через Пк проекцию на Zk и зафиксируем точку а € Z,.
Рассмотрим кольцо Тк сходящихся степенных рядов в точке Пк (а) € Zk и кольцо Т = и,1 Тк. Очевидно, Т является дифференциальным кольцом с операторами полного дифференцирования Вх,Бу [2]. Предположим, что функция Е в левой части (1) принадлежит Т2 и обозначим через I(Е) дифференциальный идеал в Т, порожденный Е. Функции Е
О ПРОБЛЕМЕ КЛАССИФИКАЦИИ ГУРСА
69
сопоставляется квадратичная форма Гг у2 + + Г4ш2.
(2)
Допустим, что эта форма разлагается на два линейных множителя с вещественнозначными коэффициентами
(Х\У + Л2Ш)(^1 V + ^2—).
Множителям соответствуют два оператора полного дифференцирования вдоль характеристик уравнения (1)
Ь1 — ЛА + Л2 Ау
¿2 — ^ + ^Ау.
Определение. Пусть Ь - один из операторов полного дифференцирования вдоль характеристик уравнения (1). Функция Н е , где Н I(Г), называется инвариантом характеристик порядка к, если Ь(Н) е I(Г).
Опишем алгоритм нахождения инвариантов характеристик уравнения (1). Будем предполагать, что (1) можно разрешить относительно одной из вторых производных г, в,Ь. Для определенности считаем, что (1) имеет вид
г + д(х,у,и,р,д,в,г) — 0.
(3)
5) Вычисляя скобки Пуассона соответствующих уравнений системы 5, приводим систему 5 к инволюционной форме (см. [7]). Находим число независимых интегралов инволюционной системы.
6) Решаем инволюционную систему и находим инвариант Н.
7) Выполняем те же шаги для оператора ¿2.
Замечание. Выполнение шестого шага представляет наиболее сложную часть алгоритма, т.к. он сводится, в общем случае, к решению нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример. Рассмотрим уравнение
3г13 + 1 — 0,
операторы полного дифференцирования вдоль характеристик имеют вид
Ь1 — Ах + 12 Ау ,
Ь2 — Ах — Ау.
1 12'
Первому оператору соответствуют инварианты ¡1 — х (в + - д, ¡2 — 8 + 1,
В этом случае можно считать, что искомый инвариант не зависит от г и производных от г. Ниже приведена пошаговая последовательность операций нахождения инвариантов характеристик уравнения (3):
1) Составляем квадратичную форму (2), соответствующую уравнению (3). Разлагаем эту форму на линейные множители и выписываем операторы полного дифференцирования вдоль характеристик уравнения (3).
2) Выбираем оператор Ь1 и старшую производную ~Оук , от которой зависит искомый инвариант Н. Действуя оператором Ь1 на Н, получаем некоторое выражение ¿1 (Н).
3) Все производные дХ+++У^, фигурирующие в ¿1 (Н), выражаем с помощью (3). В результате получаем многочлен Р первой степени относительно Щ,к — ддХу7Г, и0,к — .
4) Приравниваем к нулю коэффициенты многочлена Р. Получаем систему 5 трех линейных уравнений в частных производных первого порядка относительно одной функции Н.
а второму
д 1 — х\в - 1 - д, д 2 — в 1.
В книге Гурса [4] показано как, используя инварианты, найти общее решение этого уравнения.
В 1899 году Гурса опубликовал работу [8], в которой поставил и решил задачу перечисления всех уравнений вида
8 — ¡(х, у, и,р, д),
(4)
обладающих двумя нетривиальными инвариантами характеристик порядка не выше второго. При этом два уравнения (4) считаются эквивалентными, если одно из них можно получить из другого точечным преобразованием. Очевидно, операторы полного дифференцирования вдоль характеристик уравнения (4) имеют вид
¿1 — Ах
¿2 — Ау,
1
1
70
КАПЦОВ
а функции Н\ = х, Л-2 = у являются инвариантами характеристик. Инварианты, аннулируемые оператором Дх, следуя классической традиции, будем называть у-инвариантами, а оператором Ду - х-инвариантами.
Гурса получил полный список из 11 уравнений, обладающих инвариантами порядка не выше второго, и нашел их общие решения, зависящие от двух произвольных функций. Его ученики и последователи пытались найти уравнения (4), обладающие инвариантами порядков выше второго. В частности, в 1926 году Лэне опубликовал работу [9], где указал два уравнения
/q + q ,
s = pi---+
q
z — y z — x
(5)
s = 2[(u + X )2 + p + (u + X W(u + X )2 + p]
(/q + q q \
u — У \J (u + X )2 + p '
(6)
где X - произвольная функция от х, и пару соответствующих х-инвариантов второго порядка
r p ( 1 3 \ 1
hi = - — £-+- +
p 2 \u — y u — x) u — x'
(7)
r
h-2 = z-2p
1
u + X
y/(u + X )2 + p
(u + X )2 + p + (u + X )y/(u + X )2 + p
u—y
(u + X )2 + 2p /(u + X )2 + p'
В работе [10] Лэне указал, что
+
+u +
(8)
h=
q, _ JL _ q2 1+5g11/2+4gi q3 2q1 q2 u-y
q2 - 2
qi+2ql/2+q2 u-y
2qi+2q3/2 -6q2 - 10q5/2 -4qf (u-y)2
q2 - 2
qi+2q3/2+q2 u-y
(9)
где дг = ду, является у-инвариантом третьего порядка для уравнений (5), (6). Кроме того, Лэне
нашел параметрическое решение уравнения (5), зависящее от двух произвольных функций.
Следует особо отметить работы Вес-сио [11, 12], в которых он развил оригинальный метод, позволяющий единообразно получить и проинтегрировать 11 уравнений списка Гурса.
Недавно интерес к проблеме классификации Гурса вновь возобновился [13, 14]. В частности, были найдены и проинтегрированы два новых уравнения Гурса, обладающие инвариантами характеристик третьего порядка [14]. В последней работе было заявлено, с некоторой оговоркой, что проблема классификации уравнений (4) решена. Однако, оба уравнения (5), (6) отсутствуют в этой работе. Поэтому возникает вопрос: действительно ли уравнения (5), (6) обладают инвариантами характеристик (7), (8), (9).
Используя систему компьютерной алгебры REDUCE [15] и описанный выше алгоритм, можно показать, что уравнение (5) действительно обладает двумя инвариантами характеристик (7),(9) и допускает параметрическое решение, зависящее от двух произвольных функций. Аналогичные вычисления для уравнения (6) показывают, что функции (8), (9) являются инвариантами характеристик только тогда, когда функция X является константой. Указанные вычисления проводились на PC Intel Pentium Dual CPU E2200 2.20 GHz c 1.99 Gb RAM под управлением Windows XP SP 2. Время счета составило 265 ms.
В заключение следует отметить, что уравнение (5), как заметил Лэне, сводится преобразованием Беклунда к интегрируемому уравнению Мутара [4, 5]. Уравнение (5) имеет инварианты характеристик второго и третьего порядков. Следовательно, оно не сводится точечными преобразованиями к двум новым уравнениям Жибера-Соколова, обладающим двумя инвариантами третьего порядка, т.к. порядок инварианта сохраняется при таких преобразованиях. В работах Лэне приводятся другие уравнения, возможно, обладающие инвариантами характеристик порядка больше двух. Однако, как показывает данная работа, необходимо аккуратно проверять все объемные вычисления. Поэтому представляется, что компьютерная алгебра поможет провести
О ПРОБЛЕМЕ КЛАССИФИКАЦИИ ГУРСА
71
анализ уравнений Лэне и продвинуть проблему классификации Гурса.
Автор выражает благодарность С.П. Цареву за предоставленные материалы и внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00648-а) и гранта по поддержке ведущих научных школ (НШ 544.2012.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. C. 400.
2. Steeb W-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and. Computer Algebra, second edition. World Scientific Publishing, Singapore 2007. P. 457.
3. Абловиц М., Сигур Ч. Солитоны и метод обратной задачи. М: Мир, 1987. C. 480.
4. Goursat M.E. Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independantes. - Paris: Librairie scientifique A.Hermann. T. II. 1898. P. 344.
5. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными про
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.