ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 12, с. 1971-1978
УДК 519.612
О ПРОБЛЕМЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СДВИГОМ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2007 г. В. А. Морозов*, Э. М. Мухамадиев**, А. Б. Назимов**
(*119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, НИВЦ; **160002 Вологда, ул. Ленина, 15, Вологодский гос. техн. ун-т) e-mail: morozov@srcc.msu.su; n.akbar54@mail.ru Поступила в редакцию 31.05.2007 г.
Рассматривается задача регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. Доказываются новые эквивалентные условия регуляризуемости сдвигом этих систем. Библ. 10.
Ключевые слова: регуляризация сдвигом, вырожденные системы, псевдообратная матрица, равномерная ограниченность, регулярный пучок.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Au = f, (1)
где A - квадратная матрица порядка n с комплексными элементами, f е Cn - заданный, u е Cn -искомый векторы, Cn есть n-мерное комплексное пространство. Наряду с СЛАУ (1) будем рассматривать семейство СЛАУ
(A + IB) u = f, (2)
где B - произвольная квадратная матрица порядка n с комплексными элементами, X е C - комплексный параметр.
Будем говорить, что семейство СЛАУ (2) является регуляризацией сдвигом уравнения (1), если, во-первых, СЛАУ (2) имеет единственное решение uX при достаточно малых |X| > 0 и, во-вторых, решение uX сходится при X —► 0 к некоторому решению СЛАУ (1) в случае ее разрешимости.
Известно, что если матрица A обратима, то и матрица A + XB обратима для любой матрицы B и достаточно малых |X| > 0. Если u0 - решение СЛАУ (1), то справедлива оценка
IK - u0|| = O(X). (3)
Если же матрица A необратима, то, во-первых, СЛАУ (1) не при всехf е Cn является разрешимой и, во-вторых, в случае разрешимости СЛАУ (1) и однозначной разрешимости СЛАУ (2) может не иметь места оценка (3). Поэтому представляет интерес выделение класса пар (A, B) матриц A и B, для которых семейство СЛАУ (2) является регуляризацией сдвигом СЛАУ (1).
Заметим, что если в (2) вместо четверки (A, B, X, f) положить (A*A, E, a, A*f), где A* - комплексно-сопряженная матрица для матрицы A, E - единичная матрица, a > 0, то получается регуляризация Тихонова (см. [1]); при (A*A, L*L, a, A*f) получается СЛАУ, решение которой сходится к L-псевдорешению (см. [2]); при (A, E, a, f), где A = A* > 0, a > 0, получается упрощенная тихоновская регуляризация; при (A, E, ia,f), где A = A* > 0, a > 0, i - мнимая единица, получается регуляризация А.Б. Бакушинского (см. [3], [10])
k
b = V £*e
m =1
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00269, 06-01-96648-р-Юг).
1971
где em, g*, m = 1, к, - ортонормированные базисы в KerA и KerA* соответственно, получится СЛАУ для нахождения приближенного значения точек ветвления нелинейных уравнений (см. [4]) и численного решения сингулярных интегральных уравнений теории упругости и аэродинамики (см. [5]).
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Всюду ниже будут использованы такие обозначения: A+ - псевдообратная матрица (см. [6]) для матрицы A; Q = E - A+A - ортогональный проектор на KerA - ядро матрицы A; P = E - AA+ -ортогональный проектор на KerA*; F = PBQ; T = (F+B - E)A+; Л0 = {z е С: 0 < |z| < р0}, р0 > 0 -некоторое достаточно малое число; Д(А,) = det(A + XB). В [7], [8] доказана следующая
Теорема 1. Для того чтобы семейство СЛАУ (2) являлось регуляризацией сдвигом СЛАУ (1), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих эквивалентных условий:
(а) существует X* е C такое, что Д(А,*) Ф 0 и имеет место равенство
R(A)n R(BQ) = { 0 }; (4)
(б) F+F = Q;
(в) FF+ = P;
(г) ||(A + XB) X|| = 0(X-1) VX е Л0, X — 0;
(д) ||(A + XB)-1A || < const, X е Л0.
Ниже приводятся новые условия регуляризуемости СЛАУ (1), эквивалентные условиям (а)-(д). Теорема 2. Для того чтобы семейство СЛАУ (2) являлось регуляризацией сдвигом СЛАУ (1), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих эквивалентных условий:
(е) R(A) + R(BQ) = С";
(ж) (A + XB)-1 = X-1F+ + Xm = 0 Xm (TB) mT (BF+ - E),
где X е С, 0 < |X| < р-1, р = p(TB) - спектральный радиус матрицы-оператора TB;
(з) ||X(A + XB)-1|| < const, X е Л0;
(и) ||X(A + XB)-1B || < const, X е Л0; (к) Д(к)(0) Ф 0, к = n - r, r = rankA.
3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ Доказательству теоремы предпошлем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 1. Пусть A и B - произвольные квадратные матрицы одного порядка. Тогда справедливы равенства
QF+ = F+P = F+, AT = -AA+, PBT = (F+ F- P)BA+,
где
Q = E - A+A, P = E - AAF = PBT, T = (F+ B - E)A+. Доказательство. Так как F+ = F*(FF*)+ и F+ = (F*F)+F*, то из равенства F* = QB*P будем иметь QF+ = Q2 B * P (FF*)+ = QB* P (FF*)+ = F *( FF*)+ = F+, F+P = (F*F)+QB*P2 = (F*F) QB*P = (F*F)+F* = F+.
Так как AQ = 0, то
AT = A( QB* P (FF *)+- E) A+ = - AA+.
Так как Q2 = Q, то
PBT = PB( Q2B* P(FF* )+B - E) A+ = (FF*( FF* )+B - PB )A + = (FF+ - P )BA+.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть A, B - произвольные квадратные матрицы одного порядка и k = п - г, где г = rankA. Тогда справедливы равенства
Д( 0) = А' (0) = ... = Д(к-1)( 0) = 0. (5)
Доказательство. Через Д(Х;]ъ ...,/т), m = 1, k, обозначим определитель порядка п, получающийся из определителя Д(Х) путем замены его /5-го столбца aiJ■ + XbiJ■ на столбец biJ■ (/ = 1, п ,
5 = 1, т).
Нетрудно заметить, что для производных определителя Д(Х) справедливо равенство
Д(т)(Х) = т! £ Д(Х; /т). (6)
1 < Л <•••< /т < п
Доказательство равенства (5) проводим индукцией по г. Так как матрица А вырожденная, то г < п.
Пусть г = п - 1. Тогда k = 1 и (5) будет состоять из одного равенства Д(0) = 0, справедливость которого очевидна: Д(0) = detA = 0.
Пусть теперь г = п - 2. Тогда k = 2 и (5) примет вид Д(0) = Д'(0) = 0. Выполнение первого равенства очевидно. Докажем второе равенство. Из (6) получим
Д'(0) = £ Д(0; /). (7)
1 < / < п
Здесь Д(0; /) - определитель п-го порядка, получающийся из определителя матрицы А заменой его ■-го столбца на /-й столбец матрицы В (/ = 1, п). Разложим определитель Д(0; /) по элементам ■-го столбца:
п
Д( 0; /) = £(-1)+
i = 1
где А/ - миноры (п - 1)-го порядка определителя матрицы А, соответствующие элементам а/, а
Ь/ - соответствующие этим элементам элементы матрицы В (/,/ = 1, п). Так как г = п - 2, то все
миноры (п - 1)-го порядка матрицы А равны нулю; А/ = 0 для всех /,/ = 1, п. Отсюда и из (7) следует справедливость второго равенства.
Пусть, наконец, г = г0 < п - 2. Тогда k > 2 и все миноры порядка выше г матрицы А равны нулю. Покажем, что
(т)
Aw(0) = 0, m = 1, к -1. (8)
Из (6) будем иметь
Л(m)(0) = m! £ Д(0; ./Ч.....jm).
1 -/1 <•••< /m - n
Докажем, что Д(0; j1, ..., jm) = 0 для всех m = 1, к - 1 и 1 - j1 < ... < jm - n. Справедливость этого равенства при m = 0, к - 2 вытекает из предыдущего шага индукции. Докажем равенство
Д(к-1)( 0) = (к -1)! £ Д( 0; ju..., jk ) = 0. i- j <•••< ¡к-1- n
Произведем разложение каждого из определителей Д(0; j1, ..., ji:- 1). Вначале разложим эти определители по элементам]\-го столбца, т.е. по первому столбцу, состоящему из столбца матрицы B. В результате получим сумму определителей (n - 1)-го порядка, содержащих по к - 2 столбца
матрицы В. Затем произведем разложение каждого из этих определителей по элементам столбца у2, т.е. опять по первому столбцу, состоящему из столбца матрицы В. В результате получим сумму определителей (п - 2)-го порядка, содержащих по к - 3 столбца матрицы В. Этот процесс будем продолжать до тех пор, пока не будут исчерпаны все столбцы матрицы В, входящие в Д(к - Х)(0). Тогда Д(к - Х)(0) будет состоять из суммы определителей (г + 1)-го порядка, которые являются минорами матрицы А. Но все миноры (г + 1)-го порядка матрицы А равны нулю, так как гапкА = г. Равенство (8) доказано. Лемма доказана.
Обозначим через Фу(Х) алгебраическое дополнение к элементу а. + ХЬ. матрицы А + ХВ.
Лемма 3. Пусть г = гапкА и к = п - г. Тогда справедливы равенства
Ф,.( 0) = ф'(0) = ... = ф j-2)( 0) = 0, i, j = 1, n.
(9)
Доказательство. Заметим, что при к = 0 и к = 1 соотношение (9) не содержит ни одного условия. Поэтому доказательство леммы следует проводить при к > 2. Это соответствует условию г < п - 1.
Пусть к > 2. Докажем равенство Ф.(0) = 0. Заметим, что Ф.(0) является минором (п - 1)-го порядка матрицы А. Так как г = п - к, то все миноры порядка п - к + 1, ..., п равны нулю.
Докажем равенство Ф ■ (0) = 0. Аналогично равенству (6) имеем
ф.(Х) = £ [ФУ(Х>]„
1 < I Ф ■ < п
где [Фу(Х)]; получается из определителя Д(Х) путем зачеркивания 7-й строки, .-го столбца и заменой 1-го столбца а1 + ХЬ1 на столбец Ь1. Каждый из определителей [Фу(0)]; разложим по элементам столбца, состоящего из Ь, и получим сумму определителей (п - 2)-го порядка, являющихся минорами определителя матрицы А. Но все они равны нулю. Следовательно, Фг. (0) = 0.
Дальнейшее доказательство повторяет рассуждение, приведенное в доказательстве леммы 2. Лемма доказана.
Замечание. Естественным кажется, что равенства (5) влекут за собой выполнение равенств (9) и без предположения, что к = п - г, г = гапкА. Однако если к не связано с рангом г соотношением к = п - г, то равенства (9) могут не следовать из равенств (5). Например, для матриц
A =
' 110 0 " ' 2 10 0"
110 0 , B = 3 2 0 0
0 0 11 0 0 2 1
, 0 0 0 1 , , 0 0 3 2 ,
имеем
r = rank A = 2, k = n - r = 2, A(X) = X .
Следовательно,
Д( 0) = Д' (0) = Д'' (0) = Д'''( 0) = 0. Однако не для всех 7,. = 1, 4 выполняется равенство Ф ■ (0) = 0. Например, для 7 =. = 1 имеем
1
Фп (X) =
+ 2 X 0 0 0 1+2 X 1+X 0 1 + 3X 1+2X
= 2 X3 + X2
и, очевидно, Ф11(0) = 0, Ф^ (0) = 0, но ФЦ (0) Ф 0.
Таким образом, требование k = n - r, где r = rankA, в условии леммы 3 является необходимым. Лемма 4. Пусть матрицы F и GX (0 < |X| < X0) являются квадратными одного порядка и семейство {GX} равномерно ограничено: ||GX|| <M1 = const при 0 < |X| < X0. Тогда для равномерной
ограниченности семейства {(F + ХОХ) 1} необходимо и достаточно выполнения неравенства detF Ф 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть семейство {(F + ХОХ)-1} при 0 < |Х| < Х0 являе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.