ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 3, 2015, стр. 11-17
МЕХАНИКА
УДК 539.3
О ПРОГНОЗИРОВАНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНЫХ УПРУГИХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО
СИНГУЛЯРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
© 2015 г. Академик В.И. Колесников1, В.Б. Яковлев2, В.В. Бардушкин2, А.П. Сычев3
Поступила 12.03.2015
В статье с помощью единого подхода - обобщенного сингулярного приближения - теоретически обобщены результаты многолетних исследований (в том числе авторов статьи) по прогнозированию распределений локальных (внутренних) упругих полей в неоднородных средах. Указанные распределения описываются с помощью безразмерных операторов концентраций напряжений и деформаций (тензоров четвертого ранга), связывающих локальные значения тензоров напряжений и деформаций со средними (внешними) по материалу напряжениями и деформациями. Приведен вывод операторных уравнений для прогнозирования распределений упругих полей в неоднородных поликристаллических и композитных средах. Показано, что с помощью операторов концентраций возможен анализ распределений внутренних упругих полей в зависимости от состава, структуры и объемного содержания элементов неоднородности, а также вида и величины прикладываемой нагрузки. Установлено, что с помощью соответствующего выбора параметров однородной среды сравнения можно получить известные оценки локальных упругих характеристик неоднородных материалов, а именно: в приближениях Фойгта, Ройсса и для одиночного включения в неограниченной матрице. Приведены соотношения для прогнозирования распределений локальных упругих полей в текстурированных поликристаллических средах и двухкомпонентных матричных композитах как с изотропными, так и с анизотропными включениями и матрицей.
Ключевые слова: композит, матрица, включение, поликристалл, локальные упругие характеристики, операторы концентраций напряжений и деформаций, обобщенное сингулярное приближение.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические и экспериментальные исследования физико-механических (в частности, упругих) свойств поликристаллов и композитов в основном ведутся в двух направлениях. К ним относятся прогнозирование и анализ эффективных (эксплуатационных) и предельных (разрушающих) характеристик неоднородных материалов. Не умаляя важности экспериментальных исследований, следует отметить, что в настоящее время все боль-
1 Ростовский государственный университет путей сообщения (Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russian Federation), 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, д. 2.
2 Национальный исследовательский университет "МИЭТ" (National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russian Federation), 124498, Москва, Зеленоград, пл. Шокина, д. 1; e-mail: bardushkin@mail.ru
3 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences, Rostov-on-Don, Russian Federation), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: sap@rgups.ru
шее значение приобретают методы моделирования и расчета, основанные на теоретическом анализе указанных свойств поликристаллов и композитов [1-3].
Для материалов, состоящих из разнородных компонентов с четко выраженной границей раздела, проблема прогнозирования предельных механических характеристик сводится к анализу распределений полей напряжений и деформаций в пределах элементов неоднородности в зависимости от вида и величины прикладываемой нагрузки. Эти характеристики определяются тензорными операторами концентраций напряжений и деформаций, связывающими значения внутри элемента неоднородности со средними значениями во всем материале [4]. Моделирование и расчет напряжений и деформаций, возникающих в отдельном элементе неоднородности в зависимости от состава, структуры, геометрической формы и концентрации компонентов, а также вида и величины приложенного внешнего воздействия, дает возможность прогнозировать, как указанные напряжения и деформации
концентрируются и перераспределяются в неоднородной среде. Это может быть полезным в решении проблемы текстурообразования [5], а также позволит разработчикам вести целенаправленный поиск новых, обладающих заданными свойствами поликристаллических и композитных материалов [2; 3].
Понятие о тензорах концентрации впервые было введено Хиллом [4]. Решение задачи о концентрации напряжений на поверхности эллипсоидальной неоднородности в анизотропной среде получено в [6-9]. Задача о концентрации напряжений в изотропной матрице, армированной анизотропными включениями, решена в [10]. Функционалы концентрации, выражающие напряжения и деформации в неоднородном теле через таковые же в однородном теле с эффективными характеристиками, были рассмотрены в [9].
Проблема вывода соотношений для операторов концентраций в неограниченных средах, состоящих из бесконечного множества элементов неоднородности, была решена в [11]. При выводе использовалось обобщенное сингулярное приближение (ОСП) теории случайных полей, разработанное в [1] с целью прогнозирования эффективных свойств неоднородных материалов. В рамках указанного приближения вводится однородное тело сравнения, материальные константы которого входят в окончательные выражения для вычисления операторов концентраций напряжений и деформаций. Физический смысл ОСП заключается в предположении однородности полей напряжений и деформаций в пределах отдельного элемента неоднородности. С помощью ОСП выражения для вычисления операторов концентраций в поликристаллах были получены в [12]. В рамках этого же приближения для двухкомпонентных композитов в [13; 14] исследовано влияние микроструктуры на их локальные характеристики, а в [15] для многокомпонентных композитов проведено численное моделирование влияния на значения указанных операторов состава, структуры и концентрации элементов неоднородности.
В настоящей работе дается теоретическое обобщение результатов авторов [3; 5; 11-15]. Показано, как на основе ОСП с помощью соответствующего выбора параметров среды сравнения можно объединить известные оценки для неоднородных сред.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тензоры напряжений V, деформаций е, модулей упругости с и податливости 5 в стохастических средах являются случайными функциями координат г и могут быть представлены в виде суммы средних
значений и флуктуаций (для удобства в дальнейшем, если это возможно, индексы в записи компонент тензоров будем опускать) [1-3]:
v(r)= G v(r) H + v'(r), s(r)= G s(r) H + s'(r),
с(r)= Gс(r) H + c'(r), s(r)= Gs(r) H+s'(r). (1)
Принимая, что в рамках линейной теории флуктуации линейно зависят от средних значений, v'(r)= P(r) G v(r) H, s'(r) = Q(r) G s(r) H (тензоры P(r) и Q( r) являются интегральными операторами, описывающими взаимодействие между включениями), получаем, что связь между локальными и средними напряжениями в материале может быть представлена в виде
Vij (r ) = KVkl (r ) G vkl (r) H ,
Sj(r)= KSjki(r) G Ski(r) H, i, j, k, l =1,2,3. (2)
Угловые скобки в (2) определяют усреднение по ансамблю, которое при выполнении гипотезы эргодичности совпадает с усреднением по объему. Интегральные тензорные операторы Kv (r) и Ks (r) называют операторами концентраций напряжений и деформаций. Удобство такого представления заключается в том, что данные операторы зависят только от материальных параметров среды и микроструктуры материала, но не от вида и величины прикладываемых нагрузок [3].
Для корректного анализа операторов Kv(r) и Ks (r) необходимо решать систему стохастических дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений равновесия) с соответствующими граничными условиями
4 jCjki(r) 4кщ(r) = - f (r). (3)
Здесь f(r), u(r) - компоненты векторов плотности объемных сил и смещения соответственно, Cjkl(r) -компоненты тензора модулей упругости. Граничные условия могут быть условиями 1-го, 2-го и 3-го родов, что соответствует заданию на границе материала постоянных смещений, деформаций или напряжений. Стандартный подход к построению моделей сред, учитывающий взаимодействие зерен неоднородности, состоит во введении однородного тела сравнения [1; 3] (что далее в тексте будет обозначаться верхним индексом «с»), для которого можно записать уравнение, аналогичное (3), но относительно вектора смещения тела сравнения.
Введем дифференциальные операторы La = 4 jj 4 к и Ьи = 4 jCjki 4 к, последний из которых представим в виде L (r) = Lc + L" (r). Обозначим u'(r) = u(r)- G u(r) H , u"(r) = u(r)- uc, с (r) = c(r) - cc, s"(r) = s(r) - sc. Тогда, вычитая первое уравнение из второго, получим
Lcu'(r) = - L"(r)u(r). (4)
Для неограниченной среды решение этого уравнения обычно ищут, используя метод функций Грина, что дает возможность представить решение уравнения (4) в следующем виде (т, п = 1, 2, 3):
е у и а, у)( г )
Gk(i,) )( г - Г1) сЫтп (г 1) етп (г 1) + У Gk(i,у )I (г - г 1) сЫтп (г 1) г 1,
+
е' = (&1к1 ( г )+ Qijkl (г )) С"к,тп ( г ) £тп ( г ).
Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, а по индексам, заключенным в круглые скобки, осуществляется операция симметризации, запятая соответствует дифференцированию по тем индексам, которые стоят после нее; G - функция Грина, Q0 и Q - интегральные операторы, 51 - поверхность интегрирования.
Проводя операцию центрирования случайной величины е " (нижние индексы опущены)
е'(г) = е'(г)- < е'(г)) =
= ^0(г)+ Q(г))(с'(г)е(r) - < С'(г)е(г)))
и учитывая, что для тел достаточно больших размеров операцию поверхностного интегрирования можно рассматривать как усреднение [1], после преобразований находим, что
е(r) =
= (I - Q(г)с'(г))-1 < (I - Q(г)с'(г))-1)-1 < е(r)),
(5)
где I - единичный тензор четвертого ранга. Откуда, согласно определению (2), получим выражение для оператора концентраций деформаций
Ке(г) = (I - Q(г)с'(г))-1 < (I - Q(г)с'(г))-1 ) -1.
(6)
Используя выражения (2), можно показать, что операторы Ка ( г ) и Ке (г ) связаны соотношением
К а ( г ) = с(г ) Ке ( г )(с*)-1,
где с* - тензор эффективных модулей упругости. Формальное выражение для с*, связывающего средние значения напряжений < а у (г ) ) и деформаций < ек1 (г )) в ма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.