РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 9, с. 1048-1053
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.8:566.2:621.371
О ПРОХОЖДЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ДВУХ ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕД © 2004 г. В. В. Шевченко
Поступила в редакцию 03.02.2004 г.
Показано, что при падении плоской волны под углом к границе между двумя поглощающими средами возможна ситуация, когда прошедшая волна может быть не спадающей, а экспоненциально возрастающей в поперечном к границе направлении.
ВВЕДЕНИЕ
При постановке и решении задачи о прохождении плоской волны через плоскую границу между двумя различными средами обычно используется, казалось бы, естественное с физической точки зрения условие спадания поля прошедшей волны в поперечном к границе направлении, если вторая среда, в которую проходит волна, поглощает ее энергию. При более внимательном рассмотрении данной задачи оказалось, однако, что это условие оправдано только в случае, когда первая среда, в которой распространяется падающая на границу волна, является непоглощающей или без потерь. Если же первая среда тоже оказывается поглощающей (с потерями), то указанное условие должно выполняться, если волна падает и, следовательно, проходит через границу нормально к ней. Отмеченное условие может не выполняться, если волна падает на границу под некоторым углом. Этот случай рассмотрен здесь подробно. Получены условия, налагаемые на параметры сред, при которых прошедшая волна является экспоненциально спадающей, и указаны условия на параметры сред и угол падения волны, при которых прошедшая волна оказывается экспоненциально возрастающей в поперечном к границе направлении, что, однако, не противоречит физическим представлениям о волнах, распространяющихся в средах с потерями.
1. ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ
На рис. 1 схематически представлены плоская границы раздела двух сред 1 и 2 и направления падающей и отраженной волн. Прошедшая волна оказывается обобщенной плоской волной [1, 2], имеющей различающиеся направления возрастания фазы, экспоненциального спадания и потока энергии волны [3]. Представим функции поля па-
дающей, отраженной и прошедшей плоских волн, как в [3], в виде
F0(y, z) = exp¿[юг - kn1(ycosф1 + zsinфх)],
Fi(y, z) = R exp ¿[юг + kn1(y cos ф1 - z sin фх)], (1)
F2(y, z) = Texp ¿[юг - kn2(y cos ф2 + z sin ф2)],
где через F обозначена компонента поля Ex или Hx в зависимости от поляризации волн, амплитуда падающей волны равна единице, R и T - коэффициенты отражения и прохождения волн, k = ю/с, ю - круговая частота, с - скорость света, n1, n2 -показатели преломления волн в соответствующих средах. Углы падения и прохождения связаны, как известно [1, 2], законом Снеллиуса:
n1 sin ф1 = n2 sin ф2, (2)
а показатели преломления связаны с относительными диэлектрической и магнитной проницаемо-стями сред £1, ц1, е2, p2 соотношениями
П = (£, p.,. )1/2, (3)
y
ф2
2
1 / ф1 - ф!\ z
Рис. 1.
Рис. 2.
где j = 1, 2. При наличии потерь в средах проницаемости являются комплексными величинами:
t . М 1 . I г /
£ j = £ j + i £ j , | = | + i | , (4)
при этом в случае обычных (не отрицательных [3]) сред
t t гл TT TT /-v
£ j>!j > 0 £ j j< 0 (5)
" I || TT I T I
l£j I <l£j\ , Iij I <N,
где два последних неравенства означают, что потери сравнительно невелики.
Как следствие соотношения (3), также комплексными оказываются коэффициенты преломления
Uj = nj + inj, n j > 0, n j < 0 (6)
и на основании (2) угол ф2.
Представим поле прошедшей волны (1) на основании соотношения (2) в виде
F2(y, z) = Texpi[rn - k(vy + n1zsinф1), (7)
где
V = v' + iv = n2cosф2 = n2( 1 - Sin ф2) =
(8)
,2 2 . 2 ,1/2 = (n2- n1 Sin ф1) .
Введем в рассмотрение величину
N = N + i'N" = N2 - N1 sin2 ф1, (9)
где Nj = £j I,
N' = N2 - N1 sin2 ф1, N' ' = N2' - N1' sin2 ф1, (10)
n tT TT TT TT x т" T TT TT T /1 1\
Nj = £jlj - £j Ij > 0, Nj = £jIj + £j Ij < 0. (11)
В выражениях (11) знаки неравенств следуют из соотношений (5).
Исследуем детально комплексную функцию
V = №/2, (12)
которая описывает связь между значениями V и N согласно соотношениям (3), (8), (9). Эта функция двузначная, поэтому для ее взаимно однозначного представления на рис. 2 фактически изображены два листа двузначной римановой поверхности значений N где верхний лист соответствует значениям функции V с V'' > 0, а нижний лист - с V'' < 0. Переход с одного листа на другой происходит при пересечении разреза, который проходит по положительной действительной полуоси, на которой V'' = 0. Функция (12) переводит значения N с верхнего листа в значения V на верхней полуплоскости, а значения N с нижнего листа - на нижнюю полуплоскость (рис. 3).
При ф1 = 0, т.е. при нормальном падении волны на границу раздела сред, прошедшая волна тоже нормально распространяется от границы и является обычной (не обобщенной) плоской волной. В этом случае она экспоненциально спадает при удалении от границы, что соответствует, согласно (9), (12), значениям
N = N2, V = П2 = (^2)1/2, (13)
где N2 > 0, N2' < 0, п2 > 0, п'2 < 0. Соответствующие точки показаны на рис. 2 на нижнем листе и на рис. 3 на нижней полуплоскости в четвертых квадрантах. При возрастании угла фх точка, соответствующая значению N будет двигаться в пло-
У Re^ у" К с 5
2 Г 5 < ч < )
1 / / / z
Рис. 4.
скости N (рис. 2) вдоль прямой согласно функциональной зависимости
N'' = -1 (D + N 1'N'), (14)
N1
где
D = N1N2' - N 1'N,, (15)
которая получена из двух равенств (10) путем исключения sin2 ф1. На рис. 2 представлены две прямолинейные траектории движения точки N: два отрезка лучей, исходящих из точки N2. Один луч соответствует значению D > 0, другой - значению D < 0. В первом случае луч пересекает разрез и выходит на верхний лист значений N с N'' > 0, v'' > 0 (сплошная линия). Во втором случае значения N остаются на нижнем листе с N'' < 0, v'' < 0 (штриховая линия). Конечные точки отрезков соответствуют скользящему падению волны на границу при ф1 = п/2, т.е. в соответствии с (9) значению
N = N 2- N1. (16)
На рис. 3 представлены траектории движения соответствующих точек в плоскости v согласно функции (12), а именно, на основании преобразования вида
iv = |N|1/2, arg v = 1 arg N. (17)
Таким образом, при D > 0 и значениях угла падения волны
фх > фк, (18)
где фк, согласно (10), удовлетворяет соотношению
2 N'2' sin2 фк = -А (19)
N'1'
т.е. значению N = 0, поле прошедшей волны (7) оказывается экспоненциально возрастающим (с V'' > 0) при удалении от границы раздела сред.
С физической точки зрения этот результат нетрудно объяснить по аналогии с эффектом так называемой вытекающей волны в открытых волноводах и антеннах, поле которой тоже экспоненциально возрастает при удалении от направляющей ее структуры [1, 4, 5]. На рис. 4 при помощи функции Ие показано, как это происходит (ср. [4, § 14]). Пусть часть границы раздела сред закрыта не пропускающей волну пластиной. От края пластины во вторую среду можно условно провести границу свет-тень. Теневая область образуется из-за непропускания поля волны пластиной. Поскольку поля падающей и, следовательно, прошедшей волн спадают в направлении оси г, то прошедшее через границу поле вблизи края пластины оказывается большим, чем поле у границы вдали от края. Следовательно, поле прошедшей волны возрастает при удалении от границы раздела сред в поперечном направлении вплоть до границы свет-тень, которая в действительности несколько размыта из-за дифракции поля волны на краю пластины. Описанная здесь картина непосредственно соответствует случаю, когда во второй среде потери отсутствуют. Если же такие потери имеют место, то эффект зависит от результата конкурирующего воздействия двух процессов: экспоненциального возрастания поля из-за более раннего прохождения волны через границу и экспоненциального спадания поля прошедшей волны из-за потерь при последующем распространении во второй среде. Как выше показано, количественно указанное экспоненциальное возрастание поля прошедшей волны реализуется при одновременном выполнении соотношения Б > 0 для параметров сред (11), (15) и условия ф1 > фк для угла падения волны.
2. СВОЙСТВА ПРОШЕДШЕЙ ВОЛНЫ
Рассмотрим подробнее свойства прошедшей волны. Как уже отмечено, поле этой волны имеет усложненную структуру обобщенной плоской волны, результаты анализа которой в случае, когда первая среда не имеет потерь, представлены в [1, 2]. В работе [3] исследован более общий случай, когда обе среды имеют потери. Хотя в [3] рассмотрена ситуация, когда проницаемости второй среды е2, |2 имели отрицательные вещественные части (отрицательная среда) при распространении в ней так называемой обратной волны, все полученные там аналитические выражения для прошедшей волны справедливы и для рассматриваемого здесь случая, когда проницаемости е2, |2 имеют положительные вещественные части (положительная среда) и, следовательно, для прямой обобщенной прошедшей волны.
Ниже выписаны из [3] необходимые для дальнейшего анализа поля прошедшей волны выражения:
а = arctg [ ^sin ф11,
1/2
(20)
1 + 1 ^ | Sin ф-
в = arctg (^V-sin ф1),
Пв = V
V '
2
1 + (V 1 sin ф1
1/2
(21)
у = arctg
Í т т тт тт
^2 n1 + ^2 n1 . m -Sin ф1
v' + ц2' v' ' у
т .
у = arctg
Í т т тт тт Л
£2И, + £2 И,
--—--2—- sin ф1
' т "it
V£2V + £2V у
(22)
exp к (v' 'y + n 1' z sin ф1) = exp knaya,
(23)
6 = arctg-
\n1 sin ф1
П
=а-2
(25)
Ув = y cos в + z sin в,
(26)
Рис. 5.
в частности, для чисто диэлектрическои среды (ц2 = 1) имеем
уе = в,
(27)
Здесь а - угол, указывающий направление, в котором поле прошедшей волны (7) имеет наибольшую скорость экспоненциального спадания. Это спадание описывается функцией
а само направление соответствует повернутой на угол а координатной оси
ya = y cos а + z sin а. (24)
Ортогонально к этому направлению под углом
а при отсутствии диэлектрических потерь ( е2' = 0) и для чисто магнитной второй среды (е2 = 1)
уй = р. (28)
Если же вторая среда вообще не имеет потерь (е2' = М-2' = 0), то для углов у, Ут получим
e m о
у = у = в.
(29)
расположены уровни постоянства амплитуды волны, т.е. модуля функции
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.