ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 267-284
УДК 519.634
О ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОДНОМЕРНОЙ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ СОСТОЯНИЯ И БАЛАНСЕ ЭНТРОПИИ1)
© 2015 г. В. А. Гаврилин*, А. А. Злотник**
(*111250 Москва, ул. Красноказарменная, 14, НИУ МЭИ;
**101000Москва, ул. Мясницкая, 20, НИУ Высш. шк. экономики) e-mail:gavrilinva@gmail.com; azlotnik2007@mail.ru Поступила в редакцию 11.03.2014 г.
Переработанный вариант 25.09.2014 г.
Рассматривается одномерная квазигазодинамическая система уравнений в форме законов сохранения массы, импульса и полной энергии с общими уравнениями состояния газа. Изучается семейство трехточечных симметричных дискретизаций по пространству этой системы, для которых уравнение внутренней энергии также имеет надлежащий вид (без дисба-лансных слагаемых). Выводится уравнение баланса энтропии и выясняется влияние выбора дискретизаций различных слагаемых на вид сеточных дисбалансных слагаемых в этом уравнении. Указываются специальные дискретизации, для которых соответствующие недивергентные дисбалансные слагаемые равны 0. Приводятся результаты численных экспериментов по решению системы уравнений Эйлера для случаев совершенного политропного газа, двучленных уравнений состояния и уравнений состояния Ван дер Ваальса. Библ. 18. Фиг. 8.
Ключевые слова: газовая динамика, общие уравнения состояния, квазигазодинамическая система уравнений, уравнение баланса энтропии, дискретизация по пространству.
Б01: 10.7868/8004446691502009Х
ВВЕДЕНИЕ
Квазигазодинамические (КГД) системы уравнений служат основой для построения класса разностных методов решения задач газовой динамики. Построение КГД систем для случая совершенного политропного газа, их свойства, дискретизация и разнообразные приложения подробно представлены в монографиях [1]—[3]. Кроме того, подробное тестирование одномерного КГД разностного метода для решения уравнений Эйлера выполнено в [4], [5].
Ряд дополнительных вопросов теории КГД систем, включая обобщение на практически важный случай общих уравнений состояния, представлен в [6]—[9]. В том числе в [7], [8] установлена параболичность многомерной КГД системы с общими термодинамически устойчивыми уравнениями состояния и выведено уравнение баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии (в нескольких формах записи), что свидетельствует о математической и физической корректности этой системы, а в [9] доказана линеаризованная устойчивость равновесных решений этой системы, что свидетельствует о ее диссипативном характере. В [10] даны результаты соответствующих первых численных экспериментов.
Консервативные разностные методы призваны обеспечивать приемлемую точность численных решений уже на не слишком подробных сетках (что, конечно, особенно актуально в многомерном случае). Следует подчеркнуть, что при их построении для уравнений газовой динамики внимание должно уделяться не только законам сохранения массы, импульса и полной энергии, но и уравнению баланса энтропии. Такой анализ консервативных пространственных дискретизаций одномерной КГД системы в случае совершенного политропного газа был проведен совсем
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Программы "Научный фонд НИУ ВШЭ", проект № 14-09-0189 и РФФИ (коды проектов 13-01-00703 и 14-01-90009-Бел.).
недавно в [11]. Там построены новые нестандартные дискретизации, обеспечивающие выполнение уравнения баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии.
Настоящая работа развивает подход из [11] на случай общих уравнений состояния. Изучается семейство трехточечных симметричных дискретизаций по пространству КГД системы. Важно, что для них и уравнение внутренней энергии имеет надлежащий вид (без неестественных дисба-лансных слагаемых). Выводится уравнение баланса энтропии и выясняется влияние выбора дискретизаций различных слагаемых на вид сеточных дисбалансных слагаемых в этом уравнении. Указываются специальные "энтропийные" дискретизации плотности, внутренней энергии, квадрата скорости звука, давления, для которых недивергентные дисбалансные слагаемые исчезают. Важно, что подобные дискретизации могут оказаться успешными не только в рамках КГД подхода, но и для других методов дискретизации уравнений газовой динамики. Приводятся результаты численных экспериментов по решению набора известных в литературе тестов для системы уравнений Эйлера с новыми пространственными дискретизациями для случаев как совершенного политропного газа, так и двучленных уравнений состояния и уравнений состояния Ван дер Ваальса (без фазовых переходов в течениях). Они свидетельствуют о хорошей работоспособности метода.
1. ОДНОМЕРНАЯ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ С ОБЩИМИ УРАВНЕНИЯМИ СОСТОЯНИЯ И УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ
Квазигазодинамическая система уравнений с одной пространственной переменной в форме из [2], [3] состоит из следующих уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (в отсутствие массовых сил):
д, р + д^ = о, (1.1)
д, (р и) + дх (¡и + р) = дх П, (1.2)
д,Е+дх{( и - V )(Е+р)} = -дхд + дх (П и) + О. (1.3)
Здесь д, и дх — частные производные по аргументам , > 0 и х е [0, X]. Функции р > 0, и, Е = = 0.5ри2 + рб — плотность, скорость и полная энергия газа, ар и б — давление и внутренняя энергия. В уравнениях стоят поток массы с плотностью, задаваемой формулами
] = р(и - V), (1.4)
Т * т
V = V + - ид,(ри), V = - (ридхи + дхр), (1.5)
вязкое напряжение
П = 4Идхи + ри№ + т{ идхР + рС^дхи - (уе - 1)О} (1.6)
и тепловой поток, со знаком минус, задаваемый формулой
-д = кдх0 + т|ри\дх6 - ^дхр) - иО|. (1.7)
Здесь 0 > 0 — абсолютная температура, а и > 0, к > 0, т > 0 — коэффициенты вязкости и теплопроводности и релаксационный параметр, которые в разд. 1, 2 могут быть произвольными функциями неизвестных. Выражение для П обобщено на случай общих уравнений состояния согласно [7], [8], причем С,, > 0 — скорость звука в газе; формулы для С, > 0 и уе в терминах функций состояния даны ниже. Величина Q > 0 — мощность тепловых источников.
Из этих уравнений следует уравнение баланса внутренней энергии (см. [2], [3], [8])
д,(рб) + дх06) = -дхЯ + Пдхи -рдх(и - V) + VдхР + О. (1.8)
В статье берутся общие уравнения состояния газа в форме
р = р(р, 0), 6 = б(р, 0), (1.9)
связанные равенством Максвелла
р = 0ре + р бр в Б0 (1.10)
и удовлетворяющие условиям термодинамической устойчивости вида
Рр > 0, б0 > 0 в Д,, (1.11)
где Б0 — область значений пары функций (р, 0) в КГД системе (случай Б0 = (0, да) х (0, да) допускается, но не является единственно возможным) и, например, рр, ре — частные производные функциир = р(р, 0). Если фактическирр > 0 в Б0, то последние условия можно переписать в известном эквивалентном виде ср > су = бе > 0 в Б0, где ср и су — теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (см. [12]). Включение случаярр > 0 позволяет охватить одну из простейших моделей двухфазной смеси газ/жидкость.
При этом величины С, > 0 и уе задаются формулами
п2 , 0р0 „ 1 , р0 П П\
С = Рр + —, Те = 1 + —. (1Л2)
р 60 р6е
Введем также энтропию 5 = ^(р, б) посредством формул Гиббса
Бр = , Б. = 1. (1.13)
р р20, Е 0 ()
Для простейшего случая совершенного политропного (СП) газа имеем
р = (у - 1 )ре, 6 = су0, £ = £0 - Л1пр + су 1пв (1.14)
2
с постоянными у > 1, Су > 0 и Я = (у — 1)су. Ясно также, чтор = Яр0, а С* = у(у — 1)в и уе = у.
Из уравнений баланса массы (1.1) и внутренней энергии (1.8) можно вывести уравнение баланса энтропии (см. [8])
д, (р *) + а, (/*) = д, (-0) + ^ + ЩЦ- +
тр-р{д,(ри)}2 + Т-р|-(^дц + и5x0 - -2-12 + Г1 - -р0г " 02 Грв0 х х 2рв/ 0Г 4р0в
(1.15)
т е
+ —{дх(рц)} + -VГ —д,и + и5x0 - 1 + 01 1 -р0 02 Грб0 2рв/ 0Г ■
Сумма всех слагаемых правой части, кроме дивергентного первого дх(—#/0), представляет собой производство энтропии. При этом сумма второго и третьего слагаемых плюс слагаемое Q/0 представляет собой производство энтропии по Навье—Стоксу, а остальные слагаемые содержат множитель т и являются релаксационными. Ясно, что первые пять слагаемых производства энтропии всегда неотрицательны, а последние — при выполнении условия < 4р0ве. Отметим, что для производства энтропии возможны и другие формы записи (см. [7], [8]).
Указанное свойство неотрицательности производства энтропии сохраняет силу и при ц > 0,
к > 0, т > 0 (для справедливости последнего слагаемое р№ /(т0) надо переписать в виде %(рыдхы +
+ дхр)2/(р0)).
2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНОЙ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ДИСКРЕТНОЕ УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНТРОПИИ
2.1. Введем произвольную неравномерную сетку юк на [0, X] с узлами 0 = х0 < х1 < ... < хм=Xи шагами Н1 = х, — х, _ 1. Пусть Нтах = тах1 < , <Введем также вспомогательную сетку ю* с узлами х, + 1/2 = (х, + х, +1)/2, 0 < , < N — 1, и шагами кI = х, +1/2 — х, -1/2 = (Н, + Н^ +1)/2.
На функциях v, заданных на , и y, заданных на ю* , введем операторы сеточного усреднения, сдвига аргумента и разностные отношения
[ v]i + 1/2 = 0-5( vi + vi + 1), ( v±)(- + 1/2 = vi + 1 /2, 8 vi + 1/2 = ^-T---,
hi + 1
[y ]* = h iy j - 1 ,-2 + h i + lyi + 1 /2 8*y. = У i + 1 /2 ~ yi - 1 /2
2 hi h i
Операторы [•], (•)+, 8 переводят функции, заданные на Юh, в функции, заданные на ю* , а операторы [•]*, 8* — функции, заданные на ю* , в функции, заданные на юн = {x¡; 1 < i< N — 1}. Нам потребуется набор формул, связывающих эти сеточные операторы
8(u v) = 8u •[ v] + [u]8v, (2.1)
8 * (y [ v]) = 8 *y • v + [y 8 v ] *, (2.2)
8*([u][v] - 0.25h+8u • 8 v) = 8*[u]• v + u8*[ v], (2.3)
[y]* v = [y[ v]]* - 0.258*(h+y8 v), (2.4)
где функция u задана на Юh (см., в частности, [11]). Здесь и ниже для сокращения количества скобок предполагается, что, например, 8u • [v] = (8u)[v] (т.е. знак умножения прекращает действие предыдущих операторов слева). Обратим также внимание на формулу [8v]* = 8*[v].
2.2. Построим следующую дискретизацию по пространству уравнений баланса массы, импульса и полной энергии (1.1)—(1.3)
р + 8 *j = 0, (2.5)
д,(р u) + 8* (j [ u ] + [p ]) = 8*П, (2.6)
dtE + 8*{([u] - w)([E]2 + [p])
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.