ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 3, с. 298-300
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 533.9
О ПУЛЬСАЦИЯХ СГУСТКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЛОВУШКЕ ПЕННИНГА
© 2004 г. Н. Д. Наумов
Центральный физико-технический институт МО РФ Поступила в редакцию 16.04.2003г.
Разработан метод расчета газодинамических характеристик начальной стадии пульсаций неоднородного сгустка заряженных частиц в ловушке Пеннинга. Проанализирована аргументация комментария В.А. Сырового (Физика плазмы. 2003. Т. 29. № 1. С. 101) по поводу интерпретации ранее полученного решения этой задачи в виде однородного сгустка.
В изучении свойств нелинейных систем важное место принадлежит построению аналитических решений уравнений [1]. Сгусток частиц в ловушке Пеннинга является конкретным примером ограниченного в пространстве распределения заряженных частиц, для которого в задаче о движении можно получить самосогласованное решение. Точное решение уравнений газодинамики для однородного шарообразного сгустка частиц в ловушке Пеннинга было получено ранее в [2]. Сравнительно недавно в [3] было высказано сомнение в корректности использованной в [2] интерпретации этого решения. В данной работе показано, что при определенных условиях задача самосогласованного описания начальной стадии пульсаций неоднородного сгустка заряженных частиц в ловушке Пеннинга сводится к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений, а также проанализирована аргументация [3].
Используемая в ловушке Пеннинга конфигурация внешнего поля представляет собой суперпозицию однородного магнитного поля В = Бе. и неоднородного электрического поля, потенциал которого в цилиндрических координатах имеет вид:
Ф = А(р2 - 2,2).
Такое электрическое поле может быть создано с помощью гиперболических электродов: двумя поверхностями 2,2 = р2 + 2С2 с потенциалом - и и поверхностью р2 = 2,2 + 2С2 с потенциалом и; при этом А = и/2С2.
Рассмотрим возможность построения решения уравнений движения холодного газа заряженных частиц в ловушке Пеннинга в виде сферически симметричного сгустка. Исходим из лагранжевых уравнений движения газа, где через иг, ие, иф обо-
значены составляющие вектора скорости в сферической системе координат:
диг 1/ 2 2Ч1 „ . /1 0 2ач,
-г---(ие + иф)] = -[Е-2Аг( 1-3е08 6)] +
V т
д t r
+ 2 Q иф sin б,
д иб Ь 2 + m "df + r ( UrU6 - иФ Ctg б) =
= 20иф cos б -3-Ar sin2 б, ^ m
диф 1, + m
-dff + r.(и^ф + ибифctg б) =
= -2Q( иг sin б + иб cos б).
Здесь Q = eB/2mc, E - величина коллективного поля.
Как нетрудно проверить, если A = - mQ2/6e, то возможные решения двух последних уравнений имеют вид иб = 0, иф = - Qr sin б, а первое уравнение при этом существенно упрощается:
^ = e E -2 Q2r.
д t m 3
(1)
Таким образом, при указанных условиях элемент газа вращается с ларморовской частотой, а также испытывает радиальные колебания. Если элементы газа, находящиеся на одном и том же расстоянии от центра сгустка, имеют одинаковые значения начальной скорости, то эти элементы движутся одинаково. Поэтому для сферически симметричного задания радиальных начальных условий можно перейти к рассмотрению пульсаций сферического слоя газа во вращающемся как целое сгустке; тогда переменная Лагранжа г соответствует радиусу слоя. Эта переменная является функцией £ и начального положения слоя г0: г = = г(г, го).
О ПУЛЬСАЦИЯХ СГУСТКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЛОВУШКЕ ПЕННИНГА
299
Условие сохранения массы слоя при движении газа имеет вид: 4пп(г, г0)г2йг = 4гсп0и>(г0) г2 йг0. Отсюда для плотности частиц найдем:
) ГМ г0) п (г, Го) = «0-2-,
Г Я (г, Го)
д г( г, г0 ) Я (г, Го) = —-¿-0-. (2)
При условии перемещения слоев частиц в радиальном направлении друг за другом, без обгонов, величина коллективного поля, действующего на рассматриваемый слой газа, определяется как начальным значением его положения г0, так и заданным начальным распределением плотности частиц п(г, 0) = п0ъ(г):
Е
= 4 пп0-2 W( г0 ), W( г0 ) = | ъ (х) х2 йх.
Изменение радиальной скорости слоя холодного газа во вращающемся сгустке, как следует из уравнения (1), обусловлено воздействием внешнего и коллективного полей (для краткости в дальнейшем производная по времени обозначается точкой):
2
Ю птг \ 2„2
г = — W (Г0) --- О г ,
Г 3
(3)
по Г
0
Я = ю2 ъ ( г 0) -2-2
2
-Г О + W( Г0 ) —
3 Г J
Я.
(4)
Рис. 1. Формирование пика плотности частиц.
(2), (3), (4) распределения плотности частиц в сгустке для т = 0.5 (кривая 2), т = 1 (кривая 3) и т = 1.12 (кривая 4). Здесь т = Ог, а кривая 1 соответствует начальному распределению плотности частиц:
где ю2 = 4кп0в2/ш. Начальные условия для уравнения (3) имеют вид г(0, г0) = г0, Г (0, г0) = у (г0), где у (г) - заданное начальное распределение скорости газа.
Чтобы получить уравнение для функции Я(г, г0), следует продифференцировать уравнение (3)
ъ ( г) =
[1- ( г/ а{)), Г < а{), [0, г > а0,
Очевидно, что начальные условия для уравнения (4) имеют вид: Я(0, г0) = 1, Я (0, г0) = йу(г0)/йг0.
К сожалению, решение уравнений (3), (4) позволяет определить изменение газодинамических характеристик неоднородного сгустка лишь до некоторого момента времени гк. Ограниченность области применимости полученных результатов обусловлена возможностью нарушения при пульсациях сгустка исходного предположения о движении слоев частиц без обгонов. Возникновение обгона выражается в выполнении в момент времени г = гк условия Я(гк, г0) = 0 для какого-нибудь слоя, вследствие чего плотность частиц в момент обгона стремится к бесконечности (так называемые градиентные катастрофы [1, 4]).
Формирование пика плотности частиц проиллюстрировано на рис. 1, где приведены результаты численных расчетов с помощью выражений
где а0 - начальный радиус сгустка. Расчеты проводились при у (г) = 0, кроме этого, было выбрано ю2 = 5О2, так как это условие, как следует из уравнения (3), соответствует балансу сил пространственного заряда и внешнего поля для поверхностного слоя газа.
Для однородного сгустка ъ(г) = Н(1 - г/а0), где Н(х) - ступенчатая функция Хевисайда. В этом случае уравнения (3), (4) принимают следующий вид:
12 Г0 2 „2 Г= 3О Г,
2
Я = ю2Г0 2 Я = Ю ~2 - 3
Г 3
Г
2
г<2 2 Г0
О + ю -3
V Г/
Я.
(5)
(6)
Из уравнений (5), (6) следует, что функции i = я - г/г0 удовлетворяет уравнению
/
1 +
3
г<2 2 Г0
О + ю ---3 Г3
I = 0.
(7)
Если начальная скорость газа пропорциональна расстоянию от центра симметрии: у (г) = кг, к - постоянная, то начальные условия для этой функции имеют вид 10 = 0, 10 = 0.
0
Г
0
2
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ том 30 < 3 2004
300
НАУМОВ
Уравнение (7) можно рассматривать как уравнение движения осциллятора с переменной частотой, динамические переменные которого, как известно [5], линейно зависят от начальных значений этих переменных. Так как в данном случае начальные значения динамических переменных нулевые, то / остается равной нулю при изменении г: / = 0, т.е. Эг/Эг0 = г/г0. Отсюда следует, что г(г, го) = ТоЯ(г).
Таким образом, расчет пульсаций однородного сгустка сводится к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения для функции Я:
3 R + 2 Q2R = 0 R
(8)
с начальными условиями Яо = 1, Яо = к. Для газодинамических характеристик однородного сгустка получим:
n = —г, ur = r0R, ue = 0, R
иф = -Q r0 R sin е.
(9)
Рассмотрим теперь аргументацию статьи [3] по поводу интерпретации решения задачи о пульсациях однородного сгустка заряженных частиц в ловушке Пеннинга, полученного в [2] в рамках эйлерова описания движения газа. Для однородного сгустка движение элемента газа в декартовых координатах можно представить следующим образом (для ясности используются обозначения работы [3]):
х = ах + вуо, У = Цхо + УУо, г = кго.
Для того чтобы сферическая поверхность, на которой находился элемент в начальный момент времени, трансформировалась при движении газа в сферу, функции а(г), Р(г), ц(г), \(г) и к(г) должны также удовлетворять условиям
ац + ßv = 0,
а2 + ß2 = ц2 + v2 = -1(av - ß^)2. к
(10)
Так как эти функции однозначно определяются уравнениями движения, то вроде бы для удовлетворения трех дополнительных условий (Ю) нет никаких возможностей. Автор работы [3] увидел в этом противоречие и сделал вывод, что полученное в [2] решение уравнений газодинамики можно сохранить, если отказаться от использованной в [2] трактовке этого решения и перейти к его интерпретации как описания колебаний плотности электронного потока, для которого он использует термин "бесконечный однородный пучок". Для такого распределения заряженных
частиц решение уравнении газодинамики рассматривалось им ранее [6].
Однако решение [2] не приводит ни к какому противоречию. Действительно, указанные выше функции определяются уравнениями движения и, как следует из полученных выше результатов (9), имеют вид:
a = v = R cos Qt, ß = -ц = R sin Qt, к = R.
В этом случае условия (10) превращаются в тождества. Полагая r0 = a0, получим, что функция R характеризует зависимость радиуса сгустка от времени: a(t) = a0R(t).
Таким образом, в [2] и [6] были рассмотрены совершенно разные физические задачи, поэтому в [2] получено новое решение уравнении газодинамики для ограниченной в пространстве конфигурации газа заряженных частиц.
В [3] также подвергается сомнению обоснованность использования в [2] термина "автомодельное движение". В связи с этим приведем определение этого термина в известной книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. РаИзера [7]: "... движение, в котором профили газодинамических величин остаются подобными самим себе, меняясь только за счет изменения масштабов величин, называется самоподобным или автомодельным". Газодинамические характеристики для однородного сгустка заряженных частиц в ловушке Пеннинга при эИлеровом описании движения можно представить в следующем виде:
n = ЦH( 1- %), Vr = %RH( 1- %), R
Ve = 0, Уф = -QR% sinен(1- %),
где % = r/R, т.е. пульсации сгустка соответствуют приведенному выше определению. В [2] было получено аналогичное представление газодинамических характеристик сгустка в декартовых координатах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит, 1997.
2. Наумов Н.Д. // Физика
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.