ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 531.36:62-50
© 2015 г. А. Н. Сиротин
О РАНГОВОЙ АЛЬТЕРНАТИВЕ ДЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Исследуется задача оптимального управления пространственной переориентацией вращающегося твердого тела с осью симметрии. Установлены новые геометрические свойства экстремалей данной вариационной задачи для невырожденного случая. Подробно описано свойство "схлопывания" поля экстремалей, ранговая альтернатива и установлена связь с семейством тригонометрических экстремалей, построенном в аналогичной задаче ранее. Полученные результаты основаны на анализе системы уравнений, получаемой в результате применения формализма принципа максимума Понтрягина.
Существенная нелинейность уравнений движения в задачах оптимизации управления переориентацией вращающегося тела [1—5] обусловила разработку новых подходов, предполагающих дополнительные геометрические свойства оптимального разворота. Например, для переориентации из положения покоя в положение покоя используется предположение о плоском (относительно неподвижной оси) развороте. При ненулевой начальной скорости вращения исходная задача сводится к оптимизации последовательных маневров: сначала полного торможения, а затем переориентации из положения покоя в положение покоя.
Было описано [6] новое свойство экстремалей в задаче оптимального управления переориентацией вращающегося сферически симметричного тела, связанное с возможностью скачкообразного изменения размерности некоторого линейного подпространства, порожденного экстремалями. Ниже показано, что аналогичные свойства могут быть установлены и для более общей задачи оптимальной переориентации осе-симметричного твердого тела.
1. Формулировка задачи. Рассматривается угловое движение абсолютно жесткого осесимметричного тела с осью динамической симметрии, проходящей через неподвижную точку. Главный момент внешних сил, приложенных к телу, служит управлением. Все используемые векторы определяются своими координатами в связанной системе отсчета, оси которой совпадают с главными осями инерции тела.
Пусть ЛI > 0 (/ = 1,2,3) — главные центральные моменты инерции. Далее для определенности будем полагать
Л = Л 2 * Л 3
Определим величины
К = л2--л, ¿2 К =
Л Л 2 Л 3
Тогда для рассматриваемого случая симметрии получаем
к = -к2, к3 = о
Для векторов угловой скорости ю = ((Оь о2, ®з)т и управления и = (иь и2, и3)т построим подвекторы ю = ((Оь о2 )т, и = (иь и2 )т, соответствующие симметрии тела. Здесь иг — проекция главного момента управляющих сил на г -ю главную ось инерции тела, деленная на момент инерции тела относительно этой оси. Для осесимметричного тела только одна главная ось инерции определяется однозначно — это ось динамической симметрии. В плоскости, проходящей через неподвижную точку и перпендикулярной оси динамической симметрии, любая ось будет главной осью инерции. Поэтому прямоугольная система главных осей инерции осисемметричного тела определяется неоднозначно, с точностью до поворота внутри тела относительно оси динамической симметрии. Тогда уравнения углового движения (кинематическое для ортов инерци-альной системы координат и динамические уравнения Эйлера для вектора угловой скорости) в изучаемом случае можно записать в виде
r' = r' х ю, i = 1,2,3 ю = h1(3S ю + и, (й 3 = u3; S =
0 1 -1 0
(1.1)
для t е (0, T). Считаются заданными непротиворечивые краевые данные
ri (0), r1 (T), i = 1,2,3; ю (0), ю (T) (1.2)
которые определяют требуемый маневр. Время окончания T процесса управления фиксировано.
В приложениях часто применяют интегральный квадратический функционал качества управления вида
- J [a2u2 (t) + b2u\ (t) + c2щ (t)]dt ^ min
[0,t]
где a2, b2, с2 — постоянные произвольные весовые коэффициенты. Этот критерий эффективности характеризует суммарные энергозатраты управляющих сил и моментов [3]. Далее подразумевается влияние осесимметричности тела на выбор функционала качества так, что a2 = b2. Кроме того, считается, что весовые множители выбраны в соответствии с тензором инерции вращающегося тела, т.е.
a2 = b2 = Л1, c2 = Л3
Таким образом, рассматривается задача оптимального управления (всюду далее суммирование ведется от i = 1 до i = 3)
mini J £ Ли2 (t)]dt (1.3)
[0,T ]
Минимум ищется по всем допустимым управлениям и соответствующим траекториям, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям (1.1) и краевым данным (1.2). Предполагается, что решение (управление) сформулированной задачи существует в классе кусочно-непрерывных функций времени.
2. Формализм принципа максимума Понтрягина. Задача оптимального управления исследуется с помощью необходимых условий принципа максимума Понтрягина. Считается, что вариационная задача невырождена и поэтому сопряженная переменная, соответствующая целевому функционалу в силу однородности уравнений, считается равной —1. В этом случае гамильтониан принимает вид
H(r', у', ю, y, u) = ^(r' х ю)ту' + h1rn3yTS& + yTu + у3и3 - -Л1(м12 + и^) - -Л3и32
Из условия максимума H(r', у', ю, у, u) по управлению получаем
u = ЛГ1у, м3 = Л-1у 3 (2-1)
Тогда прямая и сопряженная системы уравнений принципа максимума Понтряги-на, описывающие экстремали в рассматриваемой задаче, могут быть записаны в виде
Г' = r' х ю, ij/ = у' х ю, i = 1,2,3 (2.2)
со = h1rn3Sю + Л-1/, (о3 = Л-1у3, у = h1rn3Sy - s, у3 = h1cTSy - s3 (2.3)
Здесь
s = £ у' X r', s = ( S2, S3)T , s = (S1, S2)T
Y = ( Y2' Y3)T > Y = (Y1> Y2)T
Система (2.2), (2.3) представляет собой гамильтонову каноническую систему
r'' = dH /ду', V = —dH /дт', ' = 1,2,3
ю = dH/dy, у = —dH/дю с гамильтонианом
H = H(r', V, w, у) = wT^ V x r' + h!®3yTSw + (Л-1 yTy + Л-1 y3)
Из соотношений (2.2), (2.3) и тождества Якоби для векторного произведения следует, аналогично указанному ранее [6], что вектор-функция s удовлетворяет соотношениям
s = s х ю, = const (2.4)
Структура дифференциальных уравнений (2.2)—(2.4) указывает на возможность перехода к исследованию негамильтоновой системы меньшей размерности, состоящей из уравнений
. ___t _
s = ra3Ss - s3Sю, s3 = s Sю (2.5)
и уравнений (2.3).
Следует заметить, что аналогичная система уравнений возникает в задаче оптимальной переориентации одной оси динамически симметричного тела [7].
Далее будут изучаться геометрические свойства решений системы (2.5), (2.3), а следовательно, и экстремалей исходной задачи для регулярного случая
is * 0
Цель статьи — описать некоторые геометрические свойства экстремалей, суть которых состоит в том, что вектор-функции s, Лю и у не могут располагаться в пространстве произвольным образом друг относительно друга, но имеются их допустимые устойчивые конфигурации.
В силу уравнений (2.1)—(2.3) из предположения о существовании решения в классе кусочно-непрерывных функций времени по индукции следует вывод о том, что решение (управление) можно выбирать из класса бесконечно-дифференцируемых функций.
3. Коллинеарность вектор-функций в и у. Рассмотрим проблему существования решения системы дифференциальных уравнений (2.5), (2.3) с дополнительным ограничением, связывающим взаимное положение вектор-функций в и у. Если такое решение существует на каком-либо отрезке, то на этом отрезке времени оно тем более является допустимым частным решением общей системы (2.5), (2.3).
Допустим, на некотором неодноточечном отрезке [гь г2], ^ < t2, для решений системы (2.5), (2.3) выполняется равенство
в х у = 0
(3.1)
т.е. условие коллинеарности вектор-функций в и у. (Везде далее соотношения для вектор-функций понимаются поточечно на соответствующих отрезках.) Это равенство эквивалентно существованию скалярной функции х, соответствующей гладкости, такой, что
у (г) = х (г) 8 (г) для всех г е [гь г2]
Подстановка выражения (3.2) в первые два равенства (2.3) дает х¥ + х'в = хН^^Ть - ¥
_Т _
Xs3 + хэ3 = -хН1 в Яга - s3 и после использования равенств (2.5) приводит к соотношению
-Н+юТ5 0
(3.2)
хШ = - (1 + х) ь; Ж =
Н± = 1 ± Н1
Для всех г е [г1, г2] верно равенство х = -1
(.3)
(3.4)
Действительно, пусть У0 = {г е [г1,г2]: х(г) = 0}, тогда равенство (3.4) в силу определения блочной матрицы Ж и условия > 0 выполнено для всех г е У 0.
Рассмотрим дополнение У1 = [г1, г2]\У0 и будем считать, что г е У^ Тогда во всех точках У1 верно условие |х| > 0, и следовательно,
Ш = - Ш в
(3.5)
Это равенство означает, что б — собственный вектор матрицы Ж, соответствующий вещественному собственному значению - (1 + х) х_1.
Построим спектр а(Ж) матрицы Ж, для чего запишем ее поэлементно:
0 Н_ю3 -ю2 Ж = -Н_ю3 0 ю1 Н+ю2 -Н+щ 0
Следовательно, соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
0 = ёй (Ж - XI) = -X3 - рХ; р = Н+(®2 + ю2) + Н-ю2
где I — единичная матрица соответствующей размерности.
Поскольку каждый из трех главных моментов инерции не больше суммы двух других [8, 9], то
_ 1+ Л2 -Л3 Л, +Л2 -Л3 "+ _1 + Л1 Л1
Н+ _ 1 + 11^13 > 0 (3.6)
Следовательно, р > 0 и таким образом
, ч |{0, ±к/р), если р > 0 с (Ж) = У1>
[{0}, если р = 0
Поскольку у матрицы Ж имеется единственное (нулевое) вещественное собственное значение, то, в силу равенства (3.5) на У^ равенство (3.4) также верно и требуемое доказано.
В силу равенства (3.4) заключаем, что скалярная функция х обращается в нуль на отрезке [г1, г2 ] не более чем в одной точке. Тогда из соотношения (3.3) имеем (Ж8) (г) = 0 для всех г из [г1, г2] кроме, может быть, одной точки. По непрерывности Жь, как вектор-функции времени, заключаем, что (Ж8)(г) = 0 и при том значении ?, когда х (г) = 0. Таким образом, для всех г е [г1, г2] вектор-функция 8 — собственный вектор матрицы Ж, соответствующий нулевому собственному значению, т.е.
Ж8 = 0
Используя в этом равенстве представление для матрицы Ж, получаем
- 535ю = 0, Н+юТ58 = 0 (3.7)
Используя равенство Н_ = Л3 /Л1
запишем после преобразований первое равенство (3.7) покоординатно
52 (Л3Ю3) - 5з (Л1Ю2) = 0, 5з (Л1Ю1) - 51 (Л3Ю3) = 0 (3.8)
Пусть (ь х Лю)., (. = 1,2,3) — компоненты вектор-функции в х Лш. Тогда полученные равенства означают, что
(ь х Лю}1 = 0, (ь х Лю}2 = 0 Соотнош
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.