ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
УДК 621.833
© 2004 г. Шишкин C.B.
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ КОНТАКТНОГО ДАВЛЕНИЯ В КОЛЬЦЕВОЙ МОДЕЛИ ФЛАНЦЕВОГО СОЕДИНЕНИЯ
Рассмотрено приближенное замкнутое решение контактной задачи о распределении давления в уплотняемом стыке фланцевого соединения. Проанализированы особенности расчета в условиях неполного контакта. Установлена линейная зависимость изменения давления вдоль радиуса при моделировании обжимаемых фланцев в виде конструктивно не связанных колец.
Конструкционно-контактная задача для фланцевых соединений неоднократно рассматривалась в литературе. В работе [1] дано численное решение этой задачи на базе конечно-элементной модели с учетом реальной формы деталей.
Приближенный анализ распределения контактной нагрузки в уплотняемом стыке с приемлемой для практики точностью можно сделать на упрощенных моделях фланцев в виде колец и круглых тонких пластин. Указанная схематизация реальных деталей оказывается возможной, если их деформации разделить на общие (изгиб) и местные (сжатие фланцев и уплотняющей прокладки, деформации микронеровностей и т.п.) и рассматривать их изолированно друг от друга. Такой подход позволяет использовать известные уравнения теории осесимметричной деформации колец и пластин, связывающие перемещения точек модели с действующими на нее внешними усилиями и контактной нагрузкой.
В работе [1] получено замкнутое решение данной контактной задачи для фланцев в виде круглых тонких пластин. В общем случае установлено, что распределение давления на контакте описывается дифференциальным уравнением Бесселя [2].
В настоящей статье рассматривается соединение с жесткими контактирующими кольцевыми фланцами (рис. 1), имеющее n болтов, затянутых с одинаковым усилием Рб. Расчетная схема фланцевого соединения моделируется контактом двух не связанных осесимметрично нагруженных колец. В соответствии с теорией осесимметричной деформации колец [3] дальнейшие выкладки справедливы только в пределах R/p < 2, H(R - р) > 0,2 (где R, р - наружный и внутренний радиусы кольца, H - высота кольца).
Для упрощения решения не будем учитывать деформационное влияние трубы, связанной с каждым фланцем. Пренебрегаем также снижением изгибной жесткости колец от заполненных болтами отверстий. Полагаем, что от головок болтов и гаек на кольцо действуют только осевые сосредоточенные усилия, равномерно распределенные по окружности болтов с радиусом гб. Это эквивалентно шарнирному соединению гайки и головки болта со стержнем.
Предположим, что между контактирующими кольцами имеется условный, нелинейно-упругий слой, контактные перемещения которого эквивалентны смещениям в результате сжатия колец и деформаций микронеровностей [4]. Кинематическое условие контакта (уравнение совместности перемещений) каждой точки колец имеет вид
Дх - [V!x(r) - V2x(r)] = 5fa(r), (1)
Рис. 1
где V ,х(г) - осевое смещение сечения г кольца (г = 1, 2) в результате изгиба; Ькх (г) - контактное смещение нелинейно-упругого граничного слоя; Дх - осевое кинематическое сближение фланцев при обжатии соединения.
Уравнение совместности перемещений (1) показывает, что сближение фланцев при затяжке болтов компенсируется общими деформациями изгиба колец и местными деформациями граничного слоя.
В соответствии с методикой работ [1, 4] зависимость контактного сближения уплотняемого стыка от нагрузки представим в виде модели жестко-пластического тела с параметрами линейной аппроксимации 50х X. Отсюда, с учетом сжатия колец, можно записать
5кх( г) = 50 х + [Хк + (Н1/Б1 + Щ/В2)] д (г) = 50 х + X д (г),
(2)
где Хк - коэффициент, связанный с контактной податливостью стыка в результате деформации шероховатости герметизируемых поверхностей; д(г) - контактное давление между фланцами при их затяжке; Е ; Н , - модуль упругости и высота кольца (г = 1, 2).
Согласно теории осесимметричной деформации кольца [3] уравнение связи его смещений с действующей нагрузкой имеет вид
V гх(г) = ф,■(г - го,-) = М;9,(г - , ■ = 1, 2,
(3)
где ф,- - угол поворота поперечного сечения кольца при его изгибе; М, - изгибающий момент в поперечном сечении кольца; г, г0 , - текущий радиус и радиальная координата центра тяжести поперечного сечения кольца соответственно; 9 , = (Е;/3;)- ;
= |( х2/г) <№
(4)
- геометрическая характеристика сечения кольца.
Интеграл 13 берется по площади поперечного сечения фланца (Р) и для наиболее распространенной прямоугольной формы составляет 13 = (Н /12)1п(^/р).
Соотношения (2) и (3) подставим в (1). Получим Дх - [М191(г - г01) - М292(г - г02)] = = 50х + Хд(г). Отсюда
д (г) = до- [ М1 П1( г - ^) - М2 П2 (г - го2)],
(5)
где д0 = (Дх - §0х)/Х; п = 9 ,/Х.
Очевидно, что М1 = -М2 = М. Поэтому выражение (5) для контактной нагрузки запишем в виде
д (г) = до- М [П1( г - г 01) + П2( г - го2)] •
(6)
Таким образом, в кольцевой модели фланцевого соединения давление на контакте распределяется линейно вдоль радиуса.
Определим неизвестные компоненты контактной нагрузки в равенстве (6). В предположении сплошного контакта запишем два уравнения равновесия фланца относительно усилий и изгибающих моментов
пР*
= | гд( г) йг, (-1)
-1 )' М; = -
пг* Р8
г2д(г)йг, г = 1, 2,
2^ ^ ^ 4 у ' 2п
р р
где Я, р - наружный и внутренний радиусы фланцев в соединении.
(7)
Я
Я
Подставляя в (7) выражение (6), получаем
3д0 (Я2- р2) - М (т + П2)
2 (Я3- р3) -3 (Я2- р2 )ГП1"01+ П2'02
П1+ П2
4до (Я3- р3) - М\ 12 + (П1+ П2)
3( я4- р4) -4( яз- р3 )Г11 1 п 1 + п 2 Го2
V 11 + 12
3пР§/п,
(8)
= 6г8пР§/п.
Для упрощения записи введем следующие обозначения величин:
П = П1+ П2,
(П1Г01+ П2Г02)(П1+ П2) , /1 = 4(Я - р ),
/3 = 3(Я - р2), /2 = 3 (Я4 - р4) - 4г*(Я - р3) + 12/п, ¡4 = 2(Я3-р3) -3г*(Я2-р2).
(9)
С учетом (9) из решения системы уравнений (8) определяем компоненты контактной нагрузки д0 и М
#0
3пР§ /2 - 2г8/4
п / 2 / 3 - /1 ¡4
Мп
3 пР§ /1 - 2 г §/3
п / 2 / 3 - /1/4'
(10)
Если интеграл (4) берется для прямоугольного поперечного сечения фланца, что часто имеет место на практике, то приведенные формулы упрощаются, так как г01 =
= Г02 = Г0, г* = Г0-
В качестве практического примера вычислим распределение контактного давления в уплотняемом стыке однотипных фланцев, изготовленных из нержавеющей стали 12Х18И10Т, с Е1 2 = 2,2 ■ 105 МПа со следующими размерами: р = 17 мм, Я = 40 мм, гб = 31 мм, г0 = 28,5 мм, Н1 2 = 8 мм.
Сопрягаемые поверхности деталей обработаны точением. При этом зависимость контактного сближения в результате деформации микронеровностей от нагрузки в степенной форме имеет вид 8к = 2,517# мкм. При ее представлении в линейно-полигональной форме методом наименьших квадратов для диапазона значений контактного давления 0, ..., 10 МПа^ коэффициенты линейной аппроксимации равны 80х = 2,45 ■ 10- мм, Хк = 0,37 ■ 10- мм/МПа. Далее определяем: 13 = 36,4 мм , 20 = = 2,5 ■ 10-7 (мм3 ■ МПа)-1, 2Н/Е = 7,27 ■ 10-5 мм/МПа, X = 0,44 ■ 10-3 мм/МПа, п = = 5,63 ■ 10-4 мм-4.
Расчет коэффициентов и М по формулам (10) дает зависимость для давления на контакте #(г) = 7,045 + 0,1565(г - г0) МПа. При этом кинематическое сближение фланцев при затяжке болтов составляет Ах = 5,06 мкм.
Влияние радиуса расположения осей болтов на распределение контактной нагрузки в уплотняемом стыке показано на рис. 2. Отметим, что для значений радиусов, входящих в равенства (10), членом 12/п (9) по сравнению с остальными слагаемыми можно пренебречь. То есть для кольцевой модели фланцевого соединения контактная податливость стыка, жесткость фланцев и усилие затяжки болтов оказывают слабое влияние на неравномерность распределения контактного давления.
Решение контактной задачи не вызывает трудностей при сплошном контакте #(г) > 0. В этом случае для обеспечения равномерного давления радиус окружности осей болтов равен М = 0, гб = 2(Я - р )/3(Я - р ). Для рассмотренного соединения гб = 30,04 мм.
В силу линейного распределения контактного давления по радиусу раскрытие стыка может быть в зоне канала трубы р < г < га или на периферии соединения ть < г < Я. При гь < Я имеем д(гь) = 0, д0 = Мп(гь - г0), д(г) = Мп(гь - г). Подставим полученное
Рис. 2. Распределение контактного давления в уплотняемом стыке соединения с контактирующими фланцами в зависимости от радиуса расположения осей болтов: 1 - 26, 2 -28,5, 3 - 31, 4 - 33 мм
выражение для контактного давления в уравнения равновесия фланца и его изгибающего момента. Получаем
яР8 Г , ч , Г1 ,2 2Ч 1, 3 3Ч
— = | тд(т)йт = Мп 2гь(гь - р ) -3(ТЪ - р )
1.2 2. 1.
(11)
Г 2 итяРя
М = I т д (г) йт --т^ = Мп J 2 п
"1,3 ^ 14 4 "
3тъ(тъ - р )-4(тъ - р )
пт§Р§ 2п '
р
Приравнивая полученные соотношения друг другу, имеем одно нелинейное уравнение относительно неизвестного радиуса начала раскрытия стыка тъ, решаемое одним из методов последовательных приближений (^ - р4) - 4(тъ + тб)( тЪ - р3)/3 +
2 2
+ 2тътб( тъ - р ) + 4/п = 0. После вычисления величины тъ нетрудно найти значение
2 2 3 3
Мп из первого уравнения равновесия (11) Мп = 3нРб 1{п[3тб(тъ - р ) - 2(тъ - р )]}. Аналогично при та > р имеем д(та) = 0, = Мп(та - т0), д(т) = -Мп(т - т0).
4 4 4 3 3
Значения та и Мп определяются из уравнений (Я - та) - 3 (та + тб)(Я - та) +
+ 2тат6(Я2 - т2) + 4/п = 0, Мп = -3яРб !{гс[2(Я3 - т\) - 3та(Я2 - т2)]}.
Расчет параметров функции контактных напряжений в уплотняемом стыке соединения с неконтактирующими фланцами при наличии мягкой плоской прокладки проводится аналогично, если жесткость на изгиб этой прокладки мала относительно жесткости фланцев.
Вычислим распределение контактного давления в том же соединении с неконтактирующими фланцами и герметизирующей прокладкой из фторопласта Еп = 2 ■ 10 МПа шириной ъ = 10 мм и толщиной Нп = 0,9 мм с внутренним и наружным радиусами тап = = 17 мм и тъп = 27 мм при Рб = 3,23 Кн. Сопрягаемые поверхности деталей и прокладки обработаны точением. Зависимость контактного сближения от нагрузки в степенной форме для одного стыка имеет вид 5к = 4,85д1/3 мкм. При ее представлении в линейно-полигональной форме для диапазона значений давления 0, ..., 20 МПа имеем 50х = 6,28 ■ 10-3 м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.