РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 12, с. 1421-1426
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.874.6+621.371.334
О РАССЕЯНИИ Е- И Я-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН ВОГНУТО-ВЫПУКЛЫМ ЦИЛИНДРОМ БОЛЬШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ
© 2004 г. А. П. Анютин, В. И. Стасевич
Поступила в редакцию 07.06.2004 г.
Универсальная модификация метода дискретных источников (ММДИ) использована для численного решения задач рассеяния Е- и Я-поляризованных плоских и цилиндрических волн, гладким вогнуто-выпуклым цилиндром (двухмерная задача) относительно больших электрических размеров (О/Х < 1000) в ситуации, когда возможно образование волн шепчущей галереи. При этом исследовано влияние типа падающей волны, вида ее поляризации и места расположения источника на структуру рассеянного поля.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, переменная кривизна тела больших электрических размеров может приводить к образованию волн (мод) шепчущей галереи, если источник падающего поля расположен вблизи такой части рассеивающей поверхности (пожалуй, впервые на это было обращено внимание в работах [1-3]). При этом на процесс образования и рассеяния таких мод существенно влияет характер рассеивающей поверхности. Такой вывод следует из асимптотического решения ряда модельных задач на основе асимптотических методов геометрической теории дифракции (ГТД) [4], локальной или равномерной модификацией ГТД [4, 5] метода Кирхгофа или метода параболического уравнения [4-9]. Однако все указанные выше асимптотические методы имеют свои ограничения. Так, последовательное применение ГТД и ее модификаций затруднено на практике тем, что требует построения и учета бесконечного числа членов асимптотического ряда, образованного последовательной дифракцией лучей геометрической оптики (ГО), краевых или (и) ползущих лучей ГТД на краях тела или их огибанием. Применение же методов Кирхгофа или метода параболического уравнения [4-9] также порождает свои трудности, связанные с учетом сложных интерференционных процессов, которые имеют место при образовании сложных каустик (в том числе с точками возникновения, прекращения или уходящих на бесконечность) мод шепчущей галереи. Кроме того, все эти методы испытывают затруднения с расчетом поля в области тени за препятствием.
Еще одна особенность опубликованных работ связана с тем, что все отмеченные выше асимптотические методы использовались лишь для описания поля вблизи рассеивающей поверхности. Таким образом, несмотря на их универсальность, фактически они могут быть использованы во многих случаях лишь для физической интерпретации результатов. Поэтому вопрос о разработке альтернативных, универсальных и точных методов расчета полей, рассеянных такими структурами, является актуальным. Хорошо известно, что методы, основанные на применении интегральных уравнений различного типа для расчета дифракции полей обладают такой универсальностью. Однако их применение в квазиоптической области, где максимальный размер О тела много больше длины X падающей волны (О/Х > 1) сдерживалось проблемой устойчивости и точности получения численного решения.
В данной работе используется универсальная модификация метода дискретных источников (ММДИ) [10-13] для численного решения задач рассеяния Е- и Я-поляризованных плоских и цилиндрических волн, гладким вогнуто-выпуклым цилиндром (двухмерная задача) относительно больших электрических размеров (О/Х < 1000) в ситуации, когда точка наблюдения удалена от рассеивателя, но возможно образование волн шепчущей галереи на его вогнутой части. При этом исследовано влияние типа падающей волны, вида ее поляризации и места расположения источника на структуру рассеянного поля.
90
142.1302
150
180
210
330
270
Рис. 1. Геометрия контура поперечного сечения рассеивающей цилиндрической структуры.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Рассмотрим сначала задачу рассеяния ¿-поляризованной цилиндрической волны и0( г)
Ио(r) = #02)(k\r - Ro\
= H02)(kjr+ Rl- rRoCOS(ф - фо))
или плоской волны
u0( r) = exp { -ikr cos (ф - 6)}
(1)
(2)
M
<i( r, ф) = ^ AmH<o\ k\r - rm\),
(4)
где к - волновое число свободного пространства; гт - координаты вспомогательных источников,
находящихся на вспомогательном контуре X, расположенном внутри контура (2); | г - Гт | = [г2 +
+ г2т - 2ггтсоз(ф - фт)|1/2 - расстояние между точкой наблюдения г и точкой гт расположения вспомогательного источника; Н02) (к| г - Гт |) - функция Ганкеля, являющаяся фундаментальным решением волнового уравнения; совокупность функций Ганкеля образует на контуре (3) полную неортогональную систему функций; Ат - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Вспомогательный контур X построим на основе аналитической трансформации исходного контура (3) следующим образом [10-13]. Введем комплексную переменную
Е = р(ф + гф')ехр(г(ф + гф')), ф е [0, 2п]. (5)
Если в (5) ф' = 0, то переменная Е (и соответствующий ей на плоскости комплексного переменного контур) будет в точности повторять контур (3). Однако, если параметр ф' ^ 0, то контур начнет деформироваться, в частности, при положительных ф' > 0 будет сжиматься. Положив затем
r2 = , ф2 = arg
(6)
на цилиндрической структуре, контур поперечного сечения р(ф) которой определяется выражением
2 2 I 2 4 4
р (ф) = a {cos(2ф) + л/cos (2ф) + [b /a - 1 ]}, (3)
т.е. представляет собой овал Кассини, геометрия которой представлена на рис. 1. В (1)-(3) {r, ф} -координаты точки наблюдения в цилиндрической системе координат; {R0, ф0} - координаты источника цилиндрической волны Q; 6 - угол падения плоской волны; a и b - параметры, определяющие форму контура (3).
Обозначим uj(r) поле, рассеянное такой системой вне контура (3). Тогда в соответствии с методом ММДИ [10-13] это поле можно представить в следующем виде:
получим уравнения, определяющие вспомогательный контур X. При этом следует помнить, что такая трансформация возможна лишь до момента, когда теряется однозначность в выражении (6) [14-17] и контур пересекает особые точки аналитического продолжения дифракционного поля внутрь основного контура (3).
Для такой рассеивающей структуры на ее границе т.е. на контуре (3), должно выполняться следующее граничное условие Дирихле для ¿-поляризованной падающей волны:
[ Ui (r) + Uo (r)] L = о,
(7)
или граничное условие Неймана для H-поляризо-ванных волн
[ ui( r) + uo (r)] L = о.
д n
(8)
Подставляя (1) (или (2)), (4) в (7) или (8), другими словами, удовлетворяя граничным условиям в М точках границы контура, получим линейную систему из М алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов Ат.
Согласно теореме А.Г. Кюркчана [14-16], для однозначной разрешимости получаемой при этом алгебраической системы уравнений, необходим и достаточен охват контуром X отмеченных выше особенностей.
0
m
После того, как найдены коэффициенты Ат, не представляет труда определить диаграмму рассеяния #(ф). Для этого следует воспользоваться формулой (4), в которой надо заменить функции Ганкеля их асимптотикой.
Точность численного решения задачи рассеяния волн структурой (3) оценивалась величиной невязки краевых условий (7), (8) в линейной норме [10-13].
Отметим еще два обстоятельства, связанных с решением получаемой системы линейных уравнений. Первое из них связано с тем, что система линейных уравнений при О/Х > 1 имеет достаточно большой (М > 1000) порядок. Как показали наши исследования, структура матрицы, возникающей при использовании метода ММДИ, близка к диагональной. Поэтому для численного решения таких систем уравнений можно воспользоваться одним из известных итерационных методов. Это приводит к увеличению электрических размеров тел до значений О/Х - 10000, для которых удается эффективно использовать метод ММДИ. Кроме того, примерно к таким же значениям приводит и другая процедура, основанная на вэйвлетной технике. Дело в том, что использование в качестве системы базисных функций вэйвлетов Хаара, приводит при алгебраизации интегрального уравнения метода вспомогательных токов (с заменой интеграла на соответствующую сумму Римана) [18] к алгебраической системе уравнений, в точности совпадающей с системой уравнений метода ММДИ. Хорошо известно, что вэйвлеты Хаара строятся из масштабирующих функций (кусочно-постоянных) путем простых арифметических операций и образуют безусловный ортогональный базис. Мы применили такую технику к элементам матрицы метода ММДИ. Это привело к трансформации исходной матрицы метода ММДИ в матрицу, обладающую всеми характерными свойствами матрицы, возникающей при использовании вэйвлетной техники. Фактически эти действия означают совершение процедуры ортогонализации метода ММДИ. Наши исследования показали, что такая процедура приводит к увеличению точности (примерно на порядок) и устойчивости численного решения задачи. Поэтому это также (вместе с итерационными методами) дополнительно расширяет границы применимости метода ММДИ в высокочастотной области.
|£(ф)1 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
120
100
(а)
50 100 150
200 ф
250 300 350 400
Рис. 2. Нормированная диаграмма рассеяния Е-поля-ризованной волны с углом падения у = п/6 (а), п/4 (б) и п/2 (в).
0
0
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Рассмотрим сначала рассеяние плоских волн цилиндрической структурой (3), для которой пара-
метры овала Кассини считались равными ка = 100; кЬ = 101. Форма такого контура представлена рис. 1. При этом, согласно рис. 1, общий электрический размер структуры равен кО - 289 > 1. Параметр
|£(ф)| 1.0 г
0.8
0.6
0.4
0.2
0 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(а)
(б)
(В)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
ф
Рис. 3. Нормированная диаграмма рассеяния Н-поля-ризованной волны с углом падения у = п/6 (а), п/4 (б) и п/2 (в).
смещения контура полагался равным ф' = 0.031, а число источников М = 1024. При этом во всех расчетах величина невязки А граничных условий (7), (8) не превышала величины А < 10-7 при М = 512.
50 100 150 200 250 300 350 400 ф, град
Рис. 4. Нормированная диаграмма рассеяния ¿-поляризованной (а) и Н-поляризованной (б) цилиндрической волны. Случай "симметричного" расположения источника вбл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.