РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 11, с. 1338-1343
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 537.874.6+621.371.334
О РАССЕЯНИИ Е- И Я-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН ВОГНУТО-ВЫПУКЛЫМИ ЭКРАНАМИ
© 2004 г. А. П. Анютин, В. И. Стасевич
Поступила в редакцию 10.02.2004 г.
На основе предложенной модификации продвинутых граничных условий и использования вэйвле-тов Хаара в качестве базисных функций получено численное решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, к которым сводятся задачи рассеяния Е- и Я-поляризованных цилиндрических волн идеально проводящими экранами вогнуто-выпуклой формы. Исследовано влияние поляризации, переменной кривизны экрана и изменение ее знака на процесс образования волн (мод) шепчущей галереи. Рассмотрен случай рассеяния такими экранами плоских гауссовских пучков.
ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что особенности рассеяния волн вогнутыми или вогнуто-выпуклыми экранами (поверхностями), электрические размеры которых много больше длины волны падающего поля, связаны с возможностью образования волн (мод) шепчущей галереи. Задача расчета рассеянного поля в условиях образования волн типа шепчущей галереи была впервые поставлена Рэлеем еще в конце XIX века (см. ссылки в [1]). Затем П.Е. Краснушкин [2] в 1945 г. и Д.С. Лукин [3] в 1971 г. использовали механизм образования таких волн для объяснения рикошетирующего распространения электромагнитных волн в ионосфере Земли. С тех пор эта проблема постоянно привлекает внимание исследователей [4-8]. В настоящее время интерес к такой задаче связан с тем, что криволинейные отражающие поверхности стали широко использоваться на практике для преобразования хорошо сфокусированных лазерных пучков.
Отметим, что практически все полученные к настоящему времени результаты основаны на использовании лишь асимптотических методов -метода геометрической теории дифракции (ГТД) [4], его равномерных или локальных обобщений [5-8], метода параболического уравнения [5-8] или эвристического метода Кирхгофа [4]. С одной стороны, это связано с тем, что в этих случаях геометрический размер рассеивающей поверхности существенно превышает длину падающей волны кО > 1 (к = 2п/Х - волновое число, X - длина волны, О - максимальный размер рассеивающей области). Это и делает оправданным применение асимптотических методов. Тем не менее каждый метод имеет свои ограничения, поэтому с их помощью не удается построить универсальный алгоритм расчета рассеянного поля при произвольном положении точки наблюдения и произвольной форме рассеивателя.
С другой стороны, применение строгих численных методов, основанных на использовании при кО > 1 интегральных уравнений (ИУ), с присущей им универсальностью, наталкивалось на существенные вычислительные трудности. Поэтому вопросы, связанные с получением строгих результатов, остались открытыми и актуальными вплоть до настоящего времени.
В данной работе предложена модификация метода продолженных граничных условий [9], которая позволила существенно продвинуть в высокочастотную область метод ИУ Фредгольма 1-го рода с сингулярным ядром. Разработанный на ее основе алгоритм, использован для численного решения задачи рассеяния плоского гауссовского пучка и цилиндрической Е- или Я-поляризован-ной волны вогнутой (вогнуто-выпуклой) идеально проводящей поверхностью различного типа (двумерная задача). Таким образом, в отличие от опубликованных работ, в данной работе основное внимание уделено не асимптотическому описанию поля вблизи рассеивающей поверхности, а строгому расчету диаграммы рассеяния.
1. ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИИ
Рассмотрим сначала задачу рассеяния Е-поля-ризованной цилиндрической волны и0( г):
ио(г) = Я02)(к|Г - Яо\ ) = 02)(+ Я20- гЯоС08(ф - фо))
=Я
(1)
незамкнутой поверхностью 5 (рис. 1, рис. 2), уравнение поперечного сечения г5(ф) которой определяется функцией
= Р(ф), ф е [фн, фк] ,
(2)
где {г, ф} - цилиндрические координаты точки наблюдения; {Я0, ф0} - координаты источника Q цилиндрической волны.
Рассеянное поле и1( Г) должно удовлетворять вне поверхности 5 уравнению Гельмгольца, а на поверхности 5 - граничным условиям Дирихле:
U(Г) + и 1 (Г) s = 0.
(3)
Как известно, такую задачу можно свести к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с сингулярным ядром:
Uo(rs) + |ц(ст)Я02)(k\rs- ra|)do = 0,
(4)
где функция ц(о) - определяет плотность тока, текущего по поверхности S, точки rs и ro - соответственно точка наблюдения и интегрирования, принадлежащие поверхности S.
Если ток ц(о) найден, то диаграмма рассеяния #(ф) находится путем интегрирования выражения
g (ф) = J exp [ ikp(0) cos (9 - ф)]|!(0) d0. (5)
90 120
150
180
210
Краевые 60 лучи ГТД
330
270 Краевые ф лучи ГТД
Рис. 1. Лучевая картина семейств краевых лучей ГТД и лучей ГО.
В случае ^-поляризованной падающей волны
рассеянное поле и1( Г) также должно удовлетворять вне поверхности 5 уравнению Гельмгольца, а на поверхности 5 - граничным условиям Неймана:
д [ U o( r) + и i( r )]| s = 0
и интегральному уравнению д n
(6)
U0(rs) + J^(o)H02)(k|rs- rj)do = 0. (7)
В работе [9] был предложен новый метод численного решения задач дифракции и рассеяния волн, сводящий ИУ типа (4), (7) к ИУ Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Этот метод получил название метода продвинутых граничных условий. При этом на ряде типичных задач дифракции была показана его высокая эффективность, связанная с использованием вэйвлетов в качестве базисных функций и относительной простотой численной реализации алгоритмов расчета тока на поверхности рассеивателя. Напомним, что в основе этого метода продвинутых условий лежат две идеи, которые могут быть сформулированы следующим образом. Во-первых, любое численное решение задач математической физики осуществляется только с конечной точностью. Поэтому нет необходимости стремится к получению абсолютной точности решения, в частности, к строгому удовлетворению граничных условий (3).
y
Лучи ГО Скользящие лучи ГТД //
\ fx Г
>ч ' X
Краевые 0
лучи ГТД
Рис. 2. Лучевая картина семейств краевых и скользящих лучей ГТД и лучей ГО.
Вторая идея связана с использованием аналитических свойств представления поля U1( r)
U i (r) = J^(o) h02)( k | r - Гх|) do,
(8)
что позволяет заменить процедуру точного удовлетворения граничного условия (3) на процедуру приближенного удовлетворения условия (3) на поверхности 5', отстоящей от 5 на некоторую малую действительную величину 5. Тем самым интегральное
0
s
s
s
уравнение (4) с сингулярным ядром заменяется на интегральное уравнение с гладким ядром.
В отличие от такого подхода, мы, используя аналитичность функций правой и левой частей в (4) или (7), продолжим их не в действительную, а в комплексную область на некоторую малую величину г5 (5 <§ 1, г - мнимая единица). Малость смещения необходима для того, чтобы исключить возможность пересечения сингулярностей рассеянного поля. В результате такого смещения мы получим ИУ Фредгольма с гладким ядром. Численное решение такого ИУ будем искать на основе представления тока ц(0) в виде ряда по полной и ортогональной системе функций - вэйв-летов Хаара [10] (как известно, такая система функций образует безусловный базис на [0, 2п[):
2-1
ц(0) = Софо(0) + ^^ йдуд(0),
(9)
= 0 к = 0
где
Фо (0) =
1, 0 < 0 < 2 п, 0, 0 ё [0, 2п[,
Уд(0) = 2'\н( 2 ;0 -2 кп),
¥я( г) = <
1, 0 < г <п, -1, п< г < 2п, 0, г 0,2п[,
заданного в декартовой системе координат {х, у} при х > 0 выражением
и0(х, у) = ехр {- [к2(у + У0)2/к2а2] - гкх}. (10)
В (10) параметр кУ0 определяет координату центра пучка, а ка - его эффективную ширину.
В работе были рассмотрены два типа поверхности Первая рассеивающая поверхность 5 характеризовалась постоянной кривизной, контур поперечного сечения г5(ф) которой задавался в цилиндрической системе координат {г, ф} уравнением
Г а при -фн<ф<фк
Г5(Ф) = 1 П - ф (11)
I 0 для остальных значений ф,
т.е. представляла собой часть окружности. Вторая поверхность 5 имела переменную кривизну. При этом контур поперечного сечения г5(ф) задавался в декартовой системе координат {х, у} выражением
Г5 (х) = <
А 8Ш
"пх" 2Т
при -хн < х < хк
(12)
0 для остальных значений х,
где уя(г) - функция Хаара [10], й0, й^ - коэффициенты, которые необходимо определить.
Далее, в результате обычной процедуры алге-браизации ИУ [9, 11] получим линейную систему алгебраических уравнений. Численное решение такой системы не представляет труда, например с помощью метода Гаусса. Найденные при этом значения коэффициентов мы и используем в (5) для расчета диаграммы рассеяния #(ф). Фактически это означает, что сначала мы использовали процедуру смещения в комплексную область и определи значения коэффициентов й^ разложения тока в ИУ. Затем, вернулись в действительную область и использовали й^ для расчета диаграммы рассеяния #(ф).
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
Изложенная выше методика была положена в основу разработанного алгоритма численного решения ИУ (4) задачи рассеяния Е- или Н-поляри-зованного поля (1) цилиндрической волны и поля плоского Е-поляризованного гауссовского пучка,
и в зависимости от значения параметра хк мог иметь или не иметь точку перегиба (точку, в которой меняется знак кривизны, а сама кривизна стремится к бесконечности).
Такой выбор поверхностей связан с тем, что с позиции ГТД они дают разный механизм засвечивания области тени. Так, в первом случае в этом процессе участвуют только краевые волны ГТД, образованные двумя краями рассеивающего контура (см. рис. 1). Во втором случае образуется одна краевая волна ГТД и скользящие волны ГТД (см. рис. 2), что связано с наличием у контура (12) точки перегиба.
Точность расчета оценивалась величиной невязки А = |и0 - их|5 граничного условия (3) и во всех случаях не превышала величины тах(А) < 10-3 (выяснилось, что точности порядка одного процента недостаточно для передачи деталей рассеянного поля). Кроме того, результаты работы разработанного алгоритма прошли проверку путем сравнения с результатами расчетов диаграммы рассеяния плоской волны рассеянной цилиндрическим или параболическим двумерным рефлекторо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.