АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 4, с. 423-427
УДК 534.26
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
О РАССЕЯНИИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ С СИЛЬНО ВЫТЯНУТЫМ СЕЧЕНИЕМ
© 2015 г. И. В. Андронов, Ю. А. Лавров
Санкт-Петербургский государственный университет, НИИФ 198504 Петродворец, ул. Ульяновская 1/1 E-mail: iva—@list.ru Поступила в редакцию 04.12.2014 г.
Статья является продолжением опубликованной ранее работы, в которой были получены асимптотики поля в пограничном слое вблизи поверхности эллиптического цилиндра. При помощи формулы Кирхгофа эти асимптотики пересчитываются в асимптотики дальнего поля, которое рассматривается в узком секторе вблизи большой оси сечения цилиндра. Полученные асимптотики имеют равномерный характер по параметру, описывающему степень вытянутости эллипса, и позволяют проследить за видоизменением диаграммы дальнего поля от предельного случая полосы до кругового цилиндра.
Ключевые слова: высокочастотная дифракция, эллиптический цилиндр, волновые функции Кулона. БО1: 10.7868/80320791915040012
ВВЕДЕНИЕ
Асимптотические методы, продолжая играть важную роль в задачах исследования волновых явлений, позволяют рассчитывать поля в таких задачах, численные подходы к которым сталкиваются с трудностями. Одной из таких задач является задача дифракции на цилиндре, сечение которого является сильно вытянутым в том смысле, что продольный его размер много больше поперечного. В [1] рассматривалась задача дифракции на эллиптическом цилиндре в предположении высокой частоты, т.е. кЬ > 1, где к — волновое число падающей плоской волны, Ь — большая полуось эллипса, и сильной вытянутости, характеризуемой соотношением
X - = O(l), b
(1)
где а — малая полуось. Методами асимптотического анализа, предложенного сначала для задач дифракции на сфероидах [2, 3], получены приближенные асимптотические выражения для поля в пограничном слое вблизи поверхности. Сравнение с численными расчетами, проведенными средствами Мат-лаб, показало достаточно хорошие аппроксимирующие свойства этих формул. В данной работе с использованием результатов [1] исследуется поле в дальней зоне, строится асимптотика диаграммы направленности в направлениях, близких к осевому, вычисляется эффективное сечение рассеяния.
БЛИЖНЕЕ ПОЛЕ
Рассмотрим задачу дифракции плоской акустической волны на эллиптическом цилиндре. Будем рассматривать два идеальных случая — абсолютно жесткой и абсолютно мягкой поверхности. Направим ось х вдоль большой оси сечения цилиндра, а начало системы декартовых координат поместим в его центр. Будем считать, что угол падения ф0 мал, так что волна падает почти вдоль
оси х, и при этом а = 4кЬф0 является величиной порядка единицы.
В пограничном слое вблизи поверхности цилиндра будем использовать координаты п и т, которые введем формулами
х = p
l +—т 2kp
П, У
= ал/т^/ь
(2)
Здесь р — половина фокусного расстояния, ввиду (2) приближенно равная Ь - х/(2к). Координата п с точностью до асимптотически малых членов совпадает с угловой эллиптической координатой, а т — с растянутой радиальной координатой, причем т = 0 на оси и т = 1 на поверхности цилиндра. Поскольку формулы (2) однозначно определяют координаты лишь в полуплоскости у > 0, разделим задачу на четную и нечетную по у части и введем а = з1§п(у).
Асимптотики поля на поверхности, полученные в [1] (см. формулы (19) и (20)), можно записать в следующем виде:
для задачи Неймана
U =1
W2x3/4 ;
- ц^ка
+ (ia)F 3-2j I i,%
x JX -_4_ 1 2
j=0,i H\_2¿ (-i,XX) - 2xHV2¿ (-i,X ' i-]>n + r^Je-} «
для задачи Дирихле
(3)
dU dn
242x1a ~ [ i-£2
:=1
Vkb (i -цуА4Пх
j=0,1 H\-2j \-i,X
(4)
1+П eikpn - rM 1 -V j
l+Л] e^ ^dt, 1 -n
Здесь В и Н+ — волновые функции Кулона [4], а величины г, играющие роль коэффициентов отражения поверхностных волн от затененного бока цилиндра, определяются формулами
r (i) = (-i)j exp (2ikp - in) (4kp)
г (2L+1 + it
г (( - a
(5)
U
I 2 ikr-in/4lT./ ч i
—e ¥(ф), r = V-\rnr
2 2 X + y ^ +0),
то
¥G = -exp(-ikx0 cos m - iky0 sin m). 4
Тогда можно сразу воспользоваться формулами (10) и (17) из [1], которые дают в терминах волновых функций Кулона
¥ g (ф, П, т)
-ikpn
4/í-ñ/xWp'
J(^J X ('^
€=0,1
(6)
5,i— IF 3-,€ (-s,i-)ds. 2 J -_r€ \ 2
Здесь р = у[кщ>, так же как и введенная выше а, считается величиной порядка единицы.
В случае условия Неймана диаграмма расходящейся волны выражается интегралом
¥ = Jd^G
dn
UdS,
(7)
Таким образом, в формулах (3) и (4) объединены старшие члены асимптотик для прямой волны, которая образуется при падении плоской волны и бежит вдоль поверхности в положительном направлении оси х, и обратной волны, возникающей в результате того, что прямая волна огибает затененный бок эллиптического цилиндра и далее бежит вдоль поверхности в обратном направлении.
ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ
Асимптотика дальнего поля может быть получена после подстановки выражений (3) или (4) в интеграл Кирхгофа. Основная цель приведенных ниже выкладок состоит в том, чтобы упростить получаемые таким образом выражения. Будем проводить интегрирование, используя координату п. Тогда и функцию Грина свободного пространства
G(x, у; хо, Уо) = 4 ^ку1 (х - х0)2 + (у - у0)2
необходимо записать в координатах пограничного слоя. Для этого воспользуемся принципом взаимности, проявляющимся в том, что выражение для диаграммы направленности функции Грина совпадает с полем плоской волны, бегущей в противоположном направлении. Другими словами, если следуя [5] ввести диаграмму дальнего поля по формуле
где интегрирование проводится по длине дуги S вдоль эллипса, а дифференцирование под знаком интеграла производится по нормали п к поверхности. Под знаком интеграла в (7) стоят быстро осциллирующие функции и и, поэтому основной вклад в интеграл вносит интегрирование по той части контура, где эти осцилляции компенсируют друг друга. Если углы ф0 и ф малы, то это происходит в средней части эллипса, на которой справедливы асимптотики (3) и (6). Кроме того, в этой части можно приближенно считать йБ ~ Ъйп\, а
д 2 1 д
дп
-ц дт
(8)
При объединении интегралов по верхней и нижней половинкам эллипса члены с € ф у сокращаются. Заменяя порядок интегрирования и учитывая, что
ÍI
-1
1 -п
i(t-s)
dn
1 + nJ JT
= n5(i - s),
окончательно получаем
—
W-Í /=0.1
x I ^
' t p2 ^
vt; 2 ,
(9)
Re(X)di,
где
F2€-3 (-t,x) - 2xFie-ъ (-t,x rz (x) = ~ 2 2
€ Hk_H)-2*H¿r_N
(10)
-is
2
Рис. 1. Дифференциальное сечение рассеяния плоской волны на идеально мягком эллиптическом цилиндре с кЬ = 10 и различными соотношениями осей а/Ь: 0, 1/10, 1/5, 1/2 и 1/1, кривые 1—5соответственно. Осевое падение слева, падение под углом ф0 = 5° справа.
имеют смысл коэффициентов отражения от поверхности цилиндра.
Отметим, что при ф = 0 или ф0 = 0 формула (9) содержит неопределенности типа 0/0. Эти неопределенности раскрываются при помощи формул
гл \ т
4а
1
24%
ГI1 + и) ГI1 - и
-п¡12
а
0,
4а
0, а ^ 0.
В случае условия Дирихле, проводя аналогичные выкладки в интеграле
¥ = -
Г ¥ е ^йБ,
1 дп
(11)
мы также приходим к формуле (9), но с иными коэффициентами отражения:
Л) ^ I-',2)
=^777
н2^-3/4
(12)
лы равномерны по параметру х, характеризующему степень вытянутости. Другими словами, несмотря на то, что при выводе асимптотики этот параметр предполагался имеющим порядок единицы, в конечных формулах можно брать как достаточно большие значения х (см. следующий раздел) и рассматривать, в частности, рассеяние на круговом цилиндре, для которого эллиптические координаты вырождаются, так и сколь угодно малые, и в том числе х = 0, когда цилиндр превращается в полосу. В последнем случае коэффициенты отражения упрощаются,
1 г, я? = 0, я? = 0, я? = ^
I + е
-2П '
I - е
'
Формулы (9), (10) и (12) выражают старший член асимптотики дальнего поля по кЬ ^ да. Однако, как показывает сравнение, эти формулы дают хорошее приближение начиная уже с кЬ « 5. Причем форму-
что приводит к симметрии диаграммы рассеяния на полосе, как и следует из симметрии задачи.
Полученные асимптотики согласуются с результатами, имеющимися в литературе. В частности, из рис. 2.4 в [5] следует, что максимумы диаграмм рассеяния на идеально мягком круговом цилиндре составляют приблизительно 1.7 для кЬ = 1, 6 для кЬ = 5 и 11.3 для кЬ = 10. Асимптотика же дает 1.69988, 6.05299 и 11.24916 соответственно. В случае идеально жесткого цилиндра из рис. 2.12 в [5] оценивается значениями 0.65, 4.3 и 9, в то время как асимптотика дает 0.58072, 4.25226 и 9.06807.
Рис. 2. То же, что на рис. 1, но для идеально жесткого цилиндра. (На левом графике кривая 1 отсутствует, так как в случае осевого падения на полосу рассеянное поле равно нулю.)
Рис. 3. Полное эффективное сечение рассеяния как функция параметра % при различных значениях а. Для идеально жесткого цилиндра кривые 0—4 для а = 0, 0.5, 1, 2 и 5 соответственно. Для идеально мягкого цилиндра кривые 5—9, для тех же а.
На рис. 1 и 2 представлены дифференциальные сечения рассеяния
а(<р) = 4 |¥(ф)|2, рассчитанные по асимптотическим формулам (9), (10) и (12). Мы наблюдаем очевидные свойства диаграмм. Так, для полосы диаграммы симметричны по углу наблюдения ф при любом ф0. В случае кругового цилиндра диаграммы для ф0 = 0 и ф0 = 5° различаются лишь сдвигом, поскольку они зависят только от разности углов ф - ф0. Для промежуточных случаев можно проследить, как указанные свойства превращаются друг в друга по мере того как параметр вытянуто-сти х меняется от 0 до кЬ.
На рис. 3 приведены зависимости полного эффективного сечения рассеяния
Ъ = Яе (ЧЧфо)).
ка
Эффективное сечение рассеяния не зависит в старшем порядке от размера цилиндра, а определяется лишь параметром вытянутости х и приведенным углом а. При увеличении параметра х, т.е. когда сечение цилиндра становится менее вытянутым, эффективное сечение рассеяния стремится к значению 2 — своему классическому пределу. Для малых углов падения эффективные сечения жесткого и мягкого цилиндров существенно различа-
ются. При увеличении угла это различие становится менее ощутимым.
СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ х
Покажем, что при х ^ да аси
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.