научная статья по теме О РАСШИРЕНИИ ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Энергетика

Текст научной статьи на тему «О РАСШИРЕНИИ ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ»

составило 0,125 Д8, т. е. разрешение удалось увеличить в 8 раз по сравнению с критерием Рэллея.

На рис. 2 приведен типичный случай отсутствия удовлетворительного решения, полученный при попытке поиска распределения интенсивности в 11 точках для той же цели. Вид полученного в этих случаях решения характеризуется наличием осциллирующей составляющей с очень большой амплитудой и переменным знаком (кривая 2), на фоне которой истинное значение интенсивности цели (пунктирная кривая 1) почти незаметно.

Специфический вид полученного решения может быть легко опознан, и должен трактоваться как невозможность решения задачи с заданным разрешением при использовании выбранного метода обработки сигнала.

В целом, из результатов проведенных исследований следует, что предлагаемые алгебраические методы по-

зволяют повысить эффективную угловую разрешающую способность в 34 раза при использовании простых алгоритмов обработки и в 610 при использовании более сложных специализированных алгоритмов. Предложенные алгоритмы цифровой обработки результатов измерений не требуют проведения большого объема вычислений и могут быть реализованы в режиме реального времени.

Борис Андреевич Лаговский — канд. физ.-мат. наук, доцент Московского государственного института радиотехники электроники и автоматики (МИРЭА); в 434-75-65

E-mail: Lagovsky@rambler.ru

Дмитрий Иванович Мировицкий — д-р техн. наук, профессор МИРЭА.

в 434-29-87 □

УДК 621.396.969.1

О РАСШИРЕНИИ ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

М.Е. Федоров, С.А. Вашкевич

Рассмотрена проблема выбора на чальных условий при неполной априорной информа ции, необходимых для запуска алгоритмов оценивания. Приведены результаты вычислений отношения сигнал/шум при фильтрации функции наблюдения в частотной области.

При обработке результатов измерений возникает проблема выбора начальных условий для запуска алгоритмов оценивания. Это относится ко всем случаям, когда область допустимых начальных условий ограничивает работоспособность данных алгоритмов. Характерным примером могут служить беспоисковые корреляционно-экстремальные системы, в которых функция наблюдения представляет собой реализацию случайной функции [1, 2]. Другой пример — радиотехнические системы, в которых статические характеристики радиотехнических измерителей имеют большую крутизну и относительно малую ширину линейных участков [3]. В этом случае функция наблюдения — детерминированная, но область начальных условий не должна выходить за линейные участки этих характеристик.

При синтезе алгоритмов обработки измерительной информации часто начальные условия, необходимые для запуска алгоритмов, неизвестны. Кроме того, возможны

случаи, когда в процессе работы алгоритмов текущие ошибки оценивания превосходят области возможных ошибок (совпадающие в начале работы с областями допустимых начальных условий). Так, при работе алгоритма оценивания координат воздушных целей возможен маневр цели, когда ошибка оценивания может превысить полуширину линейного участка статической характеристики радиотехнического измерителя и, как следствие, может наступить срыв автоматического сопровождения цели.

В работе [4] рассмотрено решение данной проблемы путем эквивалентного расширения статических характеристик радиотехнических измерителей из-за некоторого ухудшения отношения сигнал/шум, однако вопрос количественного определения этого отношения не затрагивался.

В дальнейшем будем рассматривать вариант детерминированных нелинейных функций наблюдения как частный, а вариант случайных

функций наблюдения как наиболее общий.

Пусть имеется реализация некоторой стационарной случайной функции с корреляционной функцией

К(т) = ст2е—а1т1 (1)

и функцией спектральной мощности

6 (ю) = 2аа2/(а2 + ю2), (2)

где а2 — дисперсия, а — частота, соответствующая половине дисперсии случайного процесса.

Если обработать такую реализацию в частотной области с помощью идеального фильтра низких частот с частотой пропускания оу, то дисперсия для новой реализации

от

2 1 а1 = Тп 1 6/ (юМю =

—от

2а2 + ю/ (3)

= -аг^ -1. (3)

п а

Изменение характеристик случайных функций при низкочастотной фильтрации:

а — корреля ционных функ ций (7 — исхо дная, 2 — после фил ьтрации); б — радиусов корреляции (7 — по формуле (4), 2 — по формуле (5))

Из вы1ражения (3) следует, что дисперсия реализации случайной функции после обработки фильтром низких частот (вообще говоря, любым пассивным фильтром) всегда меньше дисперсии исходной реализации.

Для стационарной случайной функции с характеристиками (1) и (2) радиус корреляции (в пространственном смысле) г = 1/ а, а для обработанной реализации

-1 SVf

г = И/ tg -L

V

(4)

rf = Zf

(5)

zfSo sin юfx Kf (w) = -L- . (g)

J S ZfT V>

На рисунке приведены графики корреляционных функций (1) и (6) и радиусов корреляции (4) и (5) при некоторых значениях а2, а, Zf и Sq. Видно существенное изменение характеристик соответствующих случайных функций.

По физическому смыслу дисперсии случайной функции с корреляционной функцией (1) и обра-

ботанной реализации с корреляционной функцией (6) характеризуют их мощности, поэтому, по аналогии с теорией корреляционно-экстремальных систем [2], можно ввести коэффициент снижения отношения сигнал/шум

N = Vf/а < 1,

(7)

Результат (4) не вполне корректен для малых значений юу-, так как функция (2) существенно меняет свою форму и, следовательно, меняет свою форму и функция (1). Очевидно, при приближении значения юу- к началу координат функцию спектральной мощности можно все более точно представить в виде функции спектральной мощности квазибелого шума с сильно ограниченным по полосе спектром. Тогда

где а и Vf — среднеквадратические отклонения. Если известно отношение сигнал/шум некоторой системы или датчика, то обобщенное отношение сигнал/шум находится путем умножения исходного отношения сигнал/шум на коэффициент (7).

Приведенные оценки (3)—(6) указывают на простой путь расширения области начальных условий для беспоисковых алгоритмов оценивания. Как видно из выражений (4) и (5) и рисунка, при низкочастотной фильтрации в области пространственных частот радиус корреляции увеличивается. Из теории корреляционно-экстремальнык систем [2] известно, что радиус корреляции однозначно определяет область начальных условий (называемую областью начальные отклонений), следовательно, имеется возможность расширения этой области путем низкочастотной фильтрации функции наблюдения (или того ее подмножества, которое состоит из случайных функций). Для практической реализации такой фильтрации в реальном времени целесообразно воспользоваться алгоритмами быстрого преобразования Фурье для вычисления спектра пространственных частот функции наблюдения

+(ю) = J K(jc)e~jzxdx, (8)

где К( х) — функция наблюдения от

оценки вектора состояния х динамической системы.

Если заранее известна некоторая детерминированная функция наблюдения, переход в частотную область можно выполнить один раз на весь период работы алгоритма оценивания. Так, в работе [4] использовалось синус-преобразование от пеленгационной характеристики моноимпульсного пеленгатора вида _ 2

К(х) = х е_ах . В качестве фильтра использовалась экспоненциальная функция с некоторым заданным коэффициентом р:

да

+(ю) = е—р1ю1 —1— [ ¿(х^пхю ёх =

Л- }

_(4 ю2+рМ)

Назначение полосы пропускания юу- зависит от требуемого отношения сигнал/шум, которое должно быть известно заранее с учетом коэффициента (7). Значение отношения сигнал/шум зависит от предметной области, в которой предполагается применить рассматриваемую методику (теория радиолокации, теория корреляционно-экстремальных систем и др.), и определяется, прежде всего, необходимыми точностными характеристиками измерителей и систем.

Отметим также, что значение юу-может изменяться в процессе работы алгоритма оценивания. Так, после запуска алгоритма в условиях неполной априорной информации о начальных условиях полоса пропускания будет малой (и, соответственно, малым будет отношение сигнал/шум). В процессе оценивания возможно расширение полосы пропускания, что улучшит отношение сигнал/шум и увеличит точность оценивания. При выходе текущих ошибок оценивания из области допустимых значений производится сужение полосы пропускания. В работе [4] показано, как можно сделать этот процесс адаптивныш и автоматическим с помощью нелинейных алгоритмов оценивания на основе фильтра Калмана—Бюси.

Таким образом, при неполной априорной информации о начальных условиях возможно расширение допустимой области этих условий за счет фильтрации функции наблюдения в частотной области

14

Sensors & Systems • № 9.2003

либо в процессе обработки измерительной информации, либо на предварительном этапе. При этом достигается ряд преимуществ.

• Увеличение радиуса корреляции функции наблюдения.

• Именно это обстоятельство и обеспечивает сходимость алгоритмов оценивания. Как отмечено в работе [2], если функция наблюдения носит случайный характер, область сходимости алгоритма оценивания ограничена ее радиусом корреляции.

• Гладкий характер функции наблюдения.

•Совершенно очевидно, что высокочастотные составляющие функции наблюдения играют роль помех или шумов при оценивании. Но более важно, что при соответствующем выборе полосы пропускания фильтра низких частот исключается ситуация, приводящая к срыву оце-

нивания при наличии разрывов в производной функции наблюдения.

• Увеличение шага интегрирования и, следовательно, некоторое снижение вычислительных затрат.

• Адаптивная фильтрация по оценкам ошибок.

Под адаптивной фильтрацией в данном случае понимается автоматический выбор полосы пропускания фильтра низких частот в зависимости от требуемого отношения сигнал/шум. Алгоритм оценивания самостоятельно сужает полосу пропускания при росте ошибок оценивания (на начальном этапе процесса оценивания) и расширяет ее при снижении ошибок оценивания (на конечном этапе).

ЛИТЕРАТУРА

1. Справочник по теории автомати-ч еского управления / Под ред. А.А. Красовско г о. М.: Наука, 1987. 712 с.

2. Красовский A.A., Белоглазое И.Н., Чигин Т.П. Теория корреляционно-экстре

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком