ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 10, с. 1703-1712
УДК 519.642.5
О РАВНОМЕРНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К РЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ1
© 2015 г. Г. В. Хромова
(410012 Саратов, ул. Астраханская, 83, Сарат. гос. ун-т) e-mail: KhromovAP@info.sgu.ru Поступила в редакцию 26.03.2015 г.
Для интегрального уравнения Абеля с непрерывным решением и приближенно заданной правой частью предложен метод регуляризации, не требующий ограничений на параметр, входящий в это уравнение. Библ. 6.
Ключевые слова: интегральное уравнение Абеля, равномерные приближения, метод регуляризации, сходимость.
DOI: 10.7868/S0044466915100142
1. Рассматривается интегральное уравнение Абеля
Au
x
= J1
X - t)
в - 1
Г(в)
-u( t) dt = f(x),
(1)
где Г(р) — гамма-функция, 0 < р < 1, и(х) е С[0, 1],/(х) задана ее 5-приближением в Х2[0, 1] : ||/ — —/\\ь < 5. Решается задача нахождения равномерных приближений к и(х) по заданным/ и 5.
Уравнение (1) является уравнением I рода, поэтому для него применяются методы регуляризации из [1], каждый из которых состоит из двух моментов:
1) построение семейства так называемых регуляризирующих операторов Яа (а > 0 — параметр), дающих равномерную сходимость функций Яа/к и(х) при а —»- 0;
2) согласование а = а(5), обеспечивающее сходимость к и(х) функций Яа(5)/ при 5 —»- 0.
В [2] для операторных уравнений I рода был предложен метод построения регуляризирующих операторов в виде Яа = ТаЛ-1, где, применительно к нашей задаче, Та — любое семейство операторов, дающее равномерные приближения к непрерывной функции на отрезке, Л-1 — оператор, обратный к А.
Для уравнения (1) при р е (0, 1) этот метод был реализован с помощью операторов Та, сконстру-
1 -х + а
ированных из оператора Стеклова: в [3] брался за основу оператор — I и(Л, из которого стро-
2 а - а
ился "расширенный" до всего отрезка [0, 1] оператор с областью значений из непрерывных функций и обеспечивающий сходимость приближенных решений к точному в равномерной метрике.
В [4] рассматривалось семейство так называемых "разрывных" операторов Стеклова:
SnU =
Sa u, x е
Sa u, x е
0, 1 . 2.
1
.2'
1) Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки России (проект 1.1520.2014К).
1703
0
2
1704
ХРОМОВА
где
л
¿а и = 1 Г и (&,
1 а J
л - а л + а
^а2и = 1 I" и(г) йг.
2 а J
л
Несмотря на разрывность функций Sau в точке х = 1/2 они равномерно по х е [0, 1] сходятся к любой и(х) е С[0, 1], только теперь мы считаем их элементами пространства Lcю[0, 1] с нормой
= ■"» У 11 с-[о. 2] И1 ^! 1
Достоинство построенных в [4] операторов Ra по сравнению с соответствующими операторами из [3] состоит в их более простой конструкции, что приводит и к более простым доказательствам при обосновании метода.
В настоящей работе на базе "разрывных" операторов Стеклова построен метод регуляризации для всего диапазона изменений параметра р — для р е (0, 1).
Возьмем вместо функций £а. и , ] = 1, 2, функции , рассмотрим операторы
¿л = ]
¿аи,
л е
и, л е
1 2]
21
и построим семейство
Я/ = ^АУ =
Яа/, л е
Яа/,
(2)
ле
12' ^
Яа/ = ^У, 1 = 1, 2.
Теорема 1. Операторы Ra являются интегральными операторами с ядрами Ra(x, О, имеющими вид
Яа(х, г) = а-2( 1 - Р)-1(Г( 1 - Р))-1
Яа2 (л, г), л е Яа1(л, г), л е
о, 1
I 2.
1
2
где
Яа2 (л, г) =
(л - г)1 - в - 2(л - г + а)1 -в + (л - г + 2а)1 -в, о < г < л, (л - г - 2а)1 - в - 2 (л - г + а)1 - в
л < г < л + а,
(л - г - 2а)1 в, л + а< г < л + 2а, о, л + 2а < г< 1,
I
о
о
Яа1(л, г) =
(л-г-2а)1-в-2(л-г-а)1 -в + (л-г)1 -в, о < г<л-2а, (л-г)1 в-2(л-г-а)1 в, л-2а< г<л — а, (л-г)1 -в, л-а<г<л,
о, л< г< 1,
(4)
о < а < -. 4
Доказательство проводится по схеме аналогичного доказательства из [4], содержит принципиальные технические трудности и поэтому является более сложным
Операторы Б2а ,] = 1, 2, имеют вид
¿а и = —-
а
л + 2а
¿а и = А
а
| (г-л)и(г)йг + | (2а-(г-л))и(г)йг
л л + а
■ х - а л
| (2а - (г-л))и(г)йг + | (г-л)и(г)йг
а для ^ 1 справедливо выражение
1 / = й Г (л - -)
У = - Г
йл
Г( 1 -в)
/(г) йг.
(5)
(6)
Пусть х е [0, ^ ]. Тогда по формулам (2), (5), (6) имеем
Яа/ = Яа/ = ¿А-1/ = а-2(Г( 1 -Р))-1[^1 (л) + ^(х)],
где
1(л) = I (г-л)1(г-т)-в/(т)йтйг,
с + 2а
2(л) = I (2 а - (г-л)) --1( г-т)-У(т) йт йг.
х + а о
Берем интегралы по частям. Тогда подстановки взаимно уничтожатся и получится выражение
х + а г х + 2 а г
Е1 (л) + Е2(х) = - I |( г-т)-У(т) йт йг + I |( г-т)-У(т) йт йг.
о
л+а о
Меняем порядок интегрирования в полученных интегралах, учитываем, что при интегрировании степени ^ — т)—в выходит множитель (1 — р)-1, и приходим к формулам (3).
Теперь пусть х е [ 1, 1]. Если мы в выражениях функций и из (5) сделаем замену х1 = х — 2а,
то ¿а и = б!и , где в выражении для ¿Ци х заменен на х1. Тогда выражение (4) получается из формулы (3) при замене в последней х на х — 2а.
Теорема 2. Операторы Ra, рассматриваемые как операторы из L2 [0, 1] в Lcю[0, 1], являютсяре-гуляризирующими для уравнения (1) при любом р из интервала (0, 1).
л+а
2
л 2а
х - а
л
о
л + а
о
л
л
1706 ХРОМОВА
Доказательство. Согласно [1] утверждения теоремы будут справедливы, если будут установлены свойства:
1) Яа е (^[0, 1] — хш[0, 1]);
2) ||ЯаАи - и||£ —0 при а —- 0 и любой и е С[0, 1]; (7)
3) Яа — ограниченные операторы при каждом фиксированном а.
Свойство 1) из (7) вытекает из вида операторов Яа — для любой/(х) е Х2[0, 1] функции Яа / являются непрерывными: на [0, 1 ] — при ] = 2 , на [ 1, 1] — при ] = 1.
Свойство 2) вытекает из сходимости Цб^и - и||—» 0 при а —0 для любой и е С[0, 1].
Свойство 3) следует из (2), (3), если к интегралам, входящим в эти выражения, применить неравенство Буняковского.
Теорема 3. Для норм операторов Яа справедлива двусторонняя оценка:
С2а 2 <| |ЯЛ х2 г < С а 2 + О (а2 ), (8)
где
C = (1 - в)-1 (Г( 1 - в))-162, C2 = (1 - в)-1(Г( 1 - в))-1(3 - 2в)-1. Доказательство. Поскольку
IKII, ^ L = maxillRJ ' \\Ra
"l2[0,1 ] ^ с[0, 1]'11 L2[0,1 ] ^ C^, 1 у '
1
то для получения оценок (8) достаточно получить их для норм ||Яа ||ь ^ С, где С = С[0, - ] при] = 2 и
2
С = С[ 1 , 1] при j = 1.
(9)
Возьмем сначала операторы R . Имеем из (3)
IRaJIl2с = а-2( 1 - в)-1(Г( 1 - в))-1 max i JR^x, t)dt
0 < x <' 20
12
Положим I(x) = I R (x, t)dt и представим I(x) в соответствии с (3) в виде
02
I(x) = I1 (x) + I2 (x) + I3(x), (10)
где
I1(x) = J[(x -1)1 - в - 2(x -1 + a)1 - в + (x -1 + 2 a)1 - в ]2 dt,
0
x + a
I2W = J [(. - t + 2a)--в - 2<x - t + a) 1 -в]2dt,
x
x + 2a
I3(x) = I (x -1 + 2a)2 -2вdt.
x
x + a
После замены переменных х — t = т в 11(х), х — t + а = т в /2(х), х — t + 2а = т в 13(х) получим
л
11 (х) = I [т1 -в-2(т + а)1-в + (т + 2а)1 -в]2йт, (11)
о
а
12 (х) = I [(т + а)1 -в-2т1-в]2йт, (12)
о
а 3-2 в
1з( л) = {т2-2 вйт = 3^. (13)
о
Заметим, что 12(л) и 13(л) не зависят от х.
Поскольку 1(х) > 13(х) при любом х е [0, 1 ], то из (13) получаем оценку снизу в (8). Получим оценку сверху для 1(х). Возьмем /2(х). Имеем из (11)
а
12 (х) = I [(т + а)2-2 в + 4 т2-2в-4 т1 -в(т + а)1 -в ]йх.
о
Из очевидной оценки, поскольку т2 — 2в < т1 — в(т + а)1 —
12(х)< !(т + а)2 2вйт,
получаем оценку
2з-в 1
12(х)< 2-— а3-2в. (14)
2 3 2р
Теперь возьмем 11 из (11):
ч2-2в -в,
1
л
11 (х) = I [т2-2 в + 4(т + а)2-2в + (т + 2а)2-2 в - 4 т1-в (т + а)1-в +
о
+ 2т1 -в (т + 2 а)1 -в- 4 (т + а)1 -в(т + 2 а)1 -в ]йт.
Из очевидных оценок
т1-в(т + а)1-в > т2-2в(т + а)1-в(т + 2а)1-в > (т + а)2-2в, т1-в(т + 2а)1 -в <(т + 2а)2-2в
получаем
л
11 (х)< 31[(т + 2а)2-2в- т2-2в]йт = -р^-р[(х + 2а)3-2в-х3"2в- (2а)3-2в]<
о
3 ГГ . о \3-2в 3-2вт <-[(х + 2а) -х ].
3-2р 7 J
По теореме о среднем где х < < х + 2а.
(х + 2 а)3-2в-х3-2в = (3-2 р)^2-2в 2 а,
а
о
1708 ХРОМОВА
Так как < 1, то отсюда получаем оценку
1\(х) < 6а. (15)
Из (10), (13), (14), (15) получаем оценку
I(х )< 6 а + О (а3 - 2 в), а из нее и формулы (9) получаем оценку сверху в (8) для нормы ||Яа|— С.
Замечание. Недостаток оценки (8) — "разбаланс" в показателях степеней а слева и справа. При этом чем больше р, тем ближе показатель степени у а слева к показателю справа.
Поскольку Яа £ = Яа £ с заменой в правой части х на х1 = х — 2а, то такая же оценка получается и для нормы К II . Отсюда следует утверждение теоремы.
¿2 - 4 1]
2. При конкретных значениях параметра р оценку (8) можно улучшить — получить в ней точную степень а. Рассмотрим классическое уравнение Абеля с р = 1/2.
При р = 1/2 формулы (11)—(13) принимают вид
х_ 1 1 1_2
йт, (16)
II (х) = I
т2 - 2 (т + а)2 + (т + 2а)2
I
(х) = I
1 2
(т + а)2 - 2 т2
а2
йт, (17)
I
(х) = |т йт = а, (18)
3
0
а оценка (8) — вид
3 з
С2а-1 < ||Яа||-^ < С:а 2 + о(а2). (19)
Чтобы улучшить оценку (19), вычислим более точно интегралы (16) и (17). Тогда, как будет показано, справедлива
Теорема 4. В случае р = 1/2 для норм операторов Яа выполняется двусторонняя оценка
С2 а-1 < ||Яа|| ¿2 - ^ < С:а-1 + О (а2), (20)
где
С2 = (П)2, С: = С2 (21п6)2.
Доказательство. Рассмотрим сначала интеграл 12(х). Раскрыв квадрат скобки в подынтегральном выражении (17), придем к формуле
^ (х) = 2 а2 - 4 [ Л (т)]а, (21)
где
1 1
Д(т) = |т2 (т + а)2 йт. (22)
Известно (см. [5]): если Я(т) = т2 + Ьт + а, А = 4а — Ь2, то
1
|( Я(т))1 йт = ( 2 т + Ь )( Я ( т ) ) 2 + А |( Я (т))-1 йт, (23)
0
а
0
|(Я(т)) 2йт = 1п(2(Я(т))2 + 2т + ь). (24)
В нашем случае
1 1 2 1 1 Р:(т) = т2 (т + а)2 - а1п ( 2 т2 (т + а)2 + 2 т + а)). (25)
Отсюда
2
л (0) = -|1п а,
2
Р1 (а) = 3----2а2 - а1п(2,Д + 3)а.
(26)
Из (26) и (21) получаем представление
I2(х) = - 3л/2)а2 + а1п(2^2 + 3). (27)
Теперь рассмотрим /1(х).
Раскроем квадрат в подынтегральном выражении в формуле (16) и представим 11(х) в виде
^ х) = 11 (х) + /2( х), (28)
где в !1(х) собраны слагаемые, не содержащие дробных степеней, а !2(х) — содержащие дробные степени.
Легко видеть, что
х
11 (х) = б|(т + а) йт = 3х2 + 6ах, (29)
0
х 1 11 1 1 1
/2 (х) = |(-4т2 (т + а)2 + 2 т2 (т + 2 а)2 - 4(т + а)2 (т + 2 а) 2)йт. (30)
0
Вычислим интегралы от каждого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.