МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015
УДК 530.1:532.6
О РАВНОВЕСИИ СЛОЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА С НЕОДНОРОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
© 2015 г. А. Г. КАЛУГИН
МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва e-mail: kalugin@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 29.04.2014 г.
Рассматривается задача о равновесии слоя нематического жидкого кристалла в случае поверхностной энергии, квадратичной по отклонению вектора ориентации от заданного направления (модель Рапини—Папулара), и с учетом дивергентных слагаемых в квадратичном разложении внутренней энергии по градиентам вектора ориентации среды (модель Франка). Наличие таких слагаемых приводит к появлению отклонений директора в плоскости, параллельной границе. Показано, что для слоя (при подходящем выборе невозмущенной ориентации) существуют два критических значения волновых чисел, вблизи которых амплитуда колебаний директора становится сколь угодно большой даже при слабых возмущениях границы, а в случае плоской границы возможны соответствующие нетривиальные периодические решения. При этом наличие одного из волновых чисел не зависит от толщины слоя, а второе волновое число существует при толщине слоя, большей некоторой критической величины.
Ключевые слова: нематические жидкие кристаллы, поверхностная энергия, устойчивость.
К классу нематических жидких кристаллов могут относиться среды, молекулы или другие структурные единицы которых имеют сильно вытянутую форму [1]. При этом в жидкокристаллической фазе можно ввести среднее направление ориентации длинных осей, описываемое единичным вектором — директором n. В предположении, что группой симметрии нематиков является подгруппа группы вращений m -да: m [2], квадратичное разложение свободной энергии Франка по градиентам директора
FV = CiJ'klV¡nj4knt содержит 10 независимых коэффициентов [3]. Однако в силу условия |n|2 = 1, в разложении нужно учитывать только 4 коэффициента — константы Франка и его можно привести к виду
2FV = K^divn)2 + K2(n, rotn)2 + K 3[n, rotn]|2 + K24(V ¡njV У - (V knk )2) (0.1)
При построении модели нематиков Эриксеном [4] были указаны некоторые ограничения на величину констант Ki, K2, K3, обеспечивающие единственность решения задачи о равновесии. При этом в большинстве ранних работ слагаемые с коэффициентом K24 не рассматривались, поскольку этот член энергии имеет дивергентную
форму в силу тождества V¡njVJ'nl - (Vknk)2 = Vt(nJVjn - n'Vknk) и не входит в уравнения равновесия или движения, а на границе среды директор обычно считался заданным (модель жесткого сцепления). В [5] была предложена модель слабого сцепления, когда поверхностная энергия пропорциональна квадрату отклонения директора от некоторого выбранного направления — оси легкого ориентирования, сама ось при этом могла вращаться по конусу с фиксированным углом к нормали к границе.
Без ограничения общности выражение для поверхностной энергии можно записать в виде [6]
где пу = (п,^, V — единичная внешняя нормаль к границе, у и Ж — постоянные коэффициенты, ^ — угол между осью легкого ориентирования, задающей начальную ориентацию директора в невозмущенном состоянии, и нормалью к поверхности
В [7] было показано, что наличие поверхностной энергии для ориентации может приводить к отсутствию непрерывного решения в задаче о равновесии слоя нематика. Это привело как к более подробному исследованию роли поверхностной энергии, так и к изучению дивергентного слагаемого в энергии Франка. Укажем ряд работ в этой области. В [8, 9] были найдены периодические решения в слое нематика с учетом разной ориентации директора на стенках. В работе [10] получено критическое значение поверхностной энергии для наличия периодических решений, однако энергия Франка была записана в виде функции с пятью независимыми константами. Такое выражение обычно не применялось в более поздних работах на эту тему. В [11—13] исследовались периодические решения уже для четырех независимых констант в энергии Франка, для некоторых приближений были получены условия как на соотношения между этими коэффициентами, так и на толщину слоя, необходимые для существования периодического решения. При этом в ряде случаев для существования решения накладывалось ограничение на толщину слоя сверху. Влияние К24 на устойчивость поверхностных волн со свободной границей изучалось в [14, 15]. Теоретическая и экспериментальная оценка величины К24 была сделана в [16, 17].
В представленной работе изучается состояние равновесия слоя нематика, заключенного между двумя твердыми стенками с условием слабой ориентации директора на стенках и с учетом дивергентных слагаемых в энергии Франка. В отличие от предшествующих работ в этой области показано, что основной механизм возникновения периодических решений в плоском слое или неустойчивости при возмущении границы — наличие дивергентного слагаемого в энергии Франка при начальном положении директора, достаточно близком к планарному. При этом периодические решения могут существовать независимо от толщины слоя. Кроме того, в работах [11—13] рассматривалась плоская граница, хотя для оценок К24 изучалось равновесие нематика в капиллярных трубах [16], поскольку эффекты, связанные с этим слагаемым, лучше проявляются для неплоских границ. Изучение равновесия нематика для слоя с такой геометрией может быть использовано, например, для экспериментального определения дивергентной константы.
1. Постановка задачи. Будем рассматривать модель нематического жидкого кристалла в одноконстантном приближении, когда К = К2 = К3 = К, тогда уравнение (0.1) можно свести к виду
Для задачи о равновесии нематика уравнения, определяющие поле директора при отсутствии внешних массовых сил в несжимаемой среде и граничные условия, принимают вид [6, 14]
(0.2)
(а е [0, л/2]).
2¥у = КЯр^п1 + - (Vкп )2)
(1.1)
(§{ - nJnk)
dFV , dFS
j v
dV¡nJ dnv
= 0 (1.2)
При этом давление можно найти из уравнения V, (p + FV) = 0 после определения поля директора. Уравнения (1.1), (1.2) спроектированы на плоскость, ортогональную вектору n, для исключения неопределенных множителей Лагранжа, возникающих из-за условия постоянства его длины.
Рассмотрим задачу о равновесии слоя нематического жидкого кристалла, в невозмущенном состоянии занимающего слой между плоскостями z = ±h в декартовой системе (x, y, z) и начальной однородной ориентацией директора n = (sinQcosy0, sin Q sin y 0, cos Q). Пусть в возмущенном состоянии верхняя и нижняя границы заданы уравнением z = ±h ± Zi(x, y), i = 1,2, где верхний знак и индекс 1 относятся к верхней границе, нижний знак и индекс 2 — к нижней. Невозмущенные углы у 0 и Q заменяются выражениями у 0 + у и Q + 0 соответственно. Тогда линеаризованные уравнения равновесия (1.1) для возмущений углов у и 0 и граничные условия (1.2), отнесенные к невозмущенным границам, можно записать в следующем виде [14, 18]:
Д0 = 0, Ду = 0 (1.3)
Ky z = K24(6y cos у0 -0x sin v0) (1.4)
2 dF-
+K 9 z ± K24 sin 90(y x sin y 0 -y y cos y 0) = sin 90—- (1.5)
dnv
где индексы x, y и z означают частную производную по соответствующей координате, условие (1.4) применимо на обеих границах, в условии (1.5) верхний и нижний знаки относятся к верхней и нижней границам соответственно, а линеаризация соотношения (0.2) дает sin 90dFS/dnv = W(9 + Zix cos y0 +Zy sin у0). Отметим важное свойство дивергентного слагаемого: при наличии неоднородности угла 0 на границе оно выполняет роль поверхностной энергии для у.
2. Решение задачи для гармонических возмущений. Будем рассматривать случай плоских периодических возмущений границ в виде Zi = Qi sin kx. Тогда решения уравнений (1.3) для возмущений у, 0 будем искать в виде у = (C1exp(kz) + + C2exp(-kz))coskx + (C3exp(kz) + C4exp(-kz))sinkx, 0 = (Д exp (kz) + I2 exp (-kz) ) cos kx + + (I3exp(kz) + I4exp(-kz)) sinkx, где Ci и Di — произвольные постоянные. Для их определения воспользуемся граничными условиями (1.4), (1.5), откуда можно получить систему линейных уравнений для этих коэффициентов. Уравнения для Q, C2, D3, I4 отделяются, система для них — однородна и для невырожденных случаев (Qi ^ 0 ) имеет только нулевое решение. При этом определители двух подсистем совпадают и равны -16M1M2chkhshkh, где
M1 = kMshkh - KWchkh
M2 = kMchkh - KWshkh
M = k24 sin2 Qsin2 у0 - K2
Для коэффициентов C3, C4, Д, I получается неоднородная система уравнений с правой частью, зависящей от Q¡. Решая эту систему при Qi = Q2 = Q, получим
Q kWKQ cos у0chkz cos kx
H =-
Mi
_ kWK24Q cos y o sin y 0shkz cos kx
¥ = Mi
3. Исследование вырожденного случая. Подсистемы для коэффициентов Q, C2, D3,
В4 и C3, C4, Д, D2 могут быть вырожденными при двух значениях k — корнях уравнений Mi = 0 и M2 = 0. С учетом того, что рассматриваются k > 0, для существования такого случая необходимо выполнение неравенства
k24 sin2 Qsin2 y0 - K2 > 0 (3.1)
Это возможно при подходящем выборе невозмущенного расположения директора относительно волнового вектора, поскольку согласно имеющимся оценкам |K24| > K [16, 17]. Исследуем эти уравнения. Первое сводится к соотношению kM = KW cthkh, где при k > 0 правая часть монотонно убывает, левая — возрастает, поэтому при любых параметрах среды и толщине слоя при выполнении условия (3.1) существует единственное ненулевое значение ki — его решение.
Второе уравнение принимает вид kM = KWthkh и имеет ненулевое решение k2 при значениях h, превышающих некоторое критическое значение
H _ K\4 sin2 Q sin2 у 0 - K2
c _ WK
Оно определяется из условия более быстрого роста правой части уравнения в правой окрестности точки k = 0. Таким образом, в случае равновесия слоя нематика при волновых числах, близких к критическим, амплитуда возмущений углов может быть сколь угодно большой даже при слабых возмущениях границы, а при Q¡ = 0 возможны нетривиальные периодические решения с у,0 ф const. Аналогичная неустойчивость была получена для капиллярных волн со свободной поверхностью [14, 15]. Однако наличие двух стенок может приводить к двум решениям такого типа с разными длинами волн. В рамках оценок на параметры нематика [16] при толщине слоя 0.01 мм и начальной ориентации Q =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.