ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 2, с. 171-174
МАТЕМАТИКА
УДК 517.958+512.77
О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ДВУХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ НА м*(4)
© 2007 г. А. В. Цыганов
Представлено академиком В.В. Козловым 17.04.2007 г. Поступило 09.06.2007 г.
Найдены бигамильтонова структура и переменные разделения для двух интегрируемых систем на 5о*(4) с квадратичными гамильтонианами и вторыми интегралами движения третьей и четвертой степеней.
Рассмотрим пуассоново многообразие 5о*(4) с координатами ъ = где s = (^ я2, 53) и 1 = г2, г3) - два трехмерных вектора. Здесь и всюду далее мы отождествляем (К3, л) и (?о(3), [■, ■]) с помощью изоморфизма алгебр Ли
2 (2\, 22, 23 ) ^ 2М
0
-2,
2з -29
V 22 -2
\0
(1)
где л - векторное произведение, а [■, ■] - матричный коммутатор. В этих обозначениях канонический тензор Пуассона на 5о*(4) = 5о*(3) © 5о*(3) имеет вид
Ро =
С \
я™ о
Зм
0 г
(2)
м
Этот бивектор обладает двумя функциями Казимира
3
С\ = < 8, 8> = £ Я2, С 2 = < 1, 1>, PоdC\, 2 = 0. (3)
г = \
Многообразие яо*(4) является регулярным, транс-версально постоянным пуассоновым многообразием [9].
Для того чтобы на многообразии яо*(4) задать структуру бигамильтонова многообразия, необходимо определить второй бивектор Пуассона Р1, совместный с каноническим, такой, что
[Ро, Р\] = 0, [Р\, Р\] = 0,
Санкт-Петербургский государственный университет
(4)
где [■, ■] - скобка Схоутена. В общем случае описание всех пар совместных бивекторов Пуассона на данном многообразии является весьма непростой задачей.
Любое решение первого уравнения в системе (4) является 2-коциклом в когомологии Пуассо-на-Лихнеровича, задаваемой бивектором Р0 [3]. Производная Ли бивектора Р0 вдоль векторного поля X
Р\ = %X(Р0)
(5)
является 2-кограницей, и поэтому для таких бивекторов Р1 решение системы уравнений (4) сводится к решению одного уравнения
[%х(Р0), %х(Р0)] = 0 «[%Х(Р0), Р0] = 0 (6)
относительно векторного поля X. Если вторая ко-гомология Пуассона-Лихнеровича И2Рй нетривиальна, то не всякий 2-коцикл является 2-кограни-цей и поэтому множество решений уравнения (6) не исчерпывает множества решений системы (4) [9].
В классической механике на бивектор Р1 накладывается дополнительное условие существования достаточного для интегрируемости по Ли-увиллю числа функционально независимых интегралов движения в биинволюции
{И„ И]>0 = {И„ И]}\ = 0, ,, ] = \ 2.....п.
В работе [8] найдены решения уравнений (4) в классе линейных тензоров Ли-Пуассона на яо*(4), которые отвечают различным биинтегрируемым системам. Все 2-коциклы Р1, найденные в [8], являются 2-кограницами, т.е. в линейном случае вторая
когомология Пуассона-Лихнеровича ИРо на яо*(4)
тривиальна [9]. Например, интегрируемым системам Шоттки, Стеклова и Пуанкаре отвечают векторные поля X] = £д,- с компонентами
Х\ = ( а\> 1 a2, г2> а3 а\Я\> a2s2, а3 Я3 ),
X2 = (2\, аХ2),
Х3 = (0, 0, а(3, 0, 0, - ал3), а/, а е К,
где
7 . . , а1 (а2 + а3) а2(а2 + а1)
2 1 = I а1 (1 +-^1, а2¿2 +-S2,
а2 а3
а1 а
13
а3(3 +
аз (а2 + а2)
-л
а1 а2
= I -а2аз-
2 2 2 2 а2 + а3 а1 + а3 —¿1, -аа^2--— ¿2,
-а1 а25з - ■
22 а1 + а2
на симплектические листы бивектора Р0, которая сохранит бигамильтонову структуру исходных уравнений движения [4]. В данной работе мы наложим на искомый бивектор Р1 дополнительное ограничение
Р1 йС^ 2 = ^х(Р0)2 = -Р0XС 2) = 0, (7)
которое позволит использовать стандартную редукцию Дирака для Р1. Кроме того, данное дополнительное уравнение, линейное по X, позволило нам достаточно просто решить квадратичное по X уравнение (6).
Теорема 1. Пусть а, Ь и с - три комплексных вектора, такие, что
<а, а) = 1, <а, Ь> = < а, е> = <Ь, Ь> = <с, е> = 0, Ь А с Ф 0.
(8)
В настоящей работе изучается вопрос о по строении совместных бивекторов Пуассона на Векторное поле Х = (ги 22) с компонентами 5о*(4) в классе квадратичных тензоров Пуассона и о разделении переменных для соответствующих биинтегрируемых систем, обладающих интегралами движения старших степеней.
Поскольку бивекторы Пуассона Р0 и Р1 = ^Х(Р0) являются вырожденными, то для интегрирования
уравнений движения необходимо дополнительно определяет бивектор Р1 = ^Х(Р0), удовлетвори определить специальную редукцию бивектора Р1 ющий уравнениям (6) и (7):
= 2(8 А (8 А а)),
1 (9) 22 = (Ь А(Ь а а) + 2/<а, 8>(а а Ь) + 2/<Ь, 8>(с а Ь))
Р1 =
< а, 8> л
м
/[(а А 8)<8>(а А Ь) + (Ь А 8 )<8>( с а Ь)]
-/[(а а 8)<8>(а а ь) + (ь а 8) <8> (с а ь)]т
< а, Ь> (
м
(10)
здесь (х <8> у)у = ху}.
Векторное поле Х и бивектор Р1 определены с интегралы движения точностью до ортогональных преобразований
векторов 8 и ^ которые сохраняют канонический
бивектор Р0.
Для более компактного описания соответствующих интегрируемых систем удобнее использовать координаты
Ь а с + 2/а = 0
Ji = Л/ + X/ = к(Л/ - ), ке С.
В этих координатах канонический тензор Пуассона Р0(2) на 5о*(4) имеет вид
Р0 =
2
к ¿м хм хм Jм
(11)
н 1 = < а, в> < з, з> -2 < а, з>< в, з> + < в, з а х> ,
2 (12) Н2 = <в, 3>(2<А, з ах> - к2<з, 3> + <X, х>);
#1 = < А, з А (в А з)> + < в, з А х>, (13)
Н2 = <з, в>2(<з а А, з а А> + 2<А, з а х> + <х, х>)
находятся в биинволюции
{H1, Н2 }0 = {H1, Н2 }1 =
= {Нь Н2 }0 = {Нь Н2 }0 = 0 (14)
относительно скобок Пуассона, отвечающих тензорам Р0 (2) и Р1 (10).
Интегрируемая система с кубическим интегралом движения Н2 (12) была найдена в работе [2], где для нее построены матрица Лакса и переменные разделения. Вторая интегрируемая система с
интегралом четвертой степени Н2 (13) была найдена в работе [5]. Вещественность интегралов
При контракции (ретракции) к ^ 0 данный тензор переходит в тензор Ли-Пуассона на многооб разии е*(3).
Теорема 2. Если А = -/ка и в - произволь- интегралом четвертой степени Н2 (13) была най ный вектор, то при условии
3
3
О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
!73
движения (12) и (13), а также их возможные приложения обсуждаются в книге [1].
Согласно [4], поскольку бивектор Р1 (10) удовлетворяет уравнению (7), то из условия биинво-лютивности интегралов движения (14) следует,
_ ~ соответствующие разделенные уравнения име-что существуют невырожденные матрицы Ь и Ь , ют ,ид
такие, что
грируемых систем с интегралами движения И1 2(12) и Н\у 2 (13). При условии
Ь * = с, d = с
Р\dиi = Р0 £ , Р^иг = Р0 £ Ь^И]
] = \
] = \
(15)
, = \ 2.
В нашем случае
Ь =
-,И,
2 к< В, ,>
0
Ь =
< ¡-1 , , , 2 4к(В, Т)
,И2 < а, ,)
к<В,,)
. (16)
Элементы матрицы Ь являются полиномами, тогда как один из элементов Ь - рациональная функция на яо*(4). Собственные значения матриц Ь и Ь совпадают и являются корнями полинома
^(Л) = (Л-2\)(Л-ч2) = Л2-<а, ,>Л +
<,, ,) , < а, х л ,) < х, х) 4
+ ■
2 к
4 к
(17)
Лемма 1. Если d - трехмерный комплексный вектор, удовлетворяющий условиям <а, d> = = <d, d> = 0, то координаты 21, 2 (17) и моменты
Р\, 2 = -, 1пт = 2\,2), ЩЛ) = {<d, ,>, ^(^)>0 (18)
являются переменными Дарбу, такими, что
{р]■}0 = {2^ Р]}\ = {Ч]}0, \ = {Рь Р]}0, \ = 0.
(19)
Данное утверждение проще всего доказать используя соотношения
{*), Щ(ц)} * = (Лк зд ^(ц) - ц"^(Л) Щ(ц)), л - ц
к = 0,
МЛ), Щ(ц)}" = {Щ(Л), Щ(ц)}" = 0.
Переменные р^ 2 (18) определены с точностью до канонических преобразований р, ^ р, + /,(ч,), где /, - произвольные функции.
Теорема 3. Переменные 2 (17) и р1, 2 (18) являются переменными разделения для инте-
4 к2 < а, В> ч3 + Ч"И\ - И2 =
= 2к <с, а л В>(2*-С\)(чк-С2)2"е + + 2к2 <Ь, а л В>чкв1рк;
2 к< а, В> 2 + И\ тТИ = = к<с, а л В>(ч2,2- С\)(2- С2)е -р''2 + + к< Ь, а л В>еР1'2,
(20)
(21)
отвечают параболическому и декартову вебу Штеккеля на плоскости.
В работах [2, 6] доказано, что добавление линейных слагаемых к квадратичным гамильтонианам И (12) и И\ (13) вида
И = И\ + <к, Т> + ,(а\- а2)<В, х>,
И = И\ + <а3 А + а4А л В, ,> + +, (а\- а2 )< В, х>
(22)
сохраняет интегрируемость. Здесь к - произвольный числовой вектор и а, - произвольные числа. Вторые интегралы также меняются, например
Ич2 = И2 + 2,(а\- а2)<В, ,><,А, х> - <к, А>,2-
- <к, , л х> + к2(а\ - а2)2<В, ,> - ,(а\ - а2)<к, х>.
(23)
Явный вид соответствующих добавок к И2 (13) мы здесь не приводим ввиду их громоздкости, они могут быть найдены в [6].
Квадратично-линейные интегралы движения находятся в биинволюции относительно скобок Пуассона, отвечающих тензору Р0 и квадратично-линейному тензору
Р\ = Р\+
а\ям 0 0 а2гм У
а
\, 2
е С.
Переменные разделения 21, 2 изменятся, но по-прежнему будут собственными значениями соответствующих матриц Ь и ь :
2
2
Fg = F +т
F =
a1 + a2
-: < k, x>-- < k, J A x> - < k, B>< J, J> a1 + a2
К к
< a, J> + a 1 + a2
iH
2 a3 = a4 = 0
к<B, J>2
4к(<B, J> - aз)
(<B, J> - a3) < a, J> + a1 + a2
При добавлении линейных слагаемых к гамильтонианам разделенные уравнения (20) и (21) также изменятся, в левые части добавятся слагаемые, про-
2
порциональные и qk, а в правых частях изменятся
коэффициенты при в~'Рк и вместо (q2k - С1)(q2k - С2) будет стоять (^ - /а^2 - Cl)((qk - /а^2 - С2).
Кроме вещественных гамильтонианов (12) и (13) при а3 = -1 в биинволюции относительно скобок {•, ^}0 и {•, •}1 находятся комплексный гамильтониан
2
2 к 2
Н1 = аJ2 - J1 + х2J1 - х1 J2, а = /к,
и соответствующий ему второй интеграл движения Н2, который может быть найден в [7, 2]. В этих работах также построены матрицы Лакса и переменные разделения для этой системы при произвольном а.
Описание бигамильтоновой структуры этой системы и систем, связанных тензорами Пуассона старших степеней, удовлетворяющих условиям (6), (7), будет опубликовано отдельно.
Известно, что Н2Р (м можно интерпретировать как пространство нетривиальных инфинитези-
мальных деформаций пуассоновой структуры, которое определяет возможное квантование. В нашем случае деформации тривиальны и все рассмотренные выше системы интегрируемы также и в квантовом смысле.
Работа была частично поддержана грантами РФФИ 06-01-00140 и НШ-5403.2006.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Ижевск: РХД, 2005. 576 с.
2. Goremykin O.V., Tsiganov AV. // J. Phys. A. 2004. V. 37. P.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.