ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1298-1307
УДК 517.518.475+519.644.7
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В СМЕШАННЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ-ЯКОБИ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ К ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ1
© 2007 г. В. А. Абилов*, Г. А. Джалаева*, М. К. Керимов**
(*367025 Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а, Дагестанский гос. ун-т; **119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) Поступила в редакцию 16.03.2007 г.
Обсуждаются некоторые вопросы разложения функций двух переменных в смешанные ряды Фурье-Якоби. В частности, даны оценки скорости сходимости этих рядов на классах функций двух переменных, характеризующихся обобщенными модулями непрерывности. Указаны приложения этих результатов к оценке остатков некоторых смешанных кубатурных формул типа Чебышева. Библ. 9.
Ключевые слова: смешанные ряды Фурье-Якоби, вопросы сходимости, оценки остаточных членов, поперечники, условия абсолютной сходимости.
ВВЕДЕНИЕ
В ряде задач математической физики (например, при решении задачи Дирихле для шара методом разделения переменных, см. [1, с. 424]) возникают двойные ряды вида
X Х^Р^С*)[anm(f)cos(my) + bnm(f)sin(my)], (1)
n = 0 m = 0
где
v = 0
являются многочленами Якоби, Х„т, апт(/) и Ьпт(/) - некоторые коэффициенты. Для краткости назовем (1) смешанным рядом Фурье-Якобсона. Работа посвящена вопросам разложения функций двух переменных Ах, у) в смешанные ряды Фурье-Якоби вида (*). В частности, получим оценки скорости сходимости таких рядов на некоторых классах функций двух переменных, характеризующихся обобщенными модулями непрерывности, построенных для этих целей, установлена связь между структурными свойствами функций двух переменных и скоростью сходимости разложений этих функций в ряды вида (1). В качестве применения полученных результатов найдены оценки некоторых смешанных кубатурных формул типа Чебышева.
Для чтения работ необходимо знакомство с работами [2], [3] (см. также там библиографию).
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
Пусть Ь2 = Ь2((1 - х)а(1 + х)в, (-1, 1) х К) - пространство суммируемых с квадратом функций /: (-1, 1) х К —► К с весом (1 - х)а(1 + х)в (а > -1, в > -1), 2п-периодических по второй переменной и с нормой
|1 2п
II L. ~ 1
JJ( 1- х )а( 1+ X ff2 (х, y) dxdy.
-1 0
1)Работа М.К. Керимова выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00723).
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В СМЕШАННЫЕ РЯДЫ 1299 Возьмем формулу Родрига для многочленов р™'в):
п(а, Р), ч (— 1) ,, \-«/1 , \-Р $ г/1 ча + и,, чр + п -| „ ,
Рп (х) = -—и(1-х) (1+ х) ~~П[(1-х) ( 1+ Х) ], п = 0, 1,....
и!2 ах
Известно (см. [4, с. 70]), что многочлены Якоби составляют ортонормированную систему с условиями ортогональности вида
J( 1- X )а( 1+ X )Р x) x) dx
Известно также, что система функций
0, n Ф m,
+ р+1
Г(а + n + 1 )Г(р + n + 1)
(а + p + 2 n + 1 )Г( n + 1 )Г(а + p + n + 1)'
n = m.
рП"'Р)(x)cos(my), P|,a'P)(x)sin(my), n, m = 0, 1, ...,
образует ортогональный базис в пространстве L2, т.е. для любой функции f е L2 в топологии пространства L2, справедливо разложение в двойной ряд (смешанный - ряд Фурье-Якобсона)
f( x, y ) = '( x )[Onm(f) COS ( my) + ¿nm(f) sin ( my)] ,
(2)
n = 0 m = 0
где
X =
1/2, n > , m = 0, 1, n > 0, m > 1,
1 2n
(а + В + 2n +1 )Г(n +1 )Г(а + В + n +1) г г., ¡..а,, |йчРг/й ,п(а,в)л, ,
00 = v ,а+ в+1 Г ( ' v - ) Г(в - )—J J( 1- ^ (1 + S)f(tn)pn pU)cos(mn)d^dn,
2 Г(а + n +1 )Г(в + n +1 )n JJ
-1 0 1 2n
, (а + В + 2n +1 )Г(n +1 )Г(а + В + n +1 , ,n(a,p)/S, . ,
nm = --OTpTl-—-—Z-"-¿ I l( 1- S) (1+ S)f(tn)Pn (^)sin(mn)d^dn.
2 Г(а + n +1 )Г(р + n +1 )n
В дальнейшем будем рассматривать случай а = Р > -1/2 и писать pf (x) = pfР) (x). При а = Р = -1/2 многочлены P(~t-l12) (x) совпадают с известными многочленами Чебышёва I рода
Tn (x) = cos (n arccos x).
Введем обозначения
sn(/;x, y) = ^ XnmPna'P)( x)[ anm(f) cos (my) + bnm(f) sin (my)],
S*(f; x,y) = ^ XnmPna'P)(x)[anm(f)cos(my) + bnm(f)sin(my)],
n(n +2p + 1) + m2 <N(N +2Р + 1)N2
которые выражают так называемые "сферические" частичные суммы ряда (2). Из уравнения замкнутости Стеклова для функции f
/ ~ ~ Л1/2
XnmCnm( f)
Vn = 0 m = 0 V
следует, что справедливы соотношения
En (f) = f - Sn (f )|| =
cnm(f)
v„2 ^ 2 ^ .-2
1/2
a
nm
2 2 , r2 n + m < N
E* (f) = If - S* (f)|| =
cnm( f )
1/2
n (n +2 в + 1) + m > N (N + 2P + 1) + N
где
.a + в + 1
Г(а + n + 1 )Г(в + n + 1 )я r 2
cnm(f) ( а + в + 2n + 1 ) Г(п + 1 )Г( a + в + n + 1 ) r°nm(f) + bnm(f)] • Напомним, что величина
dN (M) = dN (M; L2) = inf { sup { inf I f - g|| }},
Gn с L2 f e M g e Gn
где последняя точная нижняя грань берется по всем подпространствам GN с L2 размерности N e N, называется N-поперечником Колмогорова множества M с L2 (см. [5, с. 186]). Определим теперь оператор Fh : L2 —- L2, 0 < h < 1, равенствами
1 п
77(в) ^ ч Г(2в + 1)
Fh f( x, y) = -^--
п22в + iг2(p + 1 у J
-1-я
если в > -1/2, и
п
FT1'2'f (x, y) = 2nJ[f (xcosh + V1 - x2 sinh, y + hnjj - f(xcosh - лД - x2 sinh, y + h
||( 1- )в 1/2 f(x cos h - 1 - x2 sin h, y + njd£, drj,
n
dn,
если в = -1/2, и назовем его оператором обобщенного сдвига.
Нетрудно показать (см. [3], [6]), что оператор Ек удовлетворяет следующим условиям:
1) Е/ + /2) = + ¥ь(/2\
2) ВД/) = Е/), Ь е К,
3) \Е/\ < Щ/\, М е К+,
4) \Е/ -/|\ — 0, к — 0+,
5) Ек(рР) (х)со$(ту)) = ^ ^ 5Ш(тк)рР) (х)0С8(ту), Е(РР) («ту)) = ^^ ^^ х
рПР)( 1) mh
Pf( 1) mh
х рР) (х)81и(ту).
Определим теперь конечные разности первого и высших порядков функции/х, у) следующим образом:
Ак (/; х, у) = Ек/( х, у) - /(х, у) = (Е - Е)/(х, у),
Ah (f;x, y) = Ah (Ah (f;x, y); x, y) = (Fh - E)kf( x, y) = £(-1 )k - г
i = 0
Fhf (x, y),
где Ffx, y) = fx, y), Fhf(x, y) = FA(Fhlfix, y)), i = 1, 2, ..., k, k = 1, 2, ..., и E -
и E - единичныи оператор
пространстве L2. Величину
Qk(f; 8) = sup ||Ah(f; x, y)
0 < h <8
будем называть обобщенным модулем непрерывности к-го порядка функции/е Ь2. Возьмем дифференциальный оператор второго порядка
В = (1-х2) )д-2 + -д-2-2(Р +1 )дх •
2 л 2
ОУ
Рассмотрим следующие классы функций:
k
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В СМЕШАННЫЕ РЯДЫ
1301
1) Ьг2 (Б) - класс функций/е Ь2, имеющих обобщенные частные производные в смысле Леви (см. [7, с. 172])
дк
-/(х, у), I + . = к, к = 0, 1,.,
д х'д У
принадлежащие пространству Ь2, для которых Бг/е Ь2, г = 0, 1, ..., причем
Б°/ = /, Бг/ = Б(Бг-1/), г = 1, 2,., Ь°°(Б) = Ь2;
2) Ш2 (Б) - класс функций/е Ь2 (Б), для которых справедливы неравенства
\\БгЛ < 1, г = 1, 2, ...;
3) ^2'ф (Б) - класс функций/е Ьг2 (Б), для которых имеют место соотношения
"k( Drf; 5) = O (Ф^)), r = 0, 1, ..., k = 1, 2,...,
где Ф(0 - непрерывная, монотонно возрастающая функция на [0, Ф(0) = 0;
4) KH^ - класс функций f е L2, для которых справедлива оценка
sup \Fhf(x, y) - f (x, y)| < Kha,
(x, y) е [-1, 1 ] x R
где K > 0, 0 < a < 1;
(Нетрудно заметить, что KH(a) с W0' 'a (D).)
5) CWlk (D) - класс непрерывно дифференцируемых функций fx, y) ((x, y) е [-1, 1] x R), 2n-периодических по второй переменной и удовлетворяющих условию
sup J max |Ah(Drf; x,y)| I = O[Ф(5к)], r = 0, 1, ..., k = 1, 2,..
0 < h <5[(x, y)e[-1,1 ] x R J
Очевидно, что C Wфk (D) е W2,кф (D).
Сформулируем основные результаты, которые мы хотим доказать.
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1. Справедлива оценка
sup ||f - (f)|| = O (^2гФ( Nk))
f е D)
( sup ||f-S*(f)|| = O(^-2гф(N-k))], r = 0, 1,
Vе W^(D) ^
где константа, входящая в O(1), зависит от r и k.
Теорема 2. Для любой функции f е L2 имеет место оценка
С N \1/2
"If; ¿1 «
Nk I i4 k-1 E (f) \N l =1
" If; «
7= I fk-1(f)
/
N1/2N
N4'
VJ l =1
k = 1, 2,
Теорема 3. Пусть/е Ь2. Если ряд
i = i
Xfr 1 Ef X12' 1 E*(f)
ч = i
r = 1, 2,...,
сходится, то/е Ь2 (В) и справедливо неравенство
/ N
A \Drf; ¿1 «
N
.1/2
1 X 14(r + k)1 e2 ( f) \N 1 = 1
X 12r -1 Et (f)
1 = N
A \ Df; N-) «
/ R Л1/2
-L X1"r + ''E*2 (f)
yN 1 =1 V
X 12r -1E* (f)
1 = N
Теорема 4. При каждом фиксированном N = 1, 2, ... справедливы равенства
1
sup f - S* (f)\\ =
/е ш'г(в) [N(N + 2в +1) + N2]г
Теорема 5. Для любой функции/е (В) справедливо предельное соотношение
r = 1, 2,
lim N \f - Sn(f)\\ = 0
N ^ —
(lim N2lf - S*(f )|| = 0).
N ^ —
Теорема 6. Справедливы равенства
dm (N) +1 (W2( D); L2) =
1
[ N (N +2 ß + 1) + N2 ]r N = 1, 2, ..., 1 = 0, 1,..., m(R) - m(R) - 1, r = 1, 2,...,
где
т(И) = оаМ{(п, т) : п(п + 2в + 1) + т < NN + 2в + 1) + N}, т (Л) = оаМ{(п, т) : п(п + 2р + 1) + т < NN + 2р + 1) + N/2}. Теорема 7. Если Ф(Ь) = 0(Ь + 1)Ф(0, Ь > 0, то справедлива оценка
dN(Ж,Ф(В); ¿2) ж Nгф(Nк/2). Теорема 8. Пусть/е КН(а). Если а > 1, то ряд
X X 1Спт(/)|
и = 0 m = 0
сходится.
Теорема 9. Пусть а = в = -1/2 и
Ф
t2r-2dt < + -,
N = т1п(и, m) = 1, 2, ..., r = 0, 1, ..., k = 1, 2, ... .
Тогда для величины % N ( сЖф к( В )) = 8ИР
/ е СЖфк(В)
I 2 и m
II ^1=3f (х'y) dxdy - üm XX f(cos
10
i =1j=1
,n(2i -1) 2n(j -1)Л
2и
m - 1
0
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В СМЕШАННЫЕ РЯДЫ справедлива оценка
% n( CWl k( D)) = O
_1_
т-2 r -
11
Ф
v 0
k-,
2r - 2
Следствие 1. Если r = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., то
% n( CWj k( D)) = O
1
гФ
Следствие 2. Если Ф(0 = Ia, а > 0, то при ак + 2r > 1 справедлива оценка
, k™ J 1
% n( CWl k( D)) = O
r = 0, 1, ..., k = 1, 2, ....
Na k + 2 r - 1
Доказательства основаны на некоторых вспомогательных предложениях.
3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Напомним, что многочлены Якоби Р„ (х) удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка (см. [4, с. 114])
(1 - X2) Р„Р( x)'' - 2 (в +1) xPf( x)' + n (n + 2в +1) pf( x) = 0, а система функций cos(my) и sin(my) - дифференциальному уравнению
y" + m2y = 0
22 ([cos(my)]'' + m cos(my) = 0, [sin(my)]'' + m sin(my) = 0).
(4)
(5)
Умножив обе части равенства (4) на С08(ту), а первого из равенств (5) на Рп (х) и сложив полученные равенства почленно, имеем
(1 - х2)рв(х)"С08(ту) - 2(р + 1)хРпР)(х)'ео8(ту) + п(п + 2р + 1 )Р(пР)(х)С08(ту) +
+ [ С08 (ту)]'' РпР)( х) + т2РпР)( х) С08 (ту) = 0,
или
-DpP)( x) cos (my) = (n (n + 2p +1) + m¿ )P™ (x) cos (my).
24 E>(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.