ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 1045-1054
УДК 519.634
О РАЗМЕРАХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ СМЕСЕЙ1}
© 2007 г. С. 3. Аджиев, В. В. Веденяпин
(125047 Москва, Миусская пл., 4, ИПМатем. РАН) e-mail: adzhiev@nm.ru; vicveden@newmail.ru Поступила в редакцию 24.07.2006 г.
Для задачи моделирования уравнения Больцмана для смесей частиц, различающихся по массе, с помощью симметричных дискретных моделей уравнения Больцмана, в которых есть обмен энергией между компонентами смеси, исследуется ее вычислительная сложность. Представлены новые дискретные модели. Библ. 7. Фиг. 1.
Ключевые слова: дискретная модель, уравнение Больцмана, смеси, законы сохранения, инварианты.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы исследования дискретных моделей уравнения Больцмана ведутся очень активно (см. [1]-[7]).
Будем считать, что движение частиц происходит в d-мерном пространстве, d = 1, 2, 3.
Введем равномерную сетку в пространстве импульсов с шагом h так, чтобы узлы сетки отвечали значениям импульсов pk = kh, k е Zd. Начала векторов, являющихся значениями импульсов, находятся в точке начала координат.
Дискретная модель с импульсами на решетке - это набор масс m1, ..., mn (среди них могут быть и совпадающие), векторов p1, ..., pn, принадлежащих сетке, и столкновений (i,j) -—► (k, l), т.е. четверок целочисленных индексов, разбитых на пары. Обозначим это множество четверок (i, j) -—- (k, l) через S. Если в модели присутствуют какие-то из следующих столкновений: (i, j) -—- (k, l), (i, j) -—- (l, k), (j,i) -—► (k, l), (j,i) -—► (l, k), то считаем их одинаковыми, т.е. будем полагать, что в S входит только одна из этих четверок. Множество S указывает ненулевые сечения столкновений c'h. Совокупности {m1, ..., mn; p1, ..., pn; S; c4kl, ((i, j) -—- (k, l)) е S} ставится в соответствие система дифференциальных уравнений (дискретная модель столкновений)
f + m = XCjf, - ff), x е Rd, i =1, 2, ..., n. (1)
Суммирование ведется по четверкам из множества S, в которых в первую пару индексов входит i, т.е. по тем столкновениям, для которых clj Ф 0, аf = f (t, x) - функция распределения частиц массы mi со значением импульса p;- по координатам x в момент времени t.
Подчеркнем, что запись (1) с совпадающими массами удобна тем, что позволяет избежать двухиндексных обозначений: реальное количество разных масс r значительно меньше n.
Описанная модель столкновений называется дискретной моделью уравнения Больцмана (ДМУБ), если выбранные столкновения таковы, что для каждого столкновения (i, j) -—► (k, l) удовлетворяются законы сохранения импульса и энергии:
pi + p j = pk + pi, (2а)
^ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00642) и Программы < 3 (3.5) Отделения матем. наук РАН: вычислительные и информационные проблемы решения больших задач, математическое моделирование в нано- и химических технологиях.
2 2 2 2
Р2. = ^ + И, (2б)
2 т1 2т, 2 тк 2 т1
где mi = тк, т, = т.
Представленные законы сохранения будем называть законами сохранения импульса и энергии для столкновения (г, у) -—- (к, I). Согласно определению ДМУБ, далее под столкновением будем подразумевать только столкновения, для которых выполняются законы сохранения импульса и энергии. Будем считать, что в модели присутствуют все возможные столкновения, которые можно создать для значений импульсов рх, ..., рп частиц масс тх, ..., тп соответственно.
Значения импульсов р, и рк частиц массы т, = тк будем называть значениями импульсов частиц массы тг = тк, соответствующими столкновению (г, у) -—- (к, I). Аналогично, значения импульсов pj и р; частиц массы mj = т1 будем называть значениями импульсов частиц массы т, = т, соответствующими столкновению (г, у) -—- (к, I). Рассматривая столкновение (г, у) -—- (к, I), р, и Pj будем называть значениями импульсов частиц до столкновения (г, j) -—- (к, /), р; и рк - после столкновения.
Из законов сохранения (2) следует, что если четверка целочисленных индексов (г,у) -—- (к, I) является столкновением, то (к, I) -—- (г, j) также является столкновением (оно называется обратным столкновением к (г,у) -—► (к, /)). Далее, как и всегда при рассмотрении ДМУБ, во всех случаях, кроме тех, когда мы производим суммирование в правых частях уравнений системы (1) или при рассмотрении аналогичных сумм, столкновения (г,у) -—- (к, I) и (к, I) -—- (г, j) будем считать одинаковыми, т.е. вместо двух этих четверок индексов будем рассматривать только одну, любую из них.
Мы исключим из рассмотрения такие столкновения (г,у) -—- (к, I), для которых хотя бы один из индексов, определяющих столкновение, равен другому индексу. Если т, Ф т, то возможен следующий вариант: г = к, что согласно (2) равносильноу = I. В этом случае значения импульсов частиц не меняются при столкновении. Если тг = т, то, кроме рассмотренного, возможны следующие варианты: г = у, что согласно (2) эквивалентно к = I, в этом случае г =у = к = I; г = I, что равносильно у = к; в обоих случаях множество значений импульсов частиц до столкновения совпадает с множеством значений импульсов после столкновения. Так как во всех случаях вклад таких столкновений в правые части уравнений системы (1) равен нулю, то мы можем исключить из рассмотрения все такие столкновения.
При моделировании уравнения Больцмана на компьютере с помощью ДМУБ вычислительная сложность задачи пропорциональна числу п с коэффициентом прх, где пх определено выше, П - число шагов вычисления по времени. Видно, что вычислительная сложность задачи пропорциональна п с очень большим коэффициентом. Таким образом, при больших п моделирование становится затруднительным. Фактически в данной статье исследуется зависимость числа п от отношений масс частиц различных компонент смеси.
На основе этой работы вычислитель, занимающийся задачами расчета эволюции неравновесных газовых смесей, сможет следующее: 1) оценить вычислительную сложность задачи, задав массы частиц компонент смеси, и решить вопрос насколько реально с вычислительной точки зрения такое моделирование; 2) для дробных отношений масс частиц различных сортов решить, какими дробями представлять отношения масс, так чтобы минимизировать вычислительную сложность задачи; 3) воспользоваться предложенными новыми моделями.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В дальнейшем будем рассматривать ДМУБ для смеси частиц двух сортов, различающихся по массе, с отношением массы более тяжелой частицы к массе более легкой, равным M/m (M > m).
Законы сохранения импульса и энергии для любого столкновения между двумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, имеют вид
p + q = p' + q', (3а)
2 ,2 ,2 2
p_p_ = q -q (36)
2M 2m ' ()
где p и q - значения импульсов тяжелой и легкой частиц до столкновения, p' и q' - после столкновения. Отметим, что условия q' - q Ф 0 и p' - p Ф 0 равносильны согласно (3 а) и выполняются, так как мы исключили из рассмотрения столкновения, для которых q' = q и p' = p.
Будем говорить, что столкновение между двумя частицами, принадлежащими различным компонентам смеси, происходит с обменом энергией, если правая и левая части (36) ненулевые: q'2 - q2 Ф 0 и p'2 - p2 Ф 0. Если они нулевые, то столкновение осуществляется без обмена энергией. Будем называть модель тривиальной, следуя [3], [4], если она не допускает обмена энергией между разными компонентами, что равносильно тому, что она не содержит хотя бы одного столкновения с обменом энергией между частицами, принадлежащим различным компонентам смеси. Остальные ДМУБ будем называть нетривиальными. Из (36) получаем, что если есть обмен энергией между компонентами смеси, то тогда M/m должно быть рациональным числом.
Удобная параметризация (см. [4]) получается, если при решении (3а) ввести вектор a так, чтобы
p = q' + a, p' = q + a.
Подставляя полученное в (36), имеем
( q'2- q2 )( M/ m -1 ) = 2( a, q'- q ), (4)
или
( p'2- p2 )( 1- m /M) = 2( a, p'- p ). (5)
В одномерном случае при p - p Ф 0, деля (5) на p - p Ф 0, получаем
( p' + p )( 1- m /M) = 2a, (6)
где очевидно, что p' Ф -p, если существует обмен энергией между компонентами смеси.
Рассмотрим только симметричные ДМУБ, т.е. модели, в которых значения импульсов частиц каждого из сортов расположены симметрично относительно нуля в одномерном случае, относительно осей координат и биссектрис углов между ними в двумерном случае, относительно плоскостей, каждой из которых принадлежат две оси координат, и плоскостей, каждой из которых принадлежит биссектриса угла между двумя осями координат и третья оставшаяся ось координат. Столкновение будем называть симметричным данному, если значения импульсов частиц каждого из сортов, соответствующие этому столкновению, получаются из значений импульсов частиц того же сорта, соответствующих исходному столкновению, в результате некоторой (одинаковой для всех компонент смеси) последовательности указанных выше симметрий. Из законов сохранения (3) следует корректность определения симметричного столкновения: если значения импульсов, соответствующие некоторому столкновению, удовлетворяют законам сохранения, то и для значений импульсов, соответствующих любому симметричному по отношению к исходному столкновению, они будут выполняться. Очевидно, что модель будет симметричной тогда и только тогда, когда в ней для каждого столкновения присутствуют все симметричные ему столкновения. Важно, чтобы модель была симметричной, это производится ради попытки избежать выделенных направлений в пространстве значений импульсов.
Далее без ограничения общности будем считать h = 1.
Если нам нужна для ДМУБ точка с координатой вдоль некоторой оси, равной какому-то целому числу k (координата некоторого значения импульсов частиц ДМУБ вдоль этой оси равна k), тогда из-за симметричности модели нам также нужны некоторые точки для любой оси с координатами, равными -k и k. Поэтому естественно для заданной ДМУБ называть максимум абсолютных величин координат значений импульсов вдоль каждой оси размером этой модели. Он равен половине длины ребра d-мерного минимального куба, который содержит ДМУБ, с центром в начале коорди
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.