МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.516.5-02
© 2008 г. В. М. МИРСАЛИМОВ, Р. Г. ФАРАДЖЕВ
О РАЗВИТИИ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПОЛОСТЕЙ
В ВЯЗКИХ ТЕЛАХ
Рассматривается плоская задача с неизвестной границей о развитии двоякопериодической системы полостей в вязких средах при конечных деформациях. Получено решение двоякопериодической задачи о развитии системы одинаковых полостей, центры которых расположены в квадратной и треугольной сетках, в условиях нестационарного медленного течения ньютоновской вязкой жидкости.
Ключевые слова: вязкая среда, полость, двоякопериодическая система полостей.
Если к вязкоупругому телу с некоторыми начальными полостями мгновенно приложены нагрузки, которые затем не изменяются, тогда хрупкое разрушение возможно лишь в стадии приложения нагрузок, при пренебрежении старением материала. В случае, если хрупкого разрушения не произошло, то начинается течение материала, которое со временем существенно изменяет форму начальных полостей. Возникающие при этом эффекты лучше исследовать на предельном случае вязкой жидкости.
1. Постановка задачи. Рассмотрим вязкую среду, подчиняющуюся закону Ньютона и занимающую бесконечную область во внешности двоякопериодической системы полостей. Внутренность каждого контура Ьт п (т, п = 0, ± 1, ±2, ...) представляет собой некоторую полость, форма которой известна лишь в начальный момент приложения нагрузок.
Задача считается плоской. Итак, пусть имеется бесконечная область (плоскость) с одинаковыми полостями, имеющими на плоскости ху центры в точках
рт,п(х, у) = тю1 + п®2 (т, п = 0, ±1, ±2,...)
ю1 = 2, ю2 = 21еа, I > 0, 1шю2 > 0
Обозначим контур полости с центром в точке Рт, п через £т, п, а внешность контуров ьт, п через (см. фигуру).
Предлагается, что стенки полости подвержены одинаковому постоянному давлению р(г); в вязкой среде имеют место средние напряжения ах = о~ (г); оу = о^ (г); тху = 0 (г - время); контур Ьт п каждой полости в любой момент времени имеет две оси симметрии, совпадающие (коллинеарные) с осями неподвижной декартовой системы координат; течение медленное и квазистационарное, так что в уравнениях Навье-Стокса можно пренебречь инерционными членами. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением случая несжимаемой среды.
В рассматриваемом случае составляющие компонент тензора напряжений ох, оу, тху и компоненты вектора скорости и, и в системе координат ху могут быть представлены [1] при помощи формул, аналогичных соотношениям Колосова-Мусхелишвили в плоской задаче теории упругости
ох + оу = 4ЯеФ(г, г) (г = х + ¡у) (1.1)
ю2/2
- Ю!/2
- ю2/2 -ю
о—©—ф,
ю2/2 1
- ю2/2
Ю!/2
0, 0
3 I Ю1/2 3
о—э—о
Двоякопериодическая система полостей в физической и параметрической плоскости (ячейка периодичности обозначена прямоугольником в центре)
Оу - ох + 21тху = 2[гФ'(г, г) + г, г)]
2ц(и + ¡и) = ф(г, г) - гф'(г, г) - г, г)
Ф(г, г) = ф'(г, г), ¥(г, г) = у'(г, г), i =
Здесь 2ц - коэффициент сдвиговой вязкости; ф(г, г) и у(г, г) - однозначные аналитические функции г в области, занятой вязкой средой; штрихом в дальнейшем будем обозначать производную по соответствующей комплексной переменной. На контуре полости Ьт п граничные условия имеют вид
о„ = -р(г), Тпг = 0 (1.2)
Обозначим уравнение неизвестной границы полости £т, п через Я(х, у, г) = 0.
Функция Я(х, у, 0) считается заданной. На неизвестной границе полости Ьт п должно выполняться условие кинематической совместности
дЯ дЯ дЯ _ ^ + и + = 0
дг дх ду
(1.3)
У
т, п
Ь
т, п
Используя формулы (1.1), граничные условия на контурах Ьт п запишем в виде
2 i а
Ф(г, г) + Ф(г, г) - [гФ' (г, г) + г, г)]е 1 = -р(г) (г е Ьт,п) (1.4)
где а1 - угол между осью х и нормалью к контуру полости.
Следовательно, поставленная задача свелась к решению краевой задачи (1.3), (1.4) с неизвестной границей от комплексной и действительной переменных.
2. Решение краевой задачи. Перейдем на параметрическую плоскость £ с помощью преобразования г = ю(£, г), осуществляющего конформное отображение физической области Ог на область Dz в плоскости являющуюся внешностью окружностей Гт п (т, п = 0, ± 1, ±2, ...) радиуса X, с центрами в точках Рт, п со взаимно однозначным соответствием бесконечно удаленных точек, а также соответствующих участков действительных и мнимых осей. Граничные условия (1.4) на параметрической плоскости £ примут вид
_ Г2 _
Ф*(С, г) + ф*(С, г) - 2 {м(С, г)Ф*(С, г) + ю'(С, г)¥*(С, г)} = -р(г),
^г) (2.1) С е Гт,п, Ф*(С г) = Ф[ю(С г), г], (С, г) = ¥[ю(С, г), г]
г = 0: ю(С, 0) = Юо(0,
где ю0(С) заданная функция. Следовательно, поставленная задача сводится к определению трех функций Ф*(£, г), ¥*(£, г) и ю(^, г).
Условие кинематической совместности запишем в виде [2]
2ц Re
Z f »'«.«)
Re<! Z®'(Z, t)
ф; (Z, t) - ^(Z, t)'
Ф *(Z, t) -
(2.2)
г у *
Ф*(С, г) = ф[ю(С г), г], г) = у[ю(£ г), г]
Рассмотрим класс решений краевой задачи (2.1), (2.2), для которого выполняется условие
д® _ /г ®(Z, t) "г
= ф*(С,г)Ф*(С,г)-у*(С,г), ZеГm,п (2.3)
д г ю'^, г)
выражающее векторное равенство кинематической скорости Эю/Эг и скорости материальной частицы на границе полости Ьт п. При выполнении условия (2.3) условие (2.2) будет выполняться тождественно. Складывая соотношение (2.3) с условием нагруженно-сти полости на Гт, п, записанном в виде
®(Z, t) Ф-
Ф* (Z, t) + Ф* (Z, t) + V *(Z, t) = -p (t )®(Z, t) (2.4)
®' (Z, t)
находим, что
, Э®
т
2ф*^, t) = 2цд® - p(t)®(Z, t), Z 6 Гш,„ (2.5)
Таким образом, для определения трех аналитических функций Ф*(£, г) = ф* (С, г),
г) = у* (£, г) и ю(£, Г) получили нелинейную краевую задачу (2.1), (2.5) на Гш, п. Искомые функции Ф*(£, г), ¥*(С, г) и ю(£, г) ищем [3] в виде рядов
1 ; л 2к + 2 (2к
Ф*(С, Г) = 4[о;(г) + о;(г)] + а0(г) + £ а2к+2(г
с + 2^ (2к +1)!
к = 0
1 ; л 2к + 2 (2к)(^)
(С, г) = 1 [о;(г) - о;(г)] + ро(г) + £ р2к+2(г)Л (2к У+ 1 )! ) - (2.6)
к = 0 к
- £а2к + 2(г) (2кк + 1 )!
к=0
; л2к + 2. (2к-1)(Г)
ш(С, г) = С + £ ¿2 к+2( г )Л (2к + 1)! ( ; - (2.7)
к = 0 2к + 1 !
где у(^) - эллиптическая функция Вейерштрасса, Q(z) - специальная [4] мероморфная функция:
Q(Z) = £'| Ртп 2сЛ™ - Кп |
- Р )2 р3 р2 I
т, п т^ тп шп^
Штрих у знака суммы указывает на то, что при суммировании исключаются индексы т = п = 0.
Условия симметрии относительно координатных осей приводят к соотношениям
1та2к(г) = 0, 1шр2к(г) = о, ША2к(г) = 0 (к = 0,1, 2, ...) (2.8)
Из условия равенства нулю главного вектора сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в Б^, следует, что
а0 (г) = [ К0 а2 (г) + К ^ (г)]Л2, р0 = [ г) + К р2( г )]Л2 (2.9)
„ _ §1 . ^ _ т „ _ „ К 0 =--1--=-=-, К1 = -=-—, К 3 = К 0
0 < <Ю2- Ю^ 1 Ю2®1 - Ю Ю2 3 0
= §к = 2СГ, Ук = 2QГ- ютГю
2 ю ®1Ю2-ю2 к V 2 ) к V 2) к1 V 2 (к = 1, 2)
Нетрудно убедиться, что соотношения (2.6)-(2.9) определяют класс симметричных задач с двоякопериодическим распределением напряжений.
В силу выполнения условий двоякопериодичности система граничных условий (2.1) и
(2.5) на Гт п заменяется двумя функциональными уравнениями, например, на контуре Г0 0. Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов представлений
(2.6), (2.7) функций Ф*(£, г), ¥*(£, г), ю(С, г) разложим эти функции в ряды Лорана в окрестности точки £ = 0.
Подставляя в граничное условие (2.1) на контуре Г0,0 (£ = Хе'0) вместо Ф*(£, Г), ¥*(С, Г) и ю(£, Г) их разложения в ряды Лорана и сравнивая коэффициенты при ехр(г2к0) (к = 0, 1,...), получим бесконечную систему нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а2к(Г), Р2к(Г), А2к(Г).
Полученная система уравнений не является замкнутой. Для замкнутости этой системы уравнений необходимо использовать граничное условие (2.5). Для получения соотношения, связывающего параметр X с приложенной нагрузкой, подставим разложения искомых функций в краевое условие (2.5), умножим полученное выражение на 1/2га£ и проинтегрируем по контуру Г0, 0:
1 [о;(t) + о;(t)] + а0(t) + £ a2k + 2(tk + \k
2 k + 2 + 2(í )X ro,
k = 0
(2.10)
V dA2k + 2~.2k + 2 1 ...
= Ц£ X ro,k-2p(t)
k=0
1+ £ A2k + 2(tЯ2
mJ2k + 2 с + 2("
k=0
Подставляя в граничное условие (2.5) на контуре Г0, 0 вместо функций Ф*(£, Г), ¥*(С, Г) и ю(£, Г) их разложения в ряды Лорана в окрестности нулевой точки £ = 0 и сравнивая коэффициенты при ехр(2гк0) (к = 0, ± 1, ± 2, ...), получим недостающую бесконечную систему дифференциальных уравнений первого порядка по времени Г относительно коэффициентов А2к(Г)
dA2k + 2 - p(f) A = а2k + 2(t) dt 2Ц 2k + 2 Ц
(k = 0, 1, 2, ...) (2.11)
Бесконечные системы алгебраических и дифференциальных уравнений, дающих решение задачи о развитии полостей, имеют весьма громоздкий вид. Однако в большинстве практически важных случаев систему можно урезать до нескольких уравнений и, несмотря на это, получить достаточно точные результаты для физических диапазонов изменения радиуса X.
Ниже рассматриваются частные случаи расположения центров полостей.
3. Квадратная сетка центров полостей. Пусть основные периоды будут ю1 = 2; ю2 = 21.
Условия симметрии для квадратной сетки полостей приводят к соотношениям
а4к + г = 0, р4к = 0, А4к + 2 = 0 (к = 0, 1,...)
Из условия равенства (2.9) следует, что а0 (г) = (п/8)Х2р2 (Г), Ра = 0
Разложение функций Ф*(£, Г), ¥*(£, Г) и ю(£, Г) в ряды Лорана в окрестности нулевой точки £ = 0 имеет следующий вид:
__ч 4 к
ф ' " "
1 ÍX\4 k
(Z, t) = 4[о;(t) + о;(t)] + ао(t) + £ a4k(t)(j-J +
k = * (3.1)
+ £a4k(t)X £ r2 j, 2k -1Z
k = 1 j = 0
у* (С t) = £р 4,+2 (t)
k = 0
4, + 2
+ £?4к + 2(t)Х" + 2 £
2} + 1, 2к\
-4 } + 2
к = 0
} = 0
- £ 4ка4,(t)Х4к £ ^} + 1,2к-1С4} +2 + 2 [о;(t) - о;(t)]
(3.2)
к = 0
}=0
»(С) = С - £ Атл(Х)4к£ А4к('>Х4' £ }}
к = 1 к = 1 } = 0
-1С
4} + 1
О, к =
к =
к = 1 к = 1
( 2} + 2к + 1 )! Е } + к + 1 (2})! (2 к + 1 )!22} + 2к + 2'
(2} + 2 к +1 )!р, + к +1
4} +1
= £
1
2}
(2})! (2 к + 1 )!22} + 2 к + 2
Р = "V' Т т =1 р
' Р} = £ т2} + 1 = 2 тп
Подставляя в граничное условие (2.1) на контуре Г0,0 (£ = Хв' ) вместо Ф*(£, t), ¥*(£, t)
и ю(£, t) их разложения (3.1), (3.2) и сравнивая коэффициенты при ехр(г4к0) (к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.