ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 578-586
УДК 519.642.8
О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ I РОДА С ОПЕРАТОРОМ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ1-*
© 2007 г. С. Ю. Советникова, Г. В. Хромова
(410026 Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский гос. ун-т) e-mail: KhromovAP@info.sgu.ru Поступила в редакцию 17.10.2006 г.
Рассмотрен метод регуляризации Тихонова нулевого порядка применительно к уравнению I рода с оператором кратного дифференцирования в случае, когда решение принадлежит некоторому классу из области определения сопряженного оператора. Получена точная по порядку оценка погрешности приближенного решения в равномерной метрике с указанием величины порядка. Доказана оптимальность по порядку рассматриваемого метода. Получены порядковые оценки для модуля непрерывности обратного оператора. Библ. 12.
Ключевые слова: интегральное уравнение I рода, оператор кратного интегрирования, численный метод регуляризации, оценка погрешности.
Пусть для уравнения I рода
x 1
ч m -1
Аи = |и(X)йх = /(х), (1)
0
где х е [0, 1], т - целое, известно, что правая часть задана ее 5-приближением/¡(х) в среднеквадратичной метрике, а и(х) е МА* = {и(х) е С[0, 1] : и = А*у, ||V||ь < 1}.
Возьмем в качестве метода приближенного решения уравнения (1) метод регуляризации Тихонова нулевого порядка (см. [1]). Регуляризующим семейством операторов для этого метода является семейство
Яа = (аЕ + А*А)-1А*, а > 0 - параметр, и для него в указанных условиях имеет место сходимость (см. [2])
||ЯоАи - и||С[о, 1] —► 0 при а —► 0. Теорема 1. Оператор ЯаА есть интегральный оператор с ядром
Ко(Х'х) = 0г(х'Х' "0)'
где Г(х, X, -1/а) - функция Грина дифференциального оператора
ь : '-V = (-1 )У" + 0у. У( 1) = У(1) = ••• = у"-'(1) = М0) = • = У1 !т-'(0) = 0 (2)
Доказательство следует из представления
*аА=а ((А *А)аЕ
и того, что
A- = Li : liy = y(m), y(0) = У(0) = ... = y(m-1)(0) = 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00003).
Теорема 2. Для нормы оператора Яа справедливо представление
Г 1 Л1/2
Яп
-1/2
а вир
г(х'х' -а) -а 1г2 (-а) ^
(3)
где Г(х, X, -1/а) определена в теореме 1.
Доказательство следует из общего представления нормы через ядро Ка(х, X) оператора ЯаА (см. [3]):
ЯО
-1/2
а вир
К
Ь ч 1/2
,(х, х) -1ка(х, ^ .
Введем в рассмотрение величины
Д(8, Яа, МЛ*) = вир{||Яа/5 - 4с : и £ МА*, 1/ - Аи||, < 5},
Введем обозначение
Д1 (ЯаА,МА*) = вир{||ЯаАи - и||с : и е МА*}.
Ф(8, Яа, Ма*) = 5||Яа|| ,^ с + Д1 (ЯаА, Ма*).
Получим оценки погрешности приближенных решений с указанием величины наименьшего точного по 5 порядка на классеМА*. Используем известную (см. [4], [5]) двустороннюю оценку
2 ф(5, Яа, Ма* ) < Д(5, Яа, МА *) < ф(5, Яа, МА* )
и общий подход, предложенный в [6].
Ранее были доказаны следующие теоремы.
Теорема 3 (см. [7]). Если Ка - интегральный оператор с ядром Ка(х, такой, что
||Каи - и||с[а, Ь] -- 0 при а -- 0
В е (Ь2[а, Ь] —► С[а, Ь]) - интегральный оператор с ядром В(х, X), МВ = { и е С[а, Ь ] : и = ВV, ||у||^ < 1}, то справедливо представление
Ь Ь 2 1/2
(4)
Д1 (Ка, Мв ) = вир
| /Ка(хД)В(£, X)^ - В(х, *)
Конкретизацией теоремы 3 для нашего случая является Теорема 4 (см. [8]). Справедливо равенство
Д1 (ЯаА, Ма* ) = О-вир
а х
(I (/-к --а
1/2
(5)
где г(х, X, - О ) определена в теореме 1.
Найдем асимптотики по а при а —► 0 выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (5). Ранее (см. [9]) такие асимптотики были найдены только во внутренних точках отрезка [0, 1]. При этом использовалось общее выражение для функции Грина дифференциального оператора с регулярными краевыми условиями из [10]. Для получения указанных асимптотик на всем отрезке мы воспользуемся более удачным для нашей цели представлением функции Грина из [11].
х
2
х
х
х
х
Будем для определенности считать т четным. Пусть р = а-1/2т, % - корни степени 2т из -1. Расположим их следующим образом:
®2k-1 = exP
i п ( 2 k - 1 ) 2 m
, ®2k = -®2k-i, k = 1, 2, ..., m.
Введем две системы индексов: I1 - система индексов, для которых Re рю- > 0, I2 - система индексов, для которых Re рю- < 0, j = 1, 2, ..., 2m. В случае m четного они будут иметь вид
11 = { 1, 3, ..., m - 1, m + 2, m + 4,., 2m},
12 = {2, 4,., m, m + 1, m + 3,., 2m-1}.
Пусть Г^х, t, - a j - функция Грина оператора L. Очевидно,
yk(х) = е9®"*, k = 1, 2, ..., 2m,
есть фундаментальная система решений соответствующего дифференциального уравнения. Запишем для функций yk(x) линейные формы, стоящие в левой части краевых условий оператора L. Тогда получим
Ujk = Uj (yk) = Ajk + Bjkepak,
где
Ajk = 0, Bjk = (pWk)j-1 при j = 1, 2, ..., m,
Ajk = (P®k)j-1, Bjk = 0 при j = m + 1, ..., 2m. Теорема 5. Функция Грина оператора L имеет вид
Г| х, t, --1- | =
\rn~1 £ [r1k(х, t, р) + г2"(х, t, р)] + of-U, (6)
гя ! 2m - 1 ^ ' ~ ' • ' • • . • - . 2
ау 2 ^ k е I, Чр
где
r1k(х, t, р) = а-е ХАпе , Ао
l е I1
г -Р%к(х-г) , ^
1юке , г < х,
Г2к(х, г, Р) = 1 .г )
-рю4( г - х)
, г > х,
Л0 - определитель порядка 2т, у которого к-й столбец имеет вид
(1, ..., %т \ 0, ..., 0)т, если к е 11,
//л /л г\ т 2т-Кт 7 т
(0, 0, ..., 0, %, ..., % ) , если к е 12,
где т - знак транспонирования, Л* - алгебраические дополнения элементов определителя,
стоящих в первой строке и 1-м столбце, I = 1, 2, ..., 2т.
Доказательство. Берем представление резольвенты обыкновенного дифференциального оператора с регулярными краевыми условиями из [11] и записываем соответствующее этому представлению выражение для функции Грина при X = -1/а в виде
Г(х, t, -I) = - Y(х, р)M1 (р)U(g) + g(х, t,р),
где
v, ч , РЮ11 рю2тхч
У(х, р) = (е , е ), М(р) = (и;к)2™ = 1- матрица,
8(х' Х' Р) = -^"Т X Г2к(Х' Х' Р)'
2тР ке 11
и(8) - столбец, элементами которого являются линейные формы ЩС?),. = 1, 2, ..., 2т, составленные по переменной х.
Обозначим определитель матрицы М(р) через А. Тогда элементами матрицы М_1(р) являются элементы X. = Ау/А, где А. - алгебраическое дополнение элемента, стоящего в у-й строке и 1-м столбце, определителя А.
Далее производим преобразования, аналогичные проведенным в [11]. Вынесем из определителя А и всех алгебраических дополнений степени р и неубывающие экспоненты. Тогда будем иметь А(р) = А0(р) + у(р), где у(р) —► 0 быстрее любой отрицательной степени р, и аналогично
А.(р) = А* (р) + у,'(р), где Уу(р) имеют такое же поведение, как и у(р). Отсюда получим
X. = А0ЦД*< + 7 + . + + ^р)' 'е '2-
При ' е 11 получим такое же выражение, но с множителем е РЩ в первом слагаемом, у. (р) аналогичны у./р).
Далее, обозначим элементы столбцаМг1(р)и(8) через В¡,' = 1, 2, ..., 2т. Тогда получим
¥(х,р)МТ\р)и(8) = X е^РЮ'(1-Х)^'+ X еРа'ХВь
' е 11 ' е 12
где В' отличаются от В¡,' е 11, отсутствием множителя е РЩ.
Далее утверждаем, что все А* при ' е 12 равны нулю. В этом можно убедиться разлагая эти определители по первой строке, а затем последовательно проделывая эту операцию с полученными при разложении алгебраическими дополнениями. Отсюда верна
Теорема 6. Справедливо представление, асимптотическое по а при а —► 0:
2т- 1 1
А] (ЯаЛ, Ил *) = С\а 4т + О (а2), (7)
где
С = -1
4 2т
1
( т+1 т+1\2 ,_ Ю Ю 2
К
^ ю, + юк
V г, к е 1, ;
К = 2 + К! + К2, К, = 2 ХА*, К2 = А X А*А*..
°' е 1, А°', 1 е 1,
Доказательство. Пользуемся представлением величины А1(^аА, МА*), приведенным в теореме 4, и формулой (6). Имеем
[...[Г(х, х, - а! йх... ах = —1— Х(Г1к (х, х,р) + Г2к (х, х,р)) + о Г—3т), (8)
^ а 2тр ке1 ^р ^
582 где
Далее, из (8) следует
1-Йхt, -5
Г ( , р) Гjk(х, t, р) jх, t, р) = -1-m-, j = 1, 2.
rot
2
л 2 6m - 2
4 m р |
(х, t, р) + (х, t, р)
\k е I1
/ \k е I1
(9)
2 У Ги(х, t, р)ГГ2-(х, t, р) I +—3—1 У (Ги(х, t,р) + r2k (х, t, р))0Г-41 +
J mр Vр j Vр )
k, j е 11
Теперь рассмотрим интеграл
J(х,р) = Jf J./ГГх,t, -Лdt...
Подставим сюда выражение (9) и учтем, что при интегрировании всех слагаемых, стоящих фигурных скобках, а также суммы
У (Ги(х, t, р) + Г2k(х, t, р))
k е I,
вынесется множитель 1/р. Тогда получаем
J(х, р) = -
26m 4m р
1 -1 J( х,р) + о[ j-),
где 3 (х, р) - интеграл от выражения, стоящего в фигурных скобках формулы (9). Далее, представим 3 (х, р) в виде суммы
3(х, р) = 31(х, р) + 32(х, р),
где в 31(х, р) отнесены слагаемые, полученные после интегрирования и содержащие неубывающие экспоненты, а в 32(х, р) - слагаемые с экспонентами, стремящимися к нулю при р —► Тогда 31(х, р) будет иметь вид
J1 (х, р) = У
m+1 m+1(
Wi Wk
, k е I,
2 + "1 У A*iA
V Ао l, j е I1
* -р(ю, + юj)( 1- х) *e j
+
1УА* e
р(Ю" + ю,)( 1-х) 1 V Л* -р(™г + юj)( 1-х)
-А-1---УА
l е I,
j е I1
Из полученного выражения и того, что
max J1(х, р) = max{ J1(0, р), J1 (1, р), max J1 (х, р)}
0 < х < 1 0 < х < 1
следует представление (7).
То, что в представлении (7) константа С1 отлична от нуля, вытекает из следующих соображений. Это же представление (с другой константой) было получено в [9] на отрезке [£, 1 - е], и если бы С1 = 0, то получилось бы, что на всем отрезке величина A1(RaA,MA*) имеет меньший порядок, чем внутри отрезка, чего не может быть. Теорема доказана.
Теорема 7. Справедливо представление, асимптотическое по а при а —0:
2m + 1
||R
all L, ^ C 2
= C2 a m + 01 a
(10)
0 m
Wi + Wk
где
C =
1 + K ^ к V-ХЮХ
2m
ю, ю j ю, + ю
г е 1! г,. е 1!
константы К, К1 определены в теореме 6.
Доказательство. Пользуемся представлением ||Ка|^2^С, приведенным в (3). Имеем
ка( х, х) = 2m
Y zk Х д„
Юк -Prai(1-х)
Хд?
* -Рю1( 1- х)
юк
\к е I,
le I,
O( 1),
(11)
1 1 JК2а(х, t)dt = 1 Jr2(x, t, -i
Повторяем все выкладки, приведенные в доказательстве теоремы 6 с заменой 1/р6т 1 на 1/р4т - 1 и "убиранием" щ. в знаменателе. Тогда выражение, содержащее неубывающие экспо-
т-1 т-1
ненты, в данном случае будет иметь тот же вид, что и и1(х, р) с заменой ю, юк на ю,юк.
Учитываем выражение (11) и, рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 6, приходим к формуле (10). Теорема доказана.
Теорема 8. Имеет место двусторонняя оценка, асимптотическая по 5 при 5 —► 0:
2m - 1
2m - 1
С26 4m + ^(5)<Д(5, Д„(8), MA* )< С18 4m + V1 (5), где
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.