ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 1028-1038
УДК 519.634
О РЕШЕНИИ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛН НАПРАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР НА КОМПЛЕКСНЫХ ПЛОСКОСТЯХ ВОЛНОВЫХ ЧИСЕЛ1)
© 2015 г. В. А. Малахов, А. С. Раевский, С. Б. Раевский
(603950 Нижний Новгород, ул. Минина, НГТУ) e-mail: physics@nntu.nnov.ru Поступила в редакцию 10.09.2014 г.
Рассматривается проблема решения дисперсионных уравнений волн направляющих электродинамических структур на комплексных плоскостях волновых чисел. Предлагается комбинированный метод, основанный на сочетании положительных особенностей метода Мюллера и метода вариации фазы, основанного на принципе аргумента. Описывается процедура реализации метода. Для оценки корректности полученных решений предлагается новый подход, использующий сходимость к нулю потока мощности комплексных волн, среднего за период. Библ. 17. Фиг. 8. Табл. 5.
Ключевые слова: дисперсионное уравнение, поиск комплексных корней, метод Мюллера, принцип аргумента, метод вариации фазы.
DOI: 10.7868/S0044466915060095
Как известно (см. [1]), в направляющих электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами, волны в общем случае имеют комплексные волновые числа. Комплексные волны (КВ) (см. [2]—[4]) для большинства поперечно-неоднородных и продольно-нерегулярных направляющих структур соответствуют наиболее общему классу решений несамосопряженных краевых задач, описывающих эти структуры. Обычные распространяющиеся и реактивно затухающие (запредельные) волны можно рассматривать как частные варианты указанного общего класса решений. В том случае, когда направляющая структура диссипативная, все волны имеют комплексные волновые числа. В связи с этим очень важными являются вопросы целенаправленного поиска комплексных решений дисперсионных уравнений, определяемых собственными значениями краевых задач. Особые трудности возникают в том случае, когда решение краевой задачи для рассматриваемой структуры записывается в незамкнутом виде (см. [5]—[7]), что не позволяет производить аналитическое рассмотрение дисперсионного уравнения.
Сформулируем метод решения комплексных трансцендентных уравнений, каковыми обычно являются дисперсионные уравнения направляющих структур, описываемых несамосопряженными операторами. Дадим критерий оценки корректности и точности получаемых этим методом решений краевых задач, возникающих при моделировании указанных электродинамических структур.
В качестве примера рассмотрим задачу о расчете спектра собственных волн экранированной микрополосковой линии (ЭМПЛ). Поперечное сечение ЭМПЛ изображено на фиг. 1. Слой I представляет собой подложку из диэлектрика. Области II и III имеют воздушное заполнение. Линия по поперечному сечению симметрична относительно оси y.
Для рассматриваемой структуры ставится краевая задача на основе уравнения Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца с граничными условиями Дирихле и Неймана на экранирующих поверхностях.
1) Работа выполнена в рамках исполнения проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (задание № 3.1709.2014/К).
Векторы Герца в выделенных областях записываются в виде
e то , ,
П = 2 Alm COS ( m2+a x Sin(a1 тУ)e~'ß
zl m=0
m то /л i\
П = 2Bim sin( m2+a xcos(aimy)e~'ßz,
zl m=0
e то
П = 2( cos a2„y + Ащ sin a2„y)sind(x - ai)ez,
z2 n=1
m то
П = 2(( sin a2„y + B2n cos a^y)cos^(x - a)~'ß z,
z2 n=0
e вд
(1)
(2)
П = 2Азк cosMxsin(a3ky')e 'ßz,
z3 k=0
m ж M,
П = 2 Взк sin-—~ -x cos(a3ky ')e ~'ßz,
(3)
2a
z3 к=0
где ё = а — , у' = Ь — у.
Задача решается методом частичных областей (МЧО) (см. [8]). На границах раздела областей I и II, II и III записываем условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей, из которых получаем системы функциональных уравнений. Использование условий ортогональности собственных функций краевых задач для выделенных частичных областей приводит к системе линейных однородных алгебраических уравнений бесконечно высокого порядка относительно неизвестных коэффициентов разложений полей в областях I, II, III. Выразив амплитудные коэффициенты областей I и III через амплитудные коэффициенты области II, понизив тем самым порядок системы, получаем окончательную систему уравнений относительно коэффициентов Л2п, Л2п, В2п, В2п.
Запись условия нетривиальности решений полученной системы линейных однородных алгебраических уравнений приводит к дисперсионному уравнению, которое решается совместно с уравнениями, связывающими волновые числа:
е1ц1ю2 = [(2m + 1)я/2а]2 + alm + ß2,
S2^2®2 = (nn/d)2 + aln + ß2, s3|i3w2 = [(2k + 1)я/2а]2 + a 2k + ß2.
Фиг. 2.
При использовании метода редукции номер приближения определяется числом n собственных функций краевой задачи для области II. Количество алгебраических уравнений в вышеуказанной системе при этом будет (4n + 2). Ее общая запись имеет вид
да да да да
amnA2n + amnA2n) + + bmnB2n) = 0>
n=1 m=0 n=0 m=0
да да да да
^^(cmnA2n + CmnA2J + ^^(dmnB2n + dmnB2r) = 0, n=1 m=0 n=0 m=0
да да да да
YjYj(rknA2n + 7knA2n) + YjYj(tknB2n + tknB2n) = 0
n=1 m=0 n=0 m=0
да да да да
YjYj(SknA2n + JknA2n) + XS(eknB2n + eknB2n) = 0
n=1 m=0 n=0 m=0
где amn, bmn, cmn, dmn, rkn, tkn, skn, ekn — функции геометрических и электрических параметров структуры.
Здесь m и k (индексы суммирования во внутренних суммах) определяются числом учитываемых собственных функций в областях I и III. Значения m, k берутся из критерия сходимости внутренних сумм при каждом n автоматически. Критерий сходимости: последующий член суммы должен отличаться от предыдущего не более чем на 0.01%.
В общем случае, поскольку данная краевая задача является несамосопряженной, в спектре ЭМПЛ, кроме реактивно затухающих и распространяющихся волн, присутствуют комплексные волны. На фиг. 2 приведены результаты расчета спектра волн при следующих параметрах ЭМПЛ: § 1 = 9.6;2a1 = 0.6a ;b1 = 0.4b. (Далее все результаты приводятся для этих же значений параметров.) Здесь все волны высших типов классифицируются как HE(n), поскольку являются гибридными (n — номер по порядку следования критических частот).
Из фиг. 2 видно, что дисперсионные характеристики КВ (показаны штриховой линией) соединяют собой различные ветви решений дисперсионного уравнения.
Для проверки достоверности полученных результатов проводилось сравнение их в частных случаях с данными, приведенными в [9], [10]. Отличие не превышает 0.1%.
/(X)
хк - 1 //
/X + 1 Хк X
Фиг. 3.
Дисперсионные уравнения волн направляющих структур в общем случае являются трансцендентными уравнениями, определенными на комплексных плоскостях волновых чисел. Для их решения в настоящее время используются различные методы: метод половинного деления (би-секции, дихотомии), метод хорд (фиг. 3) и его модификация — метод Риддерса (см. [11]), метод Ньютона и его модификации и другие. Все эти методы обладают рядом недостатков, среди которых наиболее значимыми являются: требование точного знания области локализации корня и получение наряду с истинными ложных корней (полюсов). Другим существенным недостатком являются значительные временные затраты при уточнении корня. Наиболее быстродействующим методом поиска комплексных корней является метод Мюллера (см. [12]).
Метод Мюллера относится к итерационным методам решения уравнения вида
/(х) = 0. (1)
Для нахождения решений данного уравнения выбирают некоторую функцию ф(х), которая удовлетворяет выражению вида
х = ф(х). (2)
В методе Мюллера /(х) аппроксимируется многочленом второй степени (параболой). Выбирая некоторое начальное приближение {х0}, вычисляют последовательность приближений
X+1 = фХ).
Итерации заканчиваются, когда выполнено неравенство
(3)
х] 1 -1 - х
х]
< £,
(4)
где е < 1 — некоторое малое число.
Если существует некоторая область S комплексной плоскости поиска решений уравнения (1), то приближения X + 1 = ф(ху) сходятся к некоторому решению х уравнения /(х) = 0, если это решение удовлетворяет неравенству
х _ х;\ < —^ \х; _ х;' 1 I 11 _8| I
и является единственным в области S.
Погрешность метода может быть оценена выражением (см. [13])
(5)
Л*+1)
г(к)г(к-1)б(*-2)
Л*)
л)
где = х - хК"'' — погрешность к-й итерации, р = 1.839 — порядок сходимости метода Мюллера.
Однако при недостаточном малом значении е условия (4) и (5) могут быть выполнены также в случае локального минимума комплексной функции, что приведет к нахождению ложного корня. Величина е ограничена техническими свойствами компьютера, а также увеличением погрешности вычислений при работе с близкими по значению числами.
геа1(Рф))
0
Фиг. 4.
Метод Мюллера благодаря высокому быстродействию широко используется для поиска комплексных корней трансцендентных уравнений в различных прикладных пакетах, предназначенных для решения, в частности, дисперсионных уравнений волн электродинамических структур вида
которые решаются относительно одного из волновых чисел, например продольного в, имеющего смысл фазовой постоянной волны. Однако, наряду с истинными нулями комплексной функции Р(Р), точка А, фиг. 4, при использовании этого метода может быть получено решение, соответствующее локальному минимуму, точка В, фиг. 4, дающему ложный корень.
Чтобы избежать нахождения ложных корней, необходимо выбрать три начальные точки как можно ближе к истинному решению, т.е. уменьшить шаг поиска, и априорно локализовать область поиска. Это приводит к значительному увеличению времени счета и требует дополнительной информации относительно области расположения корня, в результате чего нивелируется достоинство данного метода — быстрота поиска.
Для локализации корня предлагается использовать метод вариации фазы, разработанный в [14]. Данный метод гарантирует получение истинных комплексных решений дисперсионного уравнения Р(Р) = 0.
Будем понимать под уравнением
дисперсионное уравнение волн направляющей структуры, определенное на комплексной плоскости г = * + 1у одного из волновых чисел. Считаем, что функция Р(1) является аналитической
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.