ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1305-1319
УДК 519.63
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
О РЕШЕНИИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МНОГОСЕТОЧНЫМ И ЯВНО-ИТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДАМИ^
© 2015 г. В. Т. Жуков, Н. Д. Новикова, О. Б. Феодоритова
(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: zhukov@kiam.ru; nn@kiam.ru; feodor@kiam.ru Поступила в редакцию 26.02.2015 г.
Исследованы две схемы решения начально-краевых задач для трехмерных параболических уравнений: неявная схема, разрешаемая многосеточным методом, и явно-итерационная схема, основанная на оптимальных свойствах чебышёвских многочленов. В явно-итерационной схеме выбор числа итераций и итерационных параметров диктуется условиями аппроксимации и устойчивости, а не оптимизацией сходимости итераций к решению неявной схемы. Особенностями многосеточной схемы являются реализация операторов межсеточных переходов для случая разрывных коэффициентов уравнения и адаптация сглаживающей процедуры к спектру сеточных операторов. Для этих схем приведены результаты сравнения на модельных задачах с анизотропными разрывными коэффициентами. Библ. 20. Фиг. 5. Табл. 2.
Ключевые слова: трехмерные параболические уравнения, анизотропные разрывные коэффициенты, многосеточный метод, явно-итерационная схема с чебышёвскими параметрами.
Б01: 10.7868/80044466915080177
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе исследуется эффективность двух схем решения начально-краевых задач для трехмерных параболических уравнений. Необходимость в эффективном решении таких задач вызвана их широким распространением в математических моделях. Повышение интереса к указанной проблеме связано с развитием параллельных вычислений: требуются коды для суперкомпьютеров с большим числом процессоров. Такие коды должны обеспечивать масштабируемое моделирование на расчетных сетках с миллиардом (и более) узлов.
Используя один из методов пространственной дискретизации, можно исходную нестационарную задачу свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим две схемы интегрирования такой системы. Первая схема — неявная двухслойная схема, разрешаемая многосеточным алгоритмом. Ее обозначение ниже — схема ММ (схема на основе многосеточного метода). Детальное изложение многосеточного алгоритма, являющегося разновидностью метода Р.П. Федоренко (см. [1]—[3]), дано в [4]—[8]. Вторая схема — явно-итерационная схема ЛИ-М (см. [9]) — разработана на основе схемы из [10] для решения параболических уравнений и опирается на многочлены Чёбышева специальной конструкции. Мы изучаем работоспособность схем ММ и ЛИ-М при решении эволюционных задач с разрывными коэффициентами.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим начально-краевую задачу для параболического уравнения
— + Ьи = /, г е О, (1)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 14-21-0025).
где г = ($, х, у, г) е О = [[0;Г] хП, Ос М , Т] — заданный интервал времени. На боковой границе области О задано краевое условие (I, II или III рода, см. детали в [8]), при I = t0 — начальное условие. В (1) Ь — линейный эллиптический самосопряженный неотрицательно-определенный оператор, функция /(г) является заданной, а функция и(г) — искомой. Предполагаем, что входные данные обеспечивают существование и единственность решения нужной гладкости. Различные обобщения допустимы, но основные результаты мы изложим для случая
Ьи = -Шу(к grad и) + а0и (2)
с кусочно-гладкими неотрицательными функциями к(г), а0(г).
Пусть для простоты О — трехмерный прямой параллелепипед. Возьмем в ^0,Т] хП сетку 0.Нт =0.к х где От = , 0 < у < J, tJ = Т} — сетка по времени с переменным шагом т = tj+1 - tj > 0, 0.к = {хп е0,0 < п < И} — декартова неравномерная по каждому координатному направлению сетка в О, зависящая от параметра к (шага сетки), характеризующего средний размер ячеек. Пространство функций ик, заданных на сетке 0.к, скалярное произведение и норма в ик определяются стандартным образом, см. [8]. Значения сеточной функции и на у -м временном слое tj обозначим через и у. Определим на подпространстве и н разностный оператор Ьн, аппроксимирующий со вторым порядком оператор Ь на гладких функциях с учетом краевого условия. Для конкретности можно считать, что сеточные функции заданы в узлах сетки 0.к, а Ьн построен с помощью конечно-объемной семиточечной дискретизации. Оператор Ьн — самосопряженный, и его собственные значения X неотрицательны и лежат на отрезке [Xт;п;Xтах] вещественной оси. Основные сведения о спектре простейших эллиптических разностных операторов можно найти в [11]. Предполагаем, что оценки границ спектра Xт;п > 0 и Xтах оператора Лн известны; в ряде случаев они могут быть вычислены (см. [6]).
3. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ Запишем дифференциально-разностную аппроксимацию задачи (1) в операторной форме (учитывая краевые условия в определении оператора Ьк):
ди + Ь„и = /. дt
Переход со слоя tj на верхний слой tj+1 = tj + т может быть реализован разными способами. Рассмотрим явную схему
иу+1 - иу
+ Ьи; = , (3)
т
требующую жесткого ограничения на шаг по времени, и чисто неявную схему
+ Ьи+1 = у (4)
т
Эта неявная схема может быть записана в виде системы линейных уравнений
(I + тЬк) иу+1 = и у + xfj, где I — тождественный сеточный оператор. Запишем эту систему в виде
Лнин = (5)
где Лк = I + %Ьк — N х N-матрица, ин, 8Н — искомая и заданная сеточные функции.
В эволюционных задачах новым аспектом в отличие от стационарных задач является наличие подвижных "фронтов" в решении, образующихся, например, в процессе распространения тепла в области, состоящей в начальный момент времени из разных частей: холодной низкотеплопроводной и горячей высокотеплопроводной. В стационарном расчете явлений типа тепловых фронтов нет, так как за бесконечное время температура в областях устанавливается.
Другим аспектом при решении эволюционных задач является проблема обеспечения точности интегрирования по времени. Выбор схем интегрирования не слишком большой. Схемы рас-
щепления по пространственным переменным хуже распараллеливаются и в ряде случаев могут оказаться малопригодными. Универсальной является явная схема, но она используется крайне редко из-за известного ограничения на шаг по времени. Применение неявной схемы само по себе не гарантирует высокой точности описания эволюции решения во времени, и, кроме того, возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений вида (5), что для многомерных задач является серьезной проблемой. Указанную систему обычно решают каким-либо итерационным методом, но при этом следует иметь в виду, что число итераций должно быть подчинено требованию устойчивости. Необходимое ограничение на число итераций дает теорема Гельфанда—Локуциевского (см. [12, с. 275—282], см. также [13, с. 793]). Класс схем, подпадающих под это ограничение, включает итерационные схемы, эквивалентные некоторой двухслойной явной схеме с расширенным шаблоном влияния, см. разд. 3. Именно поэтому в качестве конкурента схемы ММ выступает схема ЛИ-М. Для нее теорема Гельфанда—Локуциевского выполняется, и, кроме того, ее особенностью является учет известного характерного свойства разностной аппроксимации эллиптического оператора, сформулированного в [14] Л.А. Люстерни-ком: "Если первые гладкие собственные элементы аппроксимируют собственные функции дифференциального оператора, то последние собственные элементы носят паразитический характер и зависят в основном от свойств сетки и сеточной аппроксимации". Отсюда следует известный принцип: нужен правильный расчет эволюции во времени первых, низкочастотных компонент разностного решения, а для высокочастотных компонент достаточно обеспечить их ограниченность для устойчивости. В схеме ЛИ-М этот принцип выполнен. Расчет по схеме ЛИ-М решения на верхнем слое по времени состоит в выполнении определенного числа явных итераций с параметрами, являющимися корнями многочленов Чебышёва I рода. Применение чебышёвских параметров для решения эволюционных уравнений вошло в практику в 1980-е гг., но часть основных идей сформировалась в 1950-е гг. Еще раз подчеркнем, что главная идея схемы ЛИ-М отличается от обычного чебышёвского ускорения итераций: выбор числа итераций и итерационных параметров диктуется условиями аппроксимации и устойчивости, а не оптимизацией сходимости итераций к решению неявной схемы.
Для параболических уравнений развитие многосеточного метода идет по следующему направлению. Мы записываем неявную схему (4) и решаем систему уравнений (5) относительно неизвестной функции на верхнем слое с помощью многосеточного алгоритма. Многосеточный алгоритм использует стандартные чёбышевские итерации (см. [11]) при решении уравнений на самой грубой сетке, а также на этапах сглаживания. В качестве сглаживателя может использоваться и схема ЛИ-М в модификации, обеспечивающей сглаживание невязки в высокочастотной области спектра оператора Lh. Дело в том, что схема ЛИ-М не только ограничивает для устойчивости рост амплитуд гармоник, но гарантирует значительное уменьшение высокочастотных компонент, что отвечает потребностям многосеточного метода. В дополнение к мощным сглаживателям построены алгоритмические реализации операторов межсеточных переходов в так называемой проблемно-зависимой форме (см. [8]), и мы изучаем их работоспособность в эволюционных задачах. В итоге основные алгоритмические элементы многосеточного метода обеспечивают его эффективную параллельную реализацию (см. [6]—[8]). Для схемы ММ изучается новый ресурс повышения эффективности — при использовании адаптации сглаживателя можно взять полученное на первом шаге по времени значение нижней границы высокочастотного спектра в качестве постоянного значения на всех следующих шагах по времени.
Сложность решения параболических уравнений принято характеризовать "параболическим" числом Куранта cou = 0(тh ). Для трехмерных задач вычислительные затраты схемы ММ на одном шаге по времени составляют O(h ) и при фиксированной сетке от числа cou не зависят. Но константа в оценке O(h ) зависит от точности разрешения неявн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.