АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 5, с. 576-582
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 517.977
О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ
© 2015 г. Л. И. Рубина*, О. Н. Ульянов*, **
*Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения РАН **ФГАОУВПО "УрФУимени первого Президента России Б.Н. Ельцина" E-mail: rli@imm.uran.ru, secretary@imm.uran.ru Поступила в редакцию 13.08.2014 г.
Ранее авторами был разработан геометрический метод исследования и решения нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных. Этот метод используется в данной статье для получения ряда точных решений некоторых уравнений нелинейной акустики, а также сведения системы уравнений Эйлера к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, методы решения дифференциальных уравнений, уравнения нелинейной акустики, точные решения.
DOI: 10.7868/S0320791915050159
Математические работы часто появляются в физических журналах, поскольку ряд актуальных физических моделей основан на нелинейных уравнениях. Общих методов их анализа, как известно, не существует. Для нахождения частных решений приходится развивать различные оригинальные приемы, каждый из которых не универсален. Однако совокупность таких приемов иногда позволяет получать решения, имеющие важный физический смысл. Статьи по этой тематике публикуются и в Акустическом журнале.
Например, в работе [1] развит метод априорного использования симметрий, основанный на разумном усложнении моделей нелинейной акустики. В работе [2] использовано преобразование Дарбу для нахождения частных решений неоднородного уравнения Бюргерса. Некоторые другие подходы к нахождению решений нелинейных уравнений описаны в работах [3, 4].
Особое место здесь занимают точные решения уравнений. В некоторых, и скорее исключительных, случаях точные решения позволяют решить содержательную задачу или получить характеристики интересующего исследователя явления. Достаточно часто точные решения позволяют выявить существенные особенности сложного физического процесса. И наконец, как правило, точные решения оказываются пригодными для оценки результатов, полученных при использовании численных, приближенных или асимптотических методов, в качестве "тестов".
В работе предлагается и иллюстрируется на конкретных уравнениях ряд подходов для получения таких точных решений.
Рассматриваются:
1) уравнение, которое описывает распространение конечных возмущений в релаксирующей среде [5]:
т-д
ду
dv дх
е dv С0 дУ_
е dv
~ v д~
С0 ду
ттд v
_ mi_у v (i)
2c0 ду2
dv
дх c0
Здесь т = const — характерное время релаксации, s = = const — нелинейный параметр, c0 = const — ско-
2/2
рость звука, m = c^Jc0 - 1, сх — "замороженная" скорость звука, х — пространственная координата, t — время, y = t — х/с0 — бегущая координата, v — скорость. Уравнение (1) тесно связано с интегро-диф-ференциальными уравнениями, широко используемыми в последнее время для описания волн в биотканях и геоструктурах [5]. Нахождению решений таких уравнений на основе методов группового анализа посвящена работа [6].
2) уравнение, которое используется в модифицированном нелинейно-акустическом подходе [7]:
2cq3PQ
1
1
Y + 1 Р 2cq Ро
Y - 3 Р 2 Ро J
3Y -1 Р 4 Ро J
dp'
дх
(Y + 1)(Y- 3)
4cq
V
VP о 2
dp' _ дт _
(2)
д2p'__5V + (Y-1 (
дт2 4cQp0 дхдт 4c<3p0 дт Здесь у — показатель адиабаты, р0 = const, с0 = = const, b = const, р' = р — р0, р — плотность среды.
3) уравнение, описывающее во втором приближении распространение ограниченных пуч-
ков в средах без потерь (уравнение Хохлова-За-болотской [8]):
(3)
д_ [V - е р.ôp'^ = ci f д2 Д (d р
дт v дх р c0p0 д т 2 [ду2 )
Здесь c0 = const, s = const, p0 = const, p' = p — p0, p — плотность среды.
В основе получения точных решений лежит разрабатываемый авторами статьи геометрический метод исследования нелинейных дифференциальных уравнений и систем в частных производных [9—14]. Опишем кратко идею метода.
Пусть некоторый физический процесс описывается нелинейным уравнением в частных производных F(x,u, и^Ыу,..., ыН2 ^) = 0, u = u(x), x e Rm, нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим независимым переменным. Основная идея геометрического метода состоит в том, что предполагается, что решение уравнения в частных производных зависит от одной переменной (например, и = u(y), где у = y(x)). Тогда y(x) = const — поверхность уровня функции u(x). Изменение переменной у ведет к изменению решения. При такой зависимости уравнение в частных производных обычно может быть записано в виде ^ Ak(x,и,и', и",...,u(m)) Bk(у¡,уу,..., Уц j ) = 0. Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной у. Полагая Bk (у i, у у,...,
Vv2..im) = fk(у), где fk(у) - первоначально произвольные функции, определяем, при каких зависимостях между функциями fk (у) система Bk (у,, У ¡у,..., У ¥2.,di) = fk (у) совместна. Далее, решая совместную систему при некоторых заданных начальных или краевых условиях, находим вид функции у = y(x). Подставляя функции fk (у), для которых система Bk (у i, у у,..., у Ч2..,т) = fk (у) совместна, имеем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) для получения решения уравнения ^ Ak(x, и, и', u",..., и(m))fk(y) = 0. Решая ОДУ и подставляя в полученное решение ранее определенную функцию у = y(x), имеем решение исходного уравнения в частных производных. Данный геометрический метод допускает ряд модификаций. Например, можно считать, что у = u [12].
Аналогичный подход к системам нелинейных уравнений в частных производных позволяет их сводить к системам ОДУ [13].
В работе на примере выписанных выше уравнений показано, как, пользуясь предлагаемым подходом, можно получать точные решения для содержательных задач нелинейной акустики, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и системами в частных производных, используя, в том числе, их сведение к системам ОДУ.
обозначения — = vx, — = v,,, dv = vуу. Поло-
-ж> л'^. У ^ 2 У У
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЕЛАКСИРУЮЩИХ СРЕД
Рассмотрим уравнение (1). Будем использовать
ду _ у дх дх х ду '' ду2
жим, что vx - етоу1 с2 = /(V), где/(V) — пока неизвестная функция. Для того чтобы V была решением уравнения (1), должна выполняться зависимость
т V у/' + / = тт V уу/ (2с0). (4)
Здесь и далее в этом разделе штрих обозначает дифференцирование по V.
Теорема 1. Если функция /(V) удовлетворяет уравнению
( \ ~ + С
f "
2co
m
C - 1
Со
V-0
6s
+ • -c0m с0тт
eCv
(5)
-1
= 0,
где C = const, C > 0, и на начальном многообразии выполняется зависимость (4), то решения уравнения vx -svv= f(v) являются решениями уравнения (1).
Доказательство. Покажем, при каких условиях совместна система Tvyf' + f = mxvyyj(2c0),
vx — svv
Ic2 = f (v). Выпишем дифференциаль-
/с02 = f (v):
(6)
ные следствия соотношения vx - s vv
Vxx - 8 VVyxjC0 = f(v)vx + S vxvjC0 , V xy - S VVyyj C0 = f '(v)v y + S v y/C0.
Из соотношений (4) и (6) определим вторые производные функции v(x, y):
vyy = 2c0[xv yf + f]/(m), vxy = v yf ' + s v2/co2 + 2s V[t v yf + f ]/(comx),
(
Vxx =
f , 2s
f + ~2 VVУ С0
f ' + 4v y
\ 2s2 2Î - f\
+ — V \Vyf ).
c0m V X/
Для того чтобы условию (4) и соотношению
vx -гvvy|c0 = /(V) удовлетворяла одна и та же функция v(x, у), потребуем равенства третьих смешанных производных и выполнения соотношения vx -6vvy|c0 = /(у). Получим
/[2гv /'/(сот) - 6е 2v|(стт)] /" + 4е/'/ (сот) ,
= (//т) [2ср/" - 6е/(срт)] у /" + 4е/'/ (сот) ' Учитывая, что уху = vyx, получаем уравнение для определения функции/V):
V x = f
(7)
f "
2cn
m
4 Cv -
V c0
1
+ C
+ 12e f ■■
6e
c0m
c0mx
eCv
0
1
= 0,
что и требовалось доказать.
Переходим к решению полученного уравнения (5). Выпишем его решение, положив / = р(^). Функция р( V) удовлетворяет линейному уравнению
2cn
;Cv - 1
m
Отсюда
v cn
+ C
P =
+ — p.
cnm
П
6e
cnmx
eCv 2 "
v cn
1
= n.
2sC v + C - 2cn
cnm
m
■ +
6s
f2&2C2 з , sC(Cm - 4cn) 2 r +
-v +----:-— V — Cv +
+ •
cnmx
3c0m
W-n
2clm
2cn
m
2sC v + c —
cnm
m
(8)
П = const.
Тогда
f = 6 v2/(2co2t) -
- (4cn + Cm)v/(4Ccnx) + cn(2cn + Cm)/(4C26x). Как показано выше, решения, удовлетворяющие условиям теоремы 1, удовлетворяют соотношениям (7). Подставим в эти соотношения функцию (8) и решим полученную систему уравнений. Получим
1 .. . Iy _ f + mj(4^т) т
1 „ , 1
—X + - y = -Ст т J
f
dv.
(9)
Обозначив —x + -y = z, имеем v = v(z). Подста-
C т т вив в (1) v(z), получим ОДУ
1
С c
n
e 2
'z--2 vz = vzz
cn
m
V 2cn
^ г
- —+ — v
C cn У
(10)
V
1 e
I " v
л
c
n
2e z--z + z
2 v
cn
/" л
m _ 1 + _e_ v
V2cn C cn у
= n. (11)
£ ST 2
vx —2 vvy —2 vy =
cn
cn
mT . st — + — v
V2cn cn У
и приравнять обе части данного уравнения к /(V). Далее, аналогично предыдущему рассмотрению, найдем такую функцию/(V), для которой полученная система уравнений
6 6T 2
1vvy - — vy =
cn cn
ST -TV ху
—v v yy
cn У
V 2со
будет совместна. Тогда решение первого уравнения выписанной системы будет решением урав-
нения (1), если на начальном многообразии второе уравнение системы обращается в тождество.
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО НЕЛИНЕЙНО-АКУСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Рассмотрим уравнение (2). Обозначим р' = г и перепишем уравнения (2) в виде
1+h^ljL 4 Pn
r —
' V
Y + 11 г_ 2 cn Pn
+
+ (y + 1)(Y — 3) 1 i x
4 cn tpnJ J
= (1 + 2coPn ^ 2
Pn
Y — 1 b 2 r — ---r
t л 3 2 t
4 cnPn 5b
(12)
r —
4cnP
r
2 xt'
dr dx
dr
дт,
д 2r
д 2r
дт2 x% дхдт Будем полагать, что r = r(y(x, т)). Тогда у(х, т) = = const — поверхность уровня функции r, rx = r'y х,
rx = r> т, r„ = r>2 + r v tt, Гхт = r" V х V т + ^ V хт.
Здесь и далее в этом разделе штрих обозначает дифференцирование по независимой переменной у. Подставив эти выражения в уравнение (12), получим соотношение
1 + 3Y-Ц.
4 Pn
ry х
Перейдем в уравнении (10) от функции v(z) к функции z(v). Получим
+ (Y + 1)(Y- 3) 1 i _r
4 cn LPq J J
Y +11
2 cq PQ
2"
r'y т
(13)
Y -1 b , 42 2 —л--—(r ) У т
4 cnPn
-b-11+ 2cqPQ ^ 2 PQ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.