ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 2, с. 55-66
УДК 550.831+838
О РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ С ПОМОЩЬЮ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА S-АППРОКСИМАЦИЙ
© 2015 г. Д. Н. Раевский, И. Э. Степанова
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 24.03.2014 г.
В работе описаны способы решения обратных линейных задач гравиметрии и построения линейных трансформаций аномальных физических полей на основе модифицированного метода S-ап-проксимаций исходного элемента поля. Приводятся результаты математического эксперимента.
Б01: 10.7868/8000233371502009Х
1. ВВЕДЕНИЕ
Метод 8-аппроксимаций является одним из вариантов метода линейных интегральных представлений; основные характеристики этого метода изложены в работах первого автора (см., например, [Страхов и др., 2000; Страхов и др., 2002; Степанова, 2009а; Степанова, 20096; Степанова, 2008; Степанова, 2007; и др.]). Метод 8-аппрокси-маций хорошо зарекомендовал себя при решении самых разнообразных задач гравиметрии интерпретационного характера, в том числе при построении трансформаций аномалий силы тяжести. В то же время, несмотря на сравнительную простоту и эффективность, указанный метод обладает рядом недостатков, которые желательно было бы устранить. В методе линейных интегральных представлений невязки между исходным элементом поля и полем, построенным в результате 8-аппроксимации, минимизируется в пространстве функций, интегрируемых на носителе эквивалентных масс. Такая постановка обратной задачи по поиску распределения масс, эквивалентного по внешнему полю, позволяет получить аналитические выражения для аппроксимируемого элемента. Но при этом теряется существенная часть информации о носителе масс: о его гладкости, симметрии, приблизительной локализации. Постановка обратной задачи по поиску плотности распределения в классе равномерно непрерывных или, что еще предпочтительнее, равномерно дифференцируемых функций, приведет к значительному усложнению алгоритма. Возникает, в связи с этим, проблема выбора такой постановки, в которой сочетались бы простота и наиболее полный учет априорной информации об объекте изучения.
Кроме того, при построении трансформаций аномалий силы тяжести (нахождении пространственного распределения поля и его производных, разделении полей, осреднении, сглаживании, пересчете их в некоторые другие функции и др.) необходимо учитывать присущее гравитационному потенциалу и его производным так называемое свойство аддитивности.
Наблюдаемые гравитационные аномалии Буге являются суммарными аномалиями, представляющими совокупность аномалий обусловленных структурно-тектоническими особенностями осадочного чехла земной коры, строением кристаллического фундамента, глубинным строением Земли и верхней мантии и другими геологическими факторами.
Как было ранее отмечено в работе [Степанова, 2009], любая трансформация гравитационных аномалий выполняется на основе априорных предпосылок (диапазон глубин, в котором заключены источники аномалий, либо минимальные и максимальные значениями градиента поля и др.). При трансформациях полагают, что порядок интенсивности и размеров аномалий силы тяжести соответствуют порядку геологических структур.
К числу важнейших трансформаций гравитационных полей и наиболее широко употребляющимся относятся аналитическое продолжение в верхнее и нижнее полупространство, а также вычисление горизонтальных и вертикальных производных.
Значительное внимание уделялось в разведочной геофизике вычислению производных — высших по отношению к измеряемому элементу поля. Высшие производные необходимо было вычислять для локализации объектов поиска.
Высшие производные находятся с погрешностью из-за очевидной некорректности задачи [Тихонов и др., 1990; Ягола и др., 2014].
Как известно, большинство процедур трансформаций (аналитическое продолжение в сторону возмущающих масс, пересчет в высшие производные потенциала), обладающих наибольшей разрешающей способностью, являются неустойчивыми.
В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства существующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике (в них часто не принимается во внимание нерегулярность и разновысотность гравиметрических сетей; присутствуют также и другие идеализации).
Развиваемый В.Н. Страховым в рамках метода интегральных представлений аппроксимацион-ный подход позволяет принципиально по-новому решать ряд вопросов трансформаций потенциальных полей. В данной статье рассмотрены алгоритмы и компьютерные технологии нахождения линейных трансформаций потенциальных полей (нахождение пространственного распределения поля и его производных, разделение полей) на основе модифицированного метода 8-аппрок-симаций. Приводятся также результаты опробования компьютерных программ на модельных примерах. Подробное описание метода линейных интегральных представлений и, в частности, двух его вариантов: метода F-аппроксимаций (основанного на преобразовании Фурье) и метода 8-аппроксимаций (основанного на представлении гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев) — приводится в монографии [Страхов и др., 2009].
В данной работе в модельных примерах предполагается, что плотность источников гравитационного поля постоянна. Однако это предположение не ограничивает общности. Результат построения линейных трансформаций зависит существенным образом от свойств матрицы системы линейных алгебраических уравнений, к которой редуцируется задача интерпретации, если мы применяем метод линейных интегральных представлений. Поскольку представления линейные, то умножение плотности на ненулевой множитель влечет за собой пропорциональные изменения компонентов вектора решения системы. Однако, чтобы не привносить в решение задачи дополнительные ошибки при выполнении расчетов на ЭВМ, рекомендуется учитывать норму правой части СЛАУ (системы линейных алгебра-
ических уравнений). Правая часть такой системы представляет собой измеренные тем или иным способом элементы аномального гравитационного поля — силу тяжести, горизонтальный градиент и т.п. Можно осуществлять вычисления и с нормированной правой частью. В этом случае полученный вектор решения СЛАУ необходимо умножить затем на норму правой части.
В следующих разделах статьи будут даны основные формулы, с помощью которых можно строить линейные трансформации полей на основе модифицированного метода S-аппроксима-ций в локальном случае — т.е. когда не нужно учитывать кривизну земной поверхности.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСШИХ
ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО
ПОТЕНЦИАЛА В ЛОКАЛЬНОМ СЛУЧАЕ.
МОДИФИЦИРОВАННАЯ S-АППРОКСИМАЦИЯ
Для нахождения производных гравитационного поля в некоторой совокупности точек MV с координатами х(^ = (x(v), x3vиз внешности СЕ некоторой области Е с R3 в рамках метода линейных интегральных представлений [Страхов, 1999] необходимо действовать следующим образом.
Пусть D — плоскость, описываемая уравнением х3 = const = H.
По заданным плотностям Pi(£,i, £2) е L2(D) и p2(^i, £2) е L2(D) простого и двойного слоев мы должны найти совокупность ограниченных линейных функционалов вида
Ps = Jpi(%i, %2)d%id%2 +
D
+ JP2G1, %2)P2(s)(^i, %i№id%2, s = 1,2,..., 5
D
где для всех s
(1)
(s)
|2
>(s)||
= J>iW)2£i, 2 < +«>,
D
= J>2(S))2£i, 2 <
(2)
Действительно, значения аномалий силы тяжести %(Му, р) выражаются соотношением (1) при 8 = V:
^^£з) = Y- 3- (vV R (£ - х )
P^Ci, £2, Сз) = = Y ((£i - ¿i(v))2 + (£2 - - 2(£з - x3v))2)
R5(£ - x(v)) '
.. (£3 - x3v))
D
а значения элементов аномального поля и( М^; р) соотношением вида
и(М„; р) = Ба^(х; р) I =г
(4)
где а = (аь а 2, а3) — мультииндекс; |а| = ах + а2 + + а3 > 1;
па =
5|с
Р = (р1, Р2),
-л а <-\ а2 -л аз ■
дх1 дх2 д1 и соотношением (1) при ж = V
(5)
%з хз
лизовать процедуру вычисления показателя качества решения чисто математически: скажем, выбирать те распределения масс, у которых норма производной по координате х или у, или обеим координатам, минимальна. Но важно подчеркнуть, что, вследствие малости на начальном этапе параметра ц, мы можем, в соответствии с правилами вариационного исчисления [Лаврентьев и др., 1950], получить, что искомые функции должны иметь вид:
р(а)© = р 1(|, х0), р(2а)© = р2(|, х0),
(9)
VЯ (%- х),
Р2У)(%1, %2, %3) = УН)1^ X (6)
- Х1)2 + (%2 - -12)2 - 2(%з - Хз)2"
V Я 5(%- х м)
Везде у — гравитационная постоянная (у = 6.67 х
х 10-11 Н м2/кг2). Здесь у нас точка М имеет координаты М = (х1, х2, х3). Причем х3 > Н, т.е. мы вычисляем значения производных потенциала выше носителя, которым в нашем случае является плоскость
Б. Здесь - х(у)) — длина вектора - х
В соотношении (1) р1(^1, %2), р2(^1, 2, 2) находятся по заданным значениям gk Ъ аномалий силы тяжести из решения следующей вариационной задачи:
р 1(1,х0) = ^х0еГ©, р2(1,х0) = Xх—— 1=1 1=1 Таким образом, приходим к следующей системе линейных уравнений
АХ = g8,
где
а„= {{(^©а^©+е20©у)№,
(10)
(11)
1 <, < Ы, 1 < у < я,
Л 0 1 0 ^Г , чт
X = (Х1,^2,...,Аы) , gë = ^8,1,g6,2,•••,g6,N) •
В нашем случае элементы матрицы (11) могут быть вычислены явно
= Ш1И,
Р (7)
О(р) + иН(р) = | | (Р2© + р2©)4 + цН(р)
—да —да
I = (11, 12),
+да +да
gk¡s - {{(^шГ©+Р2©<22к)©)4 = 0, (8)
—да —да
к = 1,2,..., N.
Отличие постановки (7), (8) от аналогичной ей, приведенной в работе [Степанова, 2009а; 81ерапоуа, 2009] заключается в наличии функционала качества решения цН(р). В этом выражении ц играет роль параметра регуляризации. Если этот параметр равен нулю, то мы приходим к "классическому" варианту метода 8-аппроксимаций, если параметр ц меняется в диапазоне от нуля до единицы (по линейному закону, например), то мы получаем семейство решений обратной задачи гравиметрии, в котором в той или иной степени учитываются геометрические и др. свойства распределения эквивалентных масс. Каким образом задавать функционал Н(р)? Все зависит от конкретной проблемы. Можно, безусловно, форма-
а у = 2п<
х3,1 + х3, у
_(^(ху + хз,у)2 + (ху - х1,у)2 + (х21
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.