АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 55, № 6, с. 691-697
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕИНОИ АКУСТИКИ ^^^^^^
И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ВОЛН МЕТОДОМ НУЛЕВОГО ПОЛЯ
© 2009 г. А. Г. Кюркчан, Н. И. Смирнова
Московский технический университет связи и информатики 111024 Москва, Авиамоторная ул. 8а E-mail: kyurkchan@yandex.ru Поступила в редакцию 24.07.08 г.
Выполнены исследования, посвященные численной реализации метода нулевого поля решения задач дифракции волн. Показано, что корректные и устойчивые алгоритмы в рамках этого метода получаются лишь при условии, что поверхность, на которой ставится условие нулевого поля охватывает множество особенностей аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателя. На примере решения конкретных задач дифракции продемонстрировано, что наилучшим способом построения поверхности нулевого поля является аналитическая деформация границы рассеивателя.
PACS: 43.20.+g, 42.25.Fx
ВВЕДЕНИЕ
Идея разнесения поверхностей — носителя токов или источников, порождающих дифракционное поле, и поверхности, на которой выполняется некоторое условие (например, граничное), позволяющее получить решение задачи дифракции, оказалась весьма плодотворной. Дело в том, что такое разнесение позволяет свести граничную задачу дифракции к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го или 11-го рода с гладким ядром, решение которых значительно проще технически и требует существенно меньших затрат ресурсов ЭВМ, чем, например, классический метод токовых интегральных уравнений, в котором обе упомянутые поверхности совпадают, что приводит к появлению особенностей в ядрах этих уравнений [1].
Эта идея (разнесения поверхностей) может быть реализована двумя способами — смещением носителя токов или источников, как это делается в методах вспомогательных токов (МВТ) или (дискретных) источников (см., например, работы [2—5]), либо смещением границы, на которой выполняется определенное условие, как предлагается поступать в методе продолженных граничных условий (см., например, работу [6]) и в методе нулевого поля (методе Уотермена [7, 8]).
В настоящей работе мы остановимся на последнем из перечисленных методов — методе нулевого поля (МНП), называемого в ряде источников также (что, по нашему мнению, неверно) методом продвинутых граничных условий. МНП чрезвычайно популярен, о чем можно судить, в частности по публикациям [9—11]. Однако при решении на основе МНП конкретных задач дифракции часто получаются результаты невысокой точности [12]. При попытке повышения точ-
ности путем увеличения размера N соответствующей алгебраической системы алгоритм часто вообще разрушается. Это связано с некорректным, по нашему мнению, использованием идеи МНП. Ниже мы приведем алгоритм корректного и эффективного применения МНП.
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим для определенности акустическую задачу дифракции волн на импедансном осесимметричном рассеивателе, ограниченном замкнутой поверхностью S. Иными словами, тре-
буется найти функцию и (г) — волновое поле, удовлетворяющую всюду в М3\Б, где Б — область
внутри S, Б = Б и S, однородному уравнению Гельмгольца
A u\r) + к 2и \ Г) = 0,
краевому условию
u( r) -
W du (r)'
к dn .
= 0
(1)
(2)
на границе S, а также условию излучения Зоммер-фельда на бесконечности. В соотношении (2)
и(г) = и 0(г) + и\г), где и0(г) — падающая волна
7
(первичное волновое поле), Ж = —, с — скорость
¡ер
звука, р — плотность среды, 2 — локальный акустический импеданс [1].
Будем рассматривать случай, когда поверхность S — аналитическая, т.е. может быть задана при помощи уравнения, аналитически зависящего от переменных.
Имеет место следующее соотношение [8] öu(r') .
л
u(r •) G
dn
dn'
-G0(r, r')}ds' =
(3)
: МДА
[-ы"(г), М(г) е Б,
в котором О0(г, г') = ехр( —г_|) — фундамен-
4п |г - г '|
тальное решение уравнения Гельмгольца.
С использованием краевого условия (2) из (3) может быть получено следующее интегральное уравнение нулевого поля
u V) + j
du(Г'){WdG0(r, r') dn' dn'
- G0(r, г')}ds' = 0,
(4)
M(r) e E,
в котором Z — некоторая замкнутая поверхность внутри S.
Традиционно считается, что единственным требованием для разрешимости уравнения (4) является условие нерезонансности (см. ниже) поверхности Z. Покажем, что это не так.
Обратимся к интегральному уравнению МВТ [3] для случая, когда на S выполняется условие Дирихле (т.е. в (2) W = 0)
' (5)
jv(r ')G0r, г ')ds'|S = u0(r)^
В уравнении (5) Е — носитель вспомогательного тока внутри
Имеет место следующая теорема [3, 13, 14]:
Пусть Е — произвольная замкнутая нерезонансная (т.е. внутренняя однородная задача Дирихле для области внутри Е имеет только тривиальное решение) поверхность Ляпунова. Уравнение (5) разрешимо в том и только в том случае, если Е охватывает множество А особенностей аналитического продолжения волнового поля
ы\г) в область внутри При выполнении условий теоремы уравнение (5) разрешимо единственным образом.
Если в (4) положить Ж = 0, а в качестве Е в (4) и в (5) выбрать одну и ту же поверхность, то ядра этих уравнений будут союзными, поэтому, очевидно, что уравнение (4) будет иметь решение также лишь при условии, что Е охватывает множество А.
Заметим также, что при численном решении интегрального уравнения МНП всегда используются какие-либо аналитические представления дифракционного поля. Все такие представления существуют лишь в области вне множества особенностей аналитического продолжения волнового поля, что еще раз подтверждает сформулированное выше условие разрешимости уравнения (4). Очевидно,
что и при решении МНП других задач дифракции, скажем с условиями сопряжения на границе ^ сформулированное требование к поверхности Е (для задачи с условиями сопряжения таких поверхностей будет две — одна внутри S, другая — охватывает остается в силе.
Таким образом, в отличие от первоначальной работы Уотермена и всех последующих работ, использующих технику нулевого поля, поверхность Е в предлагаемом подходе — это не любая поверхность внутри S, а лишь такая, которая охватывает множество А особенностей аналитического продолжения волнового поля ы\г) внутрь S. Это чрезвычайно важное обстоятельство, так как его неучет приводит, как будет ниже показано, к построению некорректных алгоритмов, не позволяющих, вообще говоря, получать достоверные результаты.
Ниже мы также покажем, что "правильную" поверхность Е (т.е. охватывающую множество особенностей) целесообразно выбирать не произвольным образом, а при помощи аналитической деформации поверхности S. Такой способ был впервые предложен в работе [5] для построения носителя дискретных источников в одноименном методе (МДИ).
Подробный алгоритм решения уравнений типа (4), основанный на замене интеграла суммой дискретных источников, распределенных на S, приведен в работах авторов, например, в работе [6]. Здесь мы лишь напомним технику построения поверхности Е [5]. Как уже было сказано, поверхность Е мы будем строить путем аналитической деформации поверхности Введем комплексную переменную
Z = r(0' У9',
(6)
где теперь 0' — комплексная величина, равная 0' = 0 m + /5, где
= — (m - 0.5), m = 1,N, N
(7)
а 5 — параметр. Если 5 = 0, то переменная Z е C, где C — контур на комплексной плоскости г = х + iy, соответствующий контуру осевого сечения рассеивателя и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать 5, то C будет сжиматься, и мы получим новый контур, который может быть выбран в качестве контура осевого сечения поверхности Е. Такого рода деформация возможна до тех пор, пока отображение Z (0') остается взаимно однозначным. Таким образом, вначале необходимо определить максимальную величину параметра деформации 8max, а после того как она определена, полагаем
Р = |С(0')|, 0 = argZ(0').
S
S
Е
Рис. 1. Невязки нулевого поля на поверхности Е для сфероида при ка = 1, ке = 5, N = = 128, Ж = 0, 1 — Е получена при аналитической деформации S, 2 — Е получена при неаналитической деформации 5 с охватом особенностей, 3 — Е получена при неаналитической деформации 5 без охвата особенностей.
Рис. 2. Диаграммы для сфероида при ка = 1, ке = 5, N = N1 = 128, Ж = 0, 1 — Е получена при аналитической деформации S, 2 — Е получена при неаналитической деформации 5 с охватом особенностей, 3 — Е получена при неаналитической деформации 5 без охвата особенностей.
Точки, в которых нарушается эта взаимная однозначность, удовлетворяют соотношению
(г '(0) + ¡>(9)} = 0 (8)
причем учитываются лишь те корни, которые лежат на комплексной плоскости z внутри контура С. Этот факт позволяет определять для разных тел критические значения параметра 5, т.е. такие значения, при которых контур в процессе деформации доходит до особых точек отображения (6). Так, например, для эллипсоида вращения [5, 13]
S max = ln
(Vw/e),
где 8 — эксцентриситет эллипса в сечении тела, для тела вращения с сечением в виде многолист-ника с q лепестками, то есть при г(в) = = е + а со$(#0),
г I-;—;- л
8 max = - "ln
Vl + т2(q2 -1) -1
т = a/c.
т(# +1)
В общем случае критическое значение параметра 5 определяется численно с помощью решения уравнения (8).
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Рассмотрим вначале задачу дифракции плоской волны
u = exp{-ikr [sin В sin В 0cos(9 - ф 0) +
(9)
+ cos В cos В 0]},
падающей под углами ф 0 = 0, В 0 = п/2 на сфероид с полуосями ka = 1, kc = 5 (большая полуось —
вдоль оси z), на котором выполнено краевое условие (2) при Ж = 0.
На рис. 1 и 2 изображены соответственно невязки и диаграммы рассеяния, полученные с помощью МНП при N = N1 = 128, где N — уровень аппроксимации неизвестной функции, N1 — количество узлов, используемых при вычислении обратного преобразования Фурье функции Грина. На этих рисунках введены следующие обозначения: 1 — поверхность Е получена при аналитической деформации границы рассеивателя, 2 — поверхность Е получена при неаналитической деформации 5 с охватом особенностей путем уменьшения радиуса г ( 0 ), задающего уравнение поверхности 5, на одну и ту же величину А г (расстояние кА от поверхности Е до множества особенностей составляет величину, равную 10- 3), 3 — п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.