МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 533.6.011.5
© 2014 г. С A ТАКОВИЦКИЙ
О РОЛИ БАЛАНСИРОВОЧНОГО ГРУЗА В ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА РЕЖИМЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОЛЕТА
Рассмотрена задача уменьшения аэродинамических потерь на балансировку на режиме сверхзвукового полета. На примерах профиля нулевой толщины и пространственной компоновки самолета с крылом сложной формы в плане выполнен анализ и сопоставление составляющих лобового сопротивления, обусловленных деформацией аэродинамической поверхности и размещением балансировочного груза. Показано, что минимальные значения аэродинамического сопротивления достигаются при комплексной оптимизации с включением массы балласта в состав варьируемых параметров.
Ключевые слова: сверхзвуковой полет, профиль, самолет, крыло, оптимизация, аэродинамическое сопротивление, балансировка, балласт.
Актуальность проблемы продольной балансировки самолета и уменьшения соответствующих аэродинамических потерь возрастает в диапазоне сверхзвуковых скоростей полета. С одной стороны, это обусловлено увеличением вклада в создание подъемной силы элементов фюзеляжа и силовой установки, расположенных на большом расстоянии от центра тяжести. С другой стороны, по причинам, связанным с вопросами экологии и безопасности, к самолету предъявляется требование двухрежимности полета, для которого характерно смещение аэродинамического фокуса при переходе от дозвукового к сверхзвуковому диапазону скоростей. Балансировка обеспечивается созданием необходимого момента тангажа путем отклонения аэродинамических поверхностей, изменением положения центра тяжести посредством перекачивания топлива, установки балансировочного груза. Аэродинамические формы несущих элементов самолета, имеющего продолжительный режим крейсерского полета, профилируются по условию самобалансировки.
При близком расположении центра тяжести и аэродинамического фокуса самолета выполнение балансировочного требования достигается практически без потерь аэродинамического качества. Увеличение запаса статической устойчивости сопровождается ростом лобового сопротивления по нелинейному закону. Аналогичный результат получается для неустойчивого самолета. Применение крыла сложной формы в плане, имеющего в корневой части наплыв большой стреловидности, позволяет уменьшить диапазон изменения положения аэродинамического фокуса [1]. Для балансировки интегральной компоновки с несущим фюзеляжем применяют балласт. Вес балансировочного груза, размещенного в носовой части экспериментального аппарата Х-43, составляет около 30% от суммарного веса [2]. С одной стороны, применение балласта свидетельствует о недостатках компоновочного решения по распределению массы конструкции, полезного груза и аэродинамической нагрузки. С другой стороны, включение массы балласта в состав варьируемых параметров позволяет получить более общее решение по сравнению с традиционным подходом.
В настоящее время разработаны эффективные методы практической оптимизации, позволяющие находить аэродинамические формы с минимальным сопротивлением
при различных геометрических и аэродинамических ограничениях. При решении балансировочной задачи дополнительные условия связаны с подъемной силой и моментом тангажа [3—6]. Задача осложняется эффектами аэродинамической интерференции между отдельными частями самолета. Оптимальные формы элементов в изолированном состоянии и в составе компоновки существенно отличаются [7, 8]. Плохая обусловленность целевой функции снижает надежность простейших оптимизационных методов, таких как метод покоординатного спуска или градиентный метод. Даже при варьировании небольшого числа параметров линейная скорость сходимости оказывается недостаточной. Характерные особенности оптимальных форм устанавливаются в рамках упрощенных постановок [9—12]. Локальные модели сверхзвуковых течений позволяют связать изменение поверхностного давления в некоторой точке с деформацией формы в ее окрестности. Суммирование аэродинамической нагрузки по поверхности самолета дает аналитическое представление целевой функции и функций ограничений. Информация о свойствах целевой функции, представляемая аппроксимациями матрицы Гессе и вектора градиента, обеспечивает ускорение сходимости.
В настоящей работе на примере компоновки сверхзвукового самолета получено решение задачи по уменьшению аэродинамических потерь на балансировку в продольном движении. Определены оптимальная форма срединной поверхности крыла и относительный вес балласта при различных запасах статической устойчивости. Проведено сопоставление с аналитическим результатом для плоской задачи в линейной постановке.
1. Аналитическое решение плоской задачи. Наряду с численной оптимизацией большое значение имеют исследования в рамках упрощенных моделей течения, позволяющие получить решение в аналитическом виде и установить важнейшие особенности оптимальных аэродинамических форм. Для анализа возможности использования балласта при уменьшении балансировочных потерь рассмотрим решение оптимизационной задачи для профиля нулевой толщины. Предполагаем отсутствие вязких сил, а давление на профиле вычисляем по формуле Аккерета.
Хорда профиля — отрезок единичной длины, определяющий ось х с х = 0 на передней кромке. Угол атаки а отсчитывается от оси х. Для решения задачи используем подход, впервые примененный в [12]. Хорда профиля разбивается на n отрезков одинаковой длины. Концы i-го отрезка имеют координаты xi = (i — 1)/n и xi +1 = i/n. Деформация профиля представляется смещением отрезков относительно хорды, а угол отклонения определяет изменение местного угла атаки. В предположении о малости
деформации местный угол атаки i-го отрезка равен ai = а — y], где y] = (yi + 1 — y)/(xi +1 — x), а ординаты yi, yi +1 вершин отрезка определяются как расстояние до хорды. Смещение вершины отрезка в подветренную сторону соответствует положительным значениям ординаты.
Рассмотрим случай, когда профиль обладает статической устойчивостью. Аэродинамический фокус, определяемый как точка приложения приращения подъемной силы при изменении угла атаки, находится на середине профиля xF = 0.5. Таким образом, для координаты xg, которая задает положение центра тяжести профиля без балласта, выполняется условие xg < 0.5. Дополнительный балансировочный груз размещается в кормовой части таким образом, что действующая на него сила тяжести приложена в точке с продольной координатой, равной единице. Момент тангажа рассчитывается относительно центра тяжести профиля с учетом балласта, который удален от вершины профиля на расстояние xgb = xg + g/(1 + g) (1 — xg). Здесь g = mb/m, m — масса профиля без балласта, mb — масса балласта.
Коэффициенты силы лобового сопротивления сх, подъемной силы cy и момента тангажа mz, действующих на профиль при числе Маха M, представляются суммами, взятыми по всем элементам профиля
п л / п л /
= п-1 V 4 ( а - y') , cy = п-1 V 4 ( а - yf ), x £ ß , y £ ß ,
I = 1 I = 1
m = п-1 £ 4( а - y't)(Xgb -Xi+0.5) z L ß
i = 1
Здесь и далее приняты обозначения + 0 5 = (xt + xt +1)/2, ß = Jm2 - 1 .
Плоский профиль под углом атаки а0, который определяется из условия равенства подъемной силы и силы тяжести профиля без балласта, имеет следующие аэродина-
2
мические характеристики cx0 = 4 а0 /ß, cy0 = 4a0/ß, mz0 = 4a0(xg — xF)/ß.
Примем за целевую функцию отношение коэффициента силы лобового сопротивления сх сбалансированного профиля к коэффициенту cx0. Целевая функция минимизируется при условиях сохранения несущих свойств с учетом массы балласта — cy = = (1 + g)cy0 и продольной балансировки — mz = 0. Задача поиска минимума имеет следующую математическую формулировку:
п
Cx -1 i х - 2 -2
— = п > (а -yt) а0 = min
i = 1
п
1 £ (а - yt) = (1 + gH (1.1)
i = 1
п
1 £ (а - y')(Xgb - Xi + 0.5) = 0
п
-1
п
i = 1
п
-1
п
i = 1
Решение может быть найдено с помощью метода множителей Лагранжа. Однако в данном случае эффективен простой подход, основанный на уменьшении числа независимых переменных. Условие, накладываемое на подъемную силу, позволяет исклю-
п
чить из анализа угол атаки деформированного профиля а = (1 + g)а0 + и-1 Vу). Учи-
г = 1
тывая, что передней и задней кромкам профиля соответствуют нулевые значения ор-
п
динаты, устанавливаем справедливость соотношения V у) = 0 и, следовательно
г = 1
а = (1 + g)ao (1.2)
Из условия равенства нулю момента тангажа определяется относительная масса балласта
п
g = т = 1 - - 2(па0)-1 Vу'х+0.5 (1.3)
т ¿-I
г = 1
Таким образом, задача сводится к нахождению безусловного минимума функции, зависящей исключительно от геометрических параметров
с
Сх0
Сх -1 V-1
г: =п X
I=1
2(1 - х.) - 2(па0) XУ'Х
1 = 1
ао
= ГП1П
(1.4)
Экстремальные значения параметров, задающие профиль с минимальным балансировочным сопротивлением, определяются из условия равенства нулю градиента целевой функции. Взяв частные производные и выполнив простые преобразования, находим соотношение, справедливое для всех I
У±
ао
(
= 2(2х1 - 1) 1 - х. - (пао) 1XУг
' Х1 + 0.5
1 = 1
Сделав в этом уравнении предельный переход при п ^ да, получаем условие в интегральной форме
у = 2 ( 2 х - 1) ао
1 - х. - а0 ухйх I
о
(1.5)
Для определения интеграла I = а01у'xdx левую и правую части уравнения (1.5)
о
1
умножаем на х и интегрируем вдоль хорды профиля I = 2(1 — xg — I) J( 2x — 1)xdx =
о
= 1 (1 - Xg - Д I = 1 (1 - Xg)
Таким образом, производная у' представляется линейной функцией продольной координаты х, а средняя линия оптимального профиля является элементом параболы
У = 3 ао (1 - х.)( 2х - 1), у = 2 ао (1 - х.)х(х - 1)
При этом экстремальные значения угла атаки, относительной массы балласта и целевой функции, согласно (1.2)—(1.4), составляют
а = 2 (1 - х. ^
т = 1 (1 - 3х.), ^ = 3(1 - х.)2 т 2 с„
хо
Учитывая, что масса балласта не может быть отрицательной величиной, заключаем, что данное решение справедливо при xg < 1/3. Отметим, что при любых условиях установка балласта приводит к смещению центра тяжести профиля к координате xgb = 1/3.
Несложно показать, что при 1/3 < xg < 1/2 применение балласта н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.