ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2004
УДК 539.375
© 2004 г. Мирсалимов В.М., Гаджиев Г.Х.
О РОСТЕ ТРЕЩИН ВО ВТУЛКЕ СОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА КОНТАКТНОЙ ПАРЫ
Рассматривается задача механики разрушения для составного цилиндра (втулка и подкрепляющий цилиндр) контактной пары. Принято, что при многократном возвратно-поступательном движении плунжера происходит разрушение материала втулки при трении, которое вызвано контактным взаимодействием и сопровождается совместным действием силовой нагрузки и температуры. Рассмотрен расчет для контактной пары применительно к скважинным штанговым насосам.
1. Практика эксплуатации контактных пар втулка-плунжер показывает, что разрушение материала втулки происходит на пятнах фактического касания в тонких приповерхностных слоях путем образования микротрещин. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние втулки составного цилиндра в процессе работы контактной пары.
Пусть в упругой втулке, подкрепленной с натягом внешним упругим цилиндром, вблизи поверхности трения имеется N0 прямолинейных трещин длиной lk (k = 1, 2, ..., N0). Режимы работы контактной пары, в которой могут возникнуть остаточные деформации, считаются недопустимыми. В центрах трещин разместим начало локальных систем координат xk0kyk, оси которых 0kxk совпадают с линиями трещин и образуют углы ak с осью 0x. Берега трещин свободны от внешних нагрузок.
Отнесем составной цилиндр контактной пары к полярной системе координат r0, выбрав начало в центре концентрических окружностей L0, L и L1 с радиусами R0, R и R1, соответственно. Будем считать, что внутренний контур втулки близок к круговому. Известно, что реальная поверхность втулки никогда не бывает абсолютно гладкой, а имеет неровности, являющиеся неизбежным следствием процесса технологической обработки. Рассмотрим некоторую произвольную реализацию шероховатой внутренней поверхности втулки составного цилиндра. Выполняются условия плоской деформации.
Представим границу внутреннего контура втулки L0 в виде r = р(0), р = R0 + еН(0), где е - малый параметр, Rmax/R0; Rmax - наибольшая высота неровности внутреннего
профиля втулки; H(0) = ^¡°= 0 (a°kcosk0 + Ь°к sink0).
Краевые условия рассматриваемой задачи механики разрушения имеют следующий вид:
on = -p(0), Tnt = -fp(0) при r = р на площадке контакта, an = 0, (1)
Tnt = 0 при r = р вне площадки контакта;
b . b 0.0 b . b 0.0 n 0.0 „
ar - ixr0 = ar - ixr0, vr - iv0 = vr - iv0 + g(0) при r = R; ar - iTr0 = 0
при r = R1; на берегах трещин an = 0, Tnt = 0.
Втулка наружной поверхности подкреплена с натягом g(0) цилиндрической обоймой. В граничных условиях (1) принято, что в зоне контакта касательное напряже-
ние связано с контактным давлением р(0) по закону Кулона; / - коэффициент трения фрикционной пары; п, Г - натуральные координаты; иг, и0 - соответственно, радиальная и касательная составляющие вектора смещений точек контура Ь. Будем считать, что контактное давление и угол контакта, определяемые из решения контактной задачи о вдавливании плунжера о втулку составного цилиндра, известно [1]. В начальной стадии образования микротрещин их размер гораздо меньше толщины втулки.
Напряжения и перемещения в составном цилиндре ищем в виде разложений по малому параметру е, в которых пренебрегаем, для простоты, членами, содержащими е в степени выше первой. Значения компонент тензора напряжений при г = р(0) найдем, разлагая в ряд выражения для напряжений в окрестности г = Я0.
Используя метод возмущений, приходим к последовательности краевых задач механики разрушения: в нулевом приближении
Ь(0) (0),т Ь( 0) А,(0)/-т г,
ог = -р (0), тг0 = -/р (0) - на площадке контакта при г = Я0;
Ь( 0) „ Ь( 0) „
ог = 0, тг 0 = = 0 - вне площадки контакта;
о0(0) - »тО00) = оЬ(0) - »тТ , и0(0) - и0(0) = иЬ(0) - 0) + *0) при г = Я; (2)
0(0) п 0 (0) „ „ Ь(0) „ Ь(0) „ -
ог = 0, тг0 = 0 при г = Я1; оп = 0, тп = 0 на берегах трещин.
В первом приближении
о^(1) = -р(1)(0) + Ы, х^01)1 = -/р(1)(0) + Т на площадке контакта при г = Я0;
Ь( 1) ЛГ Ь( 1) гг,
ог = Ы, тг0 = Т вне площадки контакта;
о0(1) - »Т001) = оЬ(1) - »тЬ01), и0(1) - и0(1) = иЬ( 1) - и1) при г = Я; (3)
0(1) П 0 (1) п п Ь(1) п Ь(1) п -
о/ = 0, тг0 = 0 при г = Я1; оп = 0, тп) = 0 - на берегах трещин.
д Ь(0) д Ь(0)
Здесь N = -Ж0) + 2т« ± ; Т = (о0(0) - о«0)) ± ™ - Щ.) **.
Согласно теории квазихрупкого разрушения Ирвина-Орована [2] параметром, характеризующим напряженное состояние в окрестности трещины, является коэффициент интенсивности напряжений. Следовательно, ответственным за рост трещины в материале втулки составного цилиндра контактной пары можно считать значения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершины трещины.
Для прогнозирования развития трещин в составном цилиндре контактной пары нужно определить коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности концов трещин во втулке. Для этого надо решить краевые задачи (2), (3) единообразным способом.
Перейдем к построению решения задачи в нулевом приближении. Краевые условия (2) с помощью формул Колосова-Мусхелишвили [3] можно записать в виде граничных задач для двух пар комплексных потенциалов Ф(0)(г), ^(0)(г) и ф00) (г), ¥00) (г)
Ф(0)(Т0) + Ф(0)(Т0) - е2;0[Х0Ф(0)'(Т0) + V0)(Т0)] =
_ [-(1-1/)р(О)(0) на площадке контакта, (4)
[ 0 вне контактной площадки;
Ф(0)(т) + Ф(0)(т) - [тФ(0)(т) + ¥(0)(т)]е2ю _ Ф00)(т) + Ф00)(т) - [тФ00)(т) + ¥00)(т)],
)
кф "(х) - Ф(0)(т) + [тФ (х) + ^ °;(х) ] в2 ,и =
) V
(°ъ Л1 2;е
О
= о\ к°Ф°0)(х) - Ф°0)(х) + [хФ°0)'(х) + ¥°0)(х)]е2'е [• + 2О°„(х),
Ф°°'(хх) + Ф°°)(т1) - [Х1Ф°°' (хх) + У0°;(хх)]е2'";
(0)'
„(0),
2,е
Ф(0)(гп) + Ф(0)(гп) + гпФф)'(гп) + у(0)(гп) = 0 при \гп\ < 1п, п = 1,2,..., N°. (5)
где кь = 3 - 4ц; к0 = 3 - 4ц0; х0 = Л0ехр(г'е); х = Яехр(Ш); X! = ^ехрО'е); О, О0 - модули сдвига материалов втулки и подкрепляющего цилиндра; ц, ц0 - коэффициенты Пуассона материалов втулки и подкрепляющего цилиндра.
Комплексные потенциалы Ф(0)(г), у ;(г) и Ф°0) (г), у°0) (г), дающие решение граничной задачи (4), (5), ищем в виде [3, 4]
Ф(0)( г) = Ф10)( г) + Ф20)( г) + ф30)( г), у(0)( г) = у<0)( г) + уД г) + у3°)(г),
Ф10)(г) = X акгк, у<0)(г) = £ с/, ф20)(г) = 2П£ |
к =
N°
0
1-гк '
к = 1-/„
¥2 К
(г) = 2П£е I
к = 1
N° 1к
Ф3Щ<г) = 2п£ I
к= 1-1к N° 1
¥30)<г) = 2Пг £ I
£'(•) т„е'- „(О,, 2 „к (1)
1_г - гк (г - гк)2
йг,
\
г 1- гТ,
-а 1 - ТкТк
к/
,ак (0)^4 (—к к к е „ к (г) + „к (г) е =-— 2
Тк(1- гТк) J
йг,
(6)
к = !-/„
„к (г)е
гТк 2
2
+ „к0)( г) е-
г г( I- гТк) (1- гТк)
йг,
1- ТкТк 2(1- ТкТк)
1- гТк гТк(1- гТк)2 (1- гТк)3 J
Ф°0)(г) = £ йкгк, ¥°0)(г) = £ Ъкгк,
к = -
к = -
где 1к = ге + гк ; гк = е (г - гк); „к (г) - искомые функции, характеризующие скачок перемещений при переходе через линию соответствующей трещины в нулевом приближении.
Удовлетворяя функциями (6) краевым условиям (5) на берегах трещин, получим систему N комплексных сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций (хк)
£ | [Япк(г, х)„к0)(г) + ^к(г, х)„к0)(г)]йг = п(х), |х| < ¡п, п = 1 , 2, ..N0;
к = 1-1к
/п(х) = -[ф10)(х) + Ф^(х) + хФГ (х) + уГ(х)].
ч(°)
(0)'/
,(0),
к
2
,а
к
N° ¡к
Здесь переменные х, г, гп и 1п безразмерные величины, отнесенные к Я0
япк(г, х) _ "-Т
1 е
+ -=-
-21 а \
Т1т - Х„
Тк - Х„
1
1 - ТкТк
Хп(ХпТк -1) Тк(1- ТкХп)2
+е
-21 ап ( Тк Тк - 1 ) ( 2 Хп Т кХп + 3 Хп Тк + 1 ) + Хп Тк ( 1 - Хп Тк ) 2
ТкХ2п(ТкХп -1 )3
-¡ак/
$пк(г, х) _ "^Т"
V Тк - Хп
Тк- Хп -2 а е
(Тк - Хп )2
1 - ТкТк
Хп ( ТкХп -1) Тк( 1- ХпТк )2
-21 а.
+е
1 .ХпХп (1-2 ХпТк + 3 ХпТк -2)
2
пк Хп( 1 - ХпТк)
Х
>ап 0
хе + гп.
Для составления уравнений относительно коэффициентов ак, ск, йк, Ьк используем метод степенных рядов [3]. Бесконечные системы уравнений относительно этих неизвестных не приводим из-за громоздкости. К системе сингулярных интегральных уравнений для внутренних трещин следует добавить дополнительные условия
|g(k0\г)йг _ 0, к _ 1,2,..., N0
(8)
С помощью процедуры алгебраизации [4, 5] система комплексных сингулярных интегральных уравнений (7) при условиях (8) сводится к системе Ы0 х М алгебраиче-
ских уравнений для определения N0 х М неизвестных рп (гт), где п = 1, 2, ..., Ы0, т = 1, 2, ..., М, г = 1, 2, ..., М - 1
М N0 __М
М X X 1к [рк(гт)Я + Рк(гт) ^пк(1кг т' 1п Хг)] _ /n(xг), X Рп(гт) _ 0 (9)
т_1 к_1 т_1
где гт = соз[(2т - 1)/2М]п, хг = со8(пг/М).
Если в (9) перейти к комплексно-сопряженным значениям, то получим еще N0 х М алгебраических уравнений. Для коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности концов трещин в нулевом приближении находим
М
К(0) - о _ ^М Х(-1 )тр0(гт)^
2 т - 1, 4М
-п у правой
_1
М
тЛ0) .^(0) /—г 1 V" / пМ + т 0,^
К1п - КП„ _ *1п1пМ X (-1) Рп(гт) ^
2т - 1, --4-М--
- п у левой вершины трещины
_1
(п = 1, 2, ..., N0).
Аналогично можно рассмотреть случай, когда часть трещин одним концом выходит на внутреннюю поверхность втулки. В этом случае число условий (8) уменьшается на число трещин, выходящих на поверхность втулки. Таким образом, для поверхностных трещин условия (8) заменяются на условие конечности напряжений на крае, выходящем на поверхность г = Я0
Х^М , 1 ЧМ + т 0,, Л 2т-1 п , 0 ЛГ ЛГ
Хт _ 1 (-1) Рп (Гт) 4М п = 0, где п = 1, 2, ., N1, N1 - число поверхностных трещин.
1а
к
к
и
После определения искомых величин нулевого приближения, можно перейти к построению решения задачи в первом приближении. На основании полученного ре-
(0) (0) (0) т-т г,
шения находим компоненты напряжений оГ , о0 , х^е . При г = к0 определяем функции N и Т.
Краевые условия (3) можно записать в виде граничных задач для нахождения комплексных потенциалов Ф(1)(г), у(1)(г) и фО^ (г), уО^ (г), которые ищем аналогично (6) с очевидными изменениями. Дальнейший ход решения такой же, как в нулевом приближении.
Полученная система комплексных интегральных уравнений относительно g\ (0,
g\ (I) при дополнительных условиях (8) с помощью алгебраической процедуры сводится к системе N0 х М уравнений для определения N0 х М неизвестных gnl' (}т) при п = 1, 2, ..., N0, т = 1, 2, ..., М. В правую част
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.