МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 593.3
© 2014 г. К. Б. УСТИНОВ О СДВИГОВОМ ОТСЛОЕНИИ ТОНКОЙ ПОЛОСЫ ОТ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Получено и исследовано однородное решение задачи о полубесконечной сдвиговой трещине, проходящей вдоль интерфейса, отделяющего тонкий упругий слой от упругой полуплоскости из материала с отличающимися свойствами. В предположении возможностью пренебрежения влияния нормальных напряжений на сдвиг путем применения двухстороннего преобразования Лапласа задача сведена к задаче Римана. С помощью факторизации получены асимптотические выражения для смещений берегов трещины вблизи и вдали от ее вершины. Показано, что ведущие члены асимптотики смещений берегов трещины вдали от вершины трещины соответствуют смещению стержня при граничных условиях типа упругой заделки, т.е. условиях пропорциональности смещения в точке заделки продольному усилию. Полученные результаты хорошо согласуются с известными численными результатами.
Ключевые слова: отслоение, интерфейсная трещина, факторизация, упругая заделка.
Введение. Решению задачи об отслоении полосы от полуплоскости в различных вариантах постановки посвящена достаточно обширная литература [1—14]. В большинстве случаев авторов интересовало поведение решения вблизи вершины трещины — вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Однако интерес к задаче этим не исчерпывается. Так в задачах об отслоении покрытий и потери устойчивости большое значение имеет поведение поля смещений вдали от вершины трещины [15]. Зная эту асимптотику, при решении задачи об отслоении слоя конечной толщины его можно заменить эквивалентным стержнем (балкой, пластиной), при этом указанная асимптотика дает граничное условие в точке заделки, которое будет в общем случае условием не жесткой, а упругой заделки. Коэффициенты упругой заделки для ряда случаев были посчитаны либо методом конечных элементов [16], либо путем численного решения системы интегральных уравнений (записанных при некоторых упрощающих предположениях) [15]. В настоящей работе получены простые асимптотические формулы для коэффициента упругой заделки, связывающего главный вектор сдвиговых сил на продолжении интерфейса и начальные смещения точки эффективного стержня в точке заделки. Решение получено для двумерного случая, изотропной линейной упругости, произвольного сочетания упругих постоянных отслаиваемой приповерхностной полосы и полуплоскости, а также допустимости пренебрежения перекрестным влиянием нормальных и касательных напряжений на соответствующие смещения на линии продолжения трещины и влияния противоположных концов отслоившегося слоя друг на друга (допустимости рассмотрения слоя как полубесконечного).
1. Постановка задачи. Рассматривается однородная изотропная упругая полуплоскость у < 0, к которой вдоль линии у = 0, х < 0 (фиг. 1) присоединена полоса 0 < у < 1
у=1 у1
E(2), и(2)
О^л), 0Ху(л) X Е(1), и(1)
Фиг. 1
из другого материала. В постановке плоской деформации рассматривается однородная задача: предполагается, что все поверхности свободны от напряжений
оуу = оху = 0 при у = 1, у = 0, х > 0 (1.1)
а нагрузка с эквивалентной главной силой Т приложена на бесконечности, так что
о
- Т = | оху (х,0) йх (1.2)
-ж
Все величины, относящиеся к полуплоскости у < 0, будут обозначаться индексом 1, все величины, относящиеся к полосе 0 < у < 1, — индексом 2. Модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов полуплоскости и полосы обозначим Е(г), и(г), г = 1,2, соответственно. Условия сопряжения на границе имеют вид
о® = о® а® = о% и(1) = и(2), и(1) = и(2) при у = 0, х < 0 (1.3)
Здесь и,о — компоненты вектора смещения, ахх, ауу, аху — компоненты тензора напряжений.
В окрестности нуля поле напряжений имеет корневую особенность
1 Х
\1-2пх [X
41
О ((-х) (1.4)
В случае различных значений упругих постоянных здесь могут присутствовать осциллирующие члены. Однако в рассмотренной ниже задаче (благодаря введенным упрощениям) осцилляции не возникают. Данное соотношение будет использовано в дальнейшем.
Дальнейшие выкладки проделаем в предположении допустимости пренебрежения влияния нормальных напряжений на сдвиг, т.е. распространив первое из условий (1.1) на всю ось х . Заметим, что подобное пренебрежение заведомо не хуже широко распространенного приближения стрингера, также рассматриваемого в настоящей работе.
Воспользуемся результатами работы [4], в которой дается связь между образами двустороннего преобразования Лапласа от производной компонент вектора смещения
от
^ (р) = \ д и() (х,0> -рхйх (1.5)
■' дх
-со
и напряжениями
да
qx (p) = J сxy (x,0>-pxdx (1.6)
для полуплоскости у < 0
g(p) = i sgn (p) qx (p), p e L (1.7)
где Ь — мнимая ось; и для полосы 0 < у < 1 (при заданных граничных условиях свободной внешней границы о уу = о ху = 0, при у = 1). Для полосы
gx2) (p) =sin p2cos p - p qx (p) (1.8)
2 sin p - p
Рассмотрим преобразование Лапласа от следующих величин:
(2) "
F+ (p) = Jd[u(2) (x,0) - u(1) (x,0)]e~pxdx (1.9)
о
0
F- (p) = J ^ (x,0) e-pxdx (1.10)
—да
Здесь использовано равенство нулю скачка смещения для отрицательной полуоси и равенство нулю напряжений для положительной полуоси. На основании (1.3) подынтегральное выражение (1.9) тождественно равно нулю для x < 0, и, следовательно, F+ (p) аналитична в правой полуплоскости Re p > 0. Аналогично, согласно (1.1) подынтегральное выражение (1.10) равно нулю для x > 0, и, следовательно F_ (p) аналитична в левой полуплоскости Re p < 0.
Комбинируя (1.5)—(1.10) получаем уравнение задачи Римана
F+ (p) = K (p) F_ (p), p e L (1.11)
K (p) = (sin p cos p - p) /d - i n sgn (p/i) (1.12)
П = E(2) / E(1) (1.13)
П' = 1 -v(2) -n(1 — v(1)) (1.14)
Основная сложность состоит в факторизации коэффициента K (p), т.е. представление его в виде
K (p) =л-1 (^Л + (p) (1.15)
После нахождения Л± (p), окончательное решение дается с помощью теоремы Ли-увилля
F+ (p) = Л + (p)n (p), Re (p) > 0 (116)
F_ (p) = Л_ (p)n (p), Re (p) < 0 .
Здесь П (р) — функция, подлежащая определению. Поскольку индекс (в определении [4]) коэффициента краевой задачи, определяемой уравнением (1.12), равен минус единице, данная функция может содержать лишь одну константу и имеет вид
П (p) = По pn
(1.17)
Здесь п — целая постоянная, определяемая характером поведения решения в нуле либо на бесконечности, П0 — постоянная, определяемая из граничных условий.
Условия (1.2), (1.4) для интересующих величин после трансформации принимают, соответственно, вид
F_ (p) = T + o (1), Re p ^ 0 -
F+ (p) Kii + 0 (p ~3/2), Re p
(1.18) (1.19)
Данные условия будут использованы для определения П (р).
2. Решение задачи Римана. Уравнения (1.12), (1.14) могут быть записаны в виде (здесь Ь — мнимая ось):
Л-1 (pM + (p) = -ctgpGi (p), p e X
Gi (p) = -tg p
sin p cos p - p . / —t-—i-f- -i n sgn (p/i)
_ sin p - p
, p e X
(2.1) (.2)
Применением стандартного приема факторизации арктангенса через гамма-функцию, решение (2.1) может быть выражено
л + (p)«• Л-(p)= (p)
(2.3)
J± (p) = expi-;1 | ln 2n
,, I sh 5 ch 5 - 5
th 51-2-2— П sgn 5
sh 5 - 5
d5
15 - p\
(2.4)
3. Некоторые вспомогательные функции. Подынтегральная функция (2.4) имеет в нуле разрыв первой производной. Данный разрыв соответствует появлению в разложениях вблизи нуля факторизующих функций членов вида np log np. Представляется удобным выделить некоторую функцию (умножить и разделить на нее функцию (2.2)), терпящую подобный разрыв, для которой факторизация выполнима. В качестве такой вспомогательной функции возьмем
Ф1 = 1+М = p еX
Vi - b2p 2 ф1- (p)
Ф1± (p) = Фж± (p) Фт (p) = 1 + b|p/i|
1
Ф^ - (p)
Ф D+ (p)
фп- (p) д/i-
1 - b2 p2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Здесь b — коэффициент при разрыве производной в нуле.
Знаменатель (3.1) при этом факторизуется элементарно
ФD± (p) = (1 ± bp)+ 1/2 (3.5)
Факторизация числителя (3.1) может быть осуществлена [17] путем последовательного логарифмирования и дифференцирования выражения (3.1):
фУ+ (р) фУ- (Р) = -ib sgn (p/i ) (36)
Фn + (p) ФN- (p) 1 + b \p/i\ '
Данная процедура для Фурье-образов подобной функции проделывалась в работах [18, 19]. Несмотря на наличие разрыва правой части в нуле, частные
ф^ (р) /фN+ (р), ф^ (р) /фn- (р) могут быть вычислены с помощью интегралов Коши
Ф 'N± (Р) = X Г-ib sgn (z/i) dz (3 7)
ФN± (p) 2ni L 1 + b |z/i\ z - p '
Вычисляя интегралы в (3.7) получаем
ф 'n± (Р) = ±b nbP + 2ln (±bP) (3 8)
Ф n± (p) ~ 2n (b2p2 + 1) .
и решая получившиеся дифференциальные уравнения имеем
Ф n± ip) = exp
±1 r ns/2±ins dç
v п 0 Ç2 +1 ,
(3.9)
Здесь логарифм определяется так, чтобы разрез для ± (р) проходил в правой (левой) полуплоскости, соответственно. Интегралы в (3.9) можно выразить через комбинации специальных функций — дилогарифмов (Ы2 (х)):
Фж± (р) = (1 + Ь2р2}±1/4ехр-[1п (±Ьр) (1п (1 - 1Ьр)~ 1п (1 + 1Ьр)) +
2п (3.10)
+ Ы2 (Ьр) - Ы2 (—Ьр)]
Подставляя (3.9) и (3.5) в (3.2) окончательно получаем
( Ьр \
1 СП£/2 + 1пд
Ф1± (p) = (1 ± bpf1/2 exp
± 1 Гnç /2 + ln g dç
2
п 0 ç+1
(3.11)
или через специальные функции
±1/4
Ф
1± (p) = (1 ± bpf1/2 (1 + b2p2)4 X
х exp —[ln (±bp) (ln (1 - ibp) - ln (1 + ibp)) + Li2 (ibp) - Li2 (-ibp)] 2n
(3.12)
Следует заметить, что, в конце концов, не важно, каким образом были получены соотношения (3.11), (3.12); существенно то, что выражения ими определяемые являются аналитическими функциями справа и слева от мнимой оси (за исключением начала координат, где они имеют логарифмические особенности), соответственно, и то, что они обращают (3.1) в тождество. Оба эти утверждения проверяются непосредственно.
В дальнейшем нам понадобятся как сами выражения (3.11), так и их производные. Выпишем необходимые комбинации
Ф1± (Р) = +ь пЬр + 21п (±Ьр) ь
Ф1± (р) ~ 2п (Ь2р2 +1) 2 (1 ± Ьр)
Вблизи нуля справедливы следующие разложения:
ФкСр) = -[! + ^Шь + О (р)
Ф1± (р) \-2 п ]
Для функции Ф н + (р):
ФN + (р) = 1 + Ьр [1 - 1п Ьр] + [1 + (Ы^ )21 + О (р2)
л 2 2 \ л ! х '
(3.13)
(3.14)
(3.15)
4. Альтернативное решение задачи Римана. Определение параметра заделки. Умножая и деля правую часть (2.2) на ф1, определяемую (3.1), по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.