АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 2, с. 163-185
УДК 629.78
О СЕМЕЙСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2008 г. А. Д. Бршно, В. П. Варин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва Поступила в редакцию 14.12.2006 г.
Рассматривается плоская круговая ограниченная задача трех тел. Она описывается автономной га-мильтоновой системой с двумя степенями свободы и одним параметром ц б [0, 1/2], который является отношением масс двух массивных тел. Периодические решения этой задачи образуют двупара-метрические семейства. Предлагаются методы вычислений симметричных периодических решений для всех значений параметра ц. Каждое решение имеет период и два следа: плоский и вертикальный. Две характеристики семейства, т.е. его пересечения с плоскостью симметрии, изображаются в четырех системах координат: двух глобальных и двух локальных, относящихся к двум массивным телам. Также описываются порождающие семейства, т.е. пределы семейств при ц —► 0, которые известны почти в явном виде. В качестве примеров рассматривается семейство с, выходящее из неподвижной коллинеарной точки L1, и семейство i, которое начинается прямыми круговыми орбитами вокруг тела P1 большей массы. Дается полное описание порождающих семейств с и i при ц = 0.
PACS: 95.10.Ce
введение
Пусть три точечных тела P1, P2 и P3 движутся в одной плоскости под действием закона тяготения Ньютона. Тела P1 и Р2 имеют массы m и m2 соответственно, а масса тела Р3 настолько мала, что ее влиянием на тела P1 и Р2 можно пренебречь. Будем говорить, что масса тела P3 равна нулю. Тогда тело P2 совершает кеплерово движение относительно тела P1. Если тело P2 движется по окружности, то задача о движении тела P3 называется плоской круговой ограниченной задачей трех тел, коротко - ограниченной задачей. Впервые эту задачу сформулировал Л. Эйлер в 1772 г.
Будем считать, что единицы массы, времени и расстояния выбраны так, что сумма m + m2, гравитационная постоянная, расстояние P1P2 и угловая скорость P2 относительно P1 равны единице. Единственным параметром тогда будет ц = = m2/(m + m2) е [0, 1/2]. Если ввести вращающуюся вместе с P2 систему координат, то в этой (синодической) системе координат с центром в P1 положение х1, х2 тела P3 описывается системой Гамильтона с двумя степенями свободы и одним параметром ц (Брюно, 1990, гл. III, § 1):
xj = ЭH/Эyj, yj = -dH/d xj, j = 1, 2, (1)
где
H = H0 + |R,
TT 1, 2 2ч -1
Ho = 2 (У1+ У2) + *2У1- Xi У2- r ,
-1 -1 2 2 R = r + x1 - r2 , r = J x1 + x2,
(2)
Г 2 = л/( Х1- 1 )2 + *2,
а точка над символом означает дифференцирование по времени t.
При ц Ф 0 задача не интегрируется в конечном виде. При ц = 0 задача интегрируется и можно описать все ее решения, что сделано в (Брюно, 1990, гл. Ш-У1). Фазовое пространство этой задачи при ц = 0 устроено сложно из-за столкновений тела Р3 с телом Р2. При ц > 0 эти столкновения вызывают сингулярные возмущения, приводящие к дальнейшему усложнению строения фазового пространства. При этом наибольший интерес представляют семейства периодических решений, ибо они образуют как бы скелет некоторой части фазового пространства. При фиксированном значении параметра ц периодические решения системы Гамильтона образуют однопараметрические семейства; при переменном ц - двупараметрические.
Орбита - это проекция решения х(), у^),} = 1, 2 системы (1) на плоскость х1, х2. Будем называть глобальной кратностью синодического периодического решения число оборотов его орбиты вокруг тела Р1. И хотя кратность может изменяться вдоль семейства при переходе через орбиту столкновения Р3 с Р1, она удобна для классифика-
163
5*
ции семейств. Если пересекаются два семейства периодических решений и периоды на одном семействе в q раз больше периодов на другом семействе, то будем говорить, что первое семейство имеет локальную кратность q.
Система (1) переходит в себя при подстановке
t, ХЪ x2, yi, У2 -" — t, Xi, —x2, —yl, y2> (3)
которая является ее симметрией. При симметрии (3) плоскость х2 = y1 = 0 является инвариантной и называется (Брюно, 1990, гл. III) плоскостью симметрии П. Решения системы (1), переходящие в себя при подстановке (3), являются симметричными. Симметричное периодическое решение два раза пересекает плоскость симметрии. По этим пересечениям удобно отслеживать взаимные положения таких решений.
Семейство периодических решений системы (1) при фиксированном значении параметра | называется натуральным, если оно продолжено в обе стороны до естественных концов, которыми могут быть окончание в неподвижной точке или на другом семействе периодических решений, стягивание орбиты в точку или ее уход в бесконечность, стремление периода к нулю или бесконечности.
Теперь мы начинаем новый цикл работ по изучению и вычислению основных семейств периодических решений для всех значений параметра | е [0, 1/2]. До сих пор их изучали и вычисляли либо для фиксированных значений параметра либо для малых Для | = 1/2 это сделано в работах (Strömgren, 1935) и (Bartlette, 1964). Для | = |M = 0.1215585, соответствующего случаю Земля (Рх)-Луна (P2), - в (Broucke, 1968). Для | = | = 0.00095388, соответствующего случаю Солнце (Рх)-Юпитер (Р2), - в (Брюно, 1993; 1996). Для | = |д = 5.178 х 105, соответствующего случаю Солнце (Рх)-Нептун (Р2), - в (Kotoulas, Voyatzis, 2004; Voyatzis, Kotoulas, 2005; Voyatzis и др., 2005). Для | = 0 (порождающие семейства) -в (Брюно, 1990; 1993; 1996; Henon, 1997; 2001). Некоторые специальные семейства изучались также для других значений
Интерес к такому изучению вызван стремлением описать движение малых тел в Солнечной системе (астероидов, объектов пояса Койпера (Kotoulas, Voyatzis, 2004), спутников и частиц колец планет-гигантов и т.д.) и в системах двойных звезд (планет, пылевых частиц), а также - потребностями навигации в Солнечной системе.
Периодические решения ограниченной задачи трех тел рассматривались в книгах (Себехей, 1982), (Брюно, 1990; Henon, 1997; 2001). В (Себехей, 1982, гл. 8, 9) приведены данные о периодических орбитах, известных к 1967 г. Эти данные относятся, главным образом, к решениям первого и второго рода, т.е. к возмущениям круговых и эллиптических орбит. Решения второго вида, т.е. проходящие близко к телу Р2, там не рассматривались, хотя есть приме-
ры вычисленных орбит с этим свойством при малых ц. В книге (Брюно, 1990) изучаются все регулярные возмущения периодических решений, существующих при ц = 0, включая бифуркации семейств. Там систематически изучаются семейства решений-отрезков, что служит основой для изучения сингулярных возмущений периодических орбит, т.е. периодических решений второго вида. В книге (Непоп, 1997) с помощью принципа Брука изучаются простые бифуркации порождающих семейств, состоящих из частей семейств круговых орбит, эллиптических орбит и решений-отрезков. Там также описаны некоторые порождающие семейства или их начальные куски. В книге (Непоп, 2001) с помощью степенной геометрии (Брюно, 1998) изучаются сложные бифуркации порождающих семейств, но нет примеров порождающих семейств.
В данной работе мы предлагаем программу исследований двупараметрических семейств периодических решений, начиная с ц = 0, т.е. с порождающих семейств, и кончая ц = 1/2. Для этой цели мы используем результаты книг (Брюно, 1990; Непоп, 1997; 2001) как стартовую площадку. Мы также используем здесь наш метод компактного представления большого объема данных.
Каждое семейство мы собираемся вычислять для
ц = 0,ц7, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 (4)
и приводить его расположение в фазовом пространстве в виде кривых на плоскости симметрии П (в четырех разных системах координат), а также -периоды его решений, их плоский и вертикальный следы (т.е. индексы устойчивости) - все это в виде графиков. В случае необходимости будем рассматривать и отличные от (4) интересные значения ц (особенно те, при которых происходят бифуркации). Кроме того - приводить наиболее интересные орбиты семейства, места его пересечений с другими семействами и места бифуркаций самого семейства. Сначала вкратце напомним известные свойства семейств периодических решений ограниченной задачи трех тел. Затем с этих позиций рассмотрим порождающие семейства с и I.
о семействах периодических решений
Общие свойства семейств периодических решений системы Гамильтона с двумя степенями свободы приведены в (Брюно, 2006) (подробно) и кратко в (Брюно, 1990, гл. II, § 4). О семействах симметричных периодических решений см. (Брюно, 2006, § 5). Каждое симметричное решение М семейства ^ имеет период Т, след Тг матрицы монодромии системы в вариациях и две точки пересечения с плоскостью симметрии П (через полупериод). Параметром на семействе могут служить значения функции Гамильтона и координаты пересечений с плоскостью симметрии.
В системе (1) при | е [0, 1/2] семейства симметричных периодических решений являются двупа-раметрическими, поэтому они могут иметь особенности коразмерности 2, которые изучены в (Брюно, 1990; 2006). Но при | = 0 система (1) является вырожденной.
В неинтегрируемой системе Гамильтона (1) (при фиксированном | Ф 0) периодические решения образуют однопараметрические семейства. Пределы этих семейств при | —► 0 называются порождающими семействами периодических решений. Во Введении (Брюно, 1990) предложена программа изучения семейств периодических решений ограниченной задачи при малых | > 0 через их порождающие семейства. Для этого надо описать все порождающие семейства. В дальнейшем нас будут интересовать только симметричные периодические решения, которые переходят в себя при подстановке (3) и орбиты которых на плоскости x1, x2 симметричны относительно оси x1. Каждое симметричное периодическое решение представлено двумя точками на плоскости симметрии П. При фиксированном | каждое семейство таких решений представлено на П двумя кривыми - характеристиками семейства.
Изображать характеристики семейств на плоскости П в координатах x1, y2 не удобно, ибо они представляют собой очень тесно расположенные кривые (см. Broucke, 1968). Поэтому мы будем использовать на этой плоскости четыре сист
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.