ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1378-1386
УДК 519.642.5
О СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ БИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА1}
© 2007 г. А. С. Апарцин
(664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 130, Ин-т систем энергетики СО РАН) e-mail: apartsyn@isem.sei.irk.ru Поступила в редакцию 02.02.2007 г.
Дано обоснование сходимости квадратурных методов (правых и средних прямоугольников) численного решения билинейного уравнения Вольтерра I рода. Приводятся также численные результаты для тестовых примеров. Библ. 11. Табл. 5.
Ключевые слова: билинейное интегральное уравнение Вольтерра I рода, квадратуры правых и средних прямоугольников, сходимость, функция Ламберта, саморегуляризация.
ВВЕДЕНИЕ
В [1], [2] рассматривались численные методы решения билинейного уравнения Вольтерра I рода
t 11
JK (t, s )9(s )ds + JJk2 (t, ss2 )9(sj )9(s2 )ds1 ds2 = f( t), t e[ 0, T], (1)
0 0 0
которое возникает, когда нелинейная динамическая система типа вход-выход аппроксимируется квадратичным полиномом Вольтерра, ядра K1(t, s), K2(t, s1, s2) (K2 симметрично по s1, s2) идентифицированы тем или иным способом (например, по методике из [3]) и ставится задача об определении такого входного сигнала ф(0, которому соответствует заданный выход f(t). На тестовых примерах было показано, что, как и в линейном случае, методы правых и средних прямоугольников сходятся по шагу сетки h с порядками O(h) и O(h2) соответственно, а в случае возмущения исходных данных в метрике C они обладают саморегуляризующим свойством.
В этой работе дадим доказательство их сходимости. Хотя основные этапы доказательства сохраняются теми же, что и в линейном случае (см. [4]), их реализация существенно усложняется из-за того, что система сеточных уравнений относительно вектора ошибки содержит и само сеточное решение, а это требует установления его равномерной по шагу сетки ограниченности.
1. АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ
Относительно исходных данных в (1) помимо нужной гладкости будем предполагать, что Kj(t, t) Ф 0 Vt е [0, T и f(0) = 0. Введем обозначения
Lj = max |K 1 (t, s)| > 0, (2)
0 < s < t < T '
L2 = max IK, (t, sj, s2)| > 0, (3)
0 < sj, s2 < t < T t
M2 = max \K2(t, t, s)| > 0, (4)
0 < s < t < T
F = max f (t)| > 0, (5)
0 < t < T
min \K 1 (t, t) = к > 0. (6)
0 < t < T
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00336).
Не уменьшая общности, положим (для сокращения записи) к = 1. В [5]-[7] установлена точная верхняя оценка гарантированной для данных (к, Ьъ М2, ¿2, Р) области существования непрерывного решения ф (^ уравнения (1).
Так, при Ь1 = ¿2 = 0 имеем ф (Г) е С[0, ц, если Т < Т*, где
Т * = —1— (7)
4 М2 К У '
При Ь1 Ф 0, ¿2 = 0 имеем
Ц + 2 М2 Р ( ¿, \ 1 т* = _!-¿-Ь( 1 +-— - — (8)
Если, к примеру, Ь1 = Р = 2М2 = 1, то Т* = 21п2 - 1 ~ 0.3863. При Ь1 Ф 0 и ¿2 Ф 0 величина Т* зависит от знака дискриминанта квадратного трехчлена ¿2х2 + Ь1х + Р.
Например, при В = ¿1 - 4Ь2Р = 0 имеем
2М2
Т*= Ь - -¿-^(1 + 1п(а^)), (9)
¿2
где
Ь^+МЦ (¿2+ М2 )
а = -2М21Г' Ь = 1-21п Р +—¿2Ц—- (10)
Так, если Р = 2М2 = Ь2 = 1, = 2, то В = 0, а = Ь = 2 и, согласно (9), получаем Т* = 1 - 1п 2 ~ 0.3069. Формулы для Т* при В ^ 0 можно найти в [5]. Ниже предполагается, что условие Т < Т* выполнено.
Вводим сетку узлов ti = ¡к, г = 1, п, пк = Ти, аппроксимируя интегралы в (1) квадратурами правых прямоугольников, записываем в очевидных обозначениях сеточный аналог уравнения (1):
к I + к2 Ц К^ кФк Фк = /г, / = 1~П. (1)к
У =1 У = 1 к =1
Для получения сеточной аппроксимации функции ф (0 в ¡-м узле из (1)к имеем квадратное уравнение относительно фк, вещественность корней которого гарантирует неравенство Т < Т*, а выбор нужного корня определяется условием
фк^ ф(0) = КЖо).
Обозначим через фг = ф (ti), г = 1, п, каркас точного решения, а через £к - вектор ошибки сеточного решения:
к г к т .— к-. . ~л
£ = {£г } = {фг - фг }, г = 1, П .
Так как вектор {фг}, г = 1, п, удовлетворяет системе
г г
2
к I Кчффу + к2 II *2», кфуфк = /г - Ъ (ф), г = 1, п, (11)
У=1 У=1 к =1
где
^ ^ и
/ г
^г(ф) = | К! (tг, S )ф( 5 ) + Л К2 (tг, SU S2 )ф( ^ )ф( ^ ) ^ ^ - к I КХу фу + к' Ц К2^ фу фк
0 00 ^ У=1 У =1 к =1
есть суммарная погрешность квадратуры по [0, и [0, ^ х [0, то, вычитая (1)А из (11), получаем относительно еА следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
г г г
ъЕ+ь2ЕЕ+ф^й) = -Вд), г' = ^• (12)
]=1 I=1 к=1
Как отмечено во Введении, СЛАУ (12) от аналогичной СЛАУ в линейном случае принципиально отличает вхождение в (12) векторов {фг-} и {ф^}, i = 1, п. Для получения оценки погрешности
численного решения необходимо предварительно оценить | ф (0| и | ф^ |, i = 1, п.
При различных соотношениях констант Ьъ Ь2, М2, F в [5]-[7] получены оценки вида
|ф(¿)1<Ф(Т), Т < Т*. (13)
Так, при Ь1 = Ь2 = 0 имеем
F
Ф( Т) =
При Ь1 Ф 0, Ь2 = 0 получаем
Ф( Т) = -
Ц,
2 М2 Р
-ехр
ЦТ -2 М2
Ь1 + 2 М2 Р + 2 М2 Р
2М
'1 +
2 М2 Р
ехр-
Ц Т -2 М2
Р)
(14)
¿! + 2М2Р ^ Ц1+2М2Р ,
В (14) Ж - главная вещественная ветвь функции Ламберта (см. [8], [9]).
2
При - 4Ц2Р = 0 имеем
аЦ2 1 1
Ф( Т) =
2М
-1, -ад/Ц^ехр
Ц
-2Ж(Ь - Т)
1 + -1, -а^ехр
Ц
-ж(Ь - Т)
(15)
В (15) а и Ь те же, что и в (10), а Ж(-1, ...) - вторая вещественная ветвь функции Ламберта, определенная на
-1, о'
е
Замечание 1. Функция Ф(Т) играет в теории билинейных уравнений Вольтерра I ту же роль, что и экспонента в линейной теории.
Чтобы показать, что |ф^ | также удовлетворяют неравенству типа (13), нам понадобится следующая
Лемма 1. Пусть X- множество решений числового неравенства
Тогда при а2 > 4Ьс имеем где
ах < Ь + сх , х, а, Ь, с > 0. X = X! и Х2,
Х1 = \х : х< х* =
Х2 = < х : х > х ** =
' - Уа 2 - 4 Ь с 1 2с
1 + л/а 2 - 4 Ьс 2с
а при а2 < 4Ьс получаем X = Л+.
Доказательство очевидно и следует из геометрических соображений. Теорема 1. Справедливо неравенство
у <Ф(т), I = ГТП. (16)
Доказательство. Вычитая (7 - 1)-ю строку из 7-й строки уравнения (1)А, переходя к оценке по модулю и учитывая обозначения (2)-(5), получаем неравенство
i-1 i-1 f i-1 \2 У < F + Lxh+ hM2(^h)2 + 2M2\Ф?|Л£ kl + L2 h£ |Ф;Й j=1 j=1 v j=1 ^
i = 2, и.
Обозначим через x* меньший корень сеточного уравнения
i-1 i-1 i-1 2
xi =
F + L j h £ xj + hM2x2 + 2M2x,h £ x, + L2 h £
x,-
j = 1 j = 1 Согласно лемме 1, при достаточно малом h имеем
М < x*, i = 2, и,
i = 2, и.
j = 1
(17)
(18)
Если ввести замену
|_h| < x* = 1 - л/ 1 - 4M2 Fh
191 <xi 2M2 h .
то получим
0, = h £ x,, 0q = 0, i = 1, и,
j = 1
0i- 0i -1 . -j— x, = -;-, i = 1, и,
(19)
(20)
и подстановка (19), (20) в (17) дает
0 - 0-1 _ F + L о,-1+ L2 02-1
h 1- M2 (0, + 0,-1)
Разностная схема (21) аппроксимирует задачу Коши
, 0о = 0, i = 1, и.
F + L, 0( t) + L202( t)
0'(t) = —- 1 ' ^- 2 v', 0(0) = 0, 0 < t < t,
(21)
(22)
1-2 М20( г)
решением 0*(г) которой и является (см. [5]-[7]) функция Ламберта или (при Ь1 = Ь2 = 0) функция
1 - У1 - 4И2 П
0 *( t) =
2M2
а 0*'(г) = Ф(г), г е [0, Т]. Поскольку х* = (0* - 0*-1 )/И, то справедливость теоремы 1 в силу (18) будет следовать из неравенства
x* <0*'(t,), i = 1, и.
В частном случае, когда Ь1 = Ь2 = 0, погрешность разностной схемы (21) равна нулю, так как
0* = 0*(t,) =
) 1-^/1-4 MM Fih . — ) = --Т77-, i = 1, и,
2M2
и
откуда, в силу монотонного возрастания 0*'(t), имеем
X* = 00 * ( tt ) -0 * ( ti - - ) = 0 *,( t¡), ^ [ ^ 1, fi ] ,
и (23) выполняется. Справедливость (23) в общем случае следует тогда из явности числителя в (21). Теорема 1 доказана.
Замечание 2. Численные результаты показывают, что при замене в числителе (21) хотя бы в одном слагаемом 0i _ 1 на 0i неравенство (23) может нарушаться. Еще одно вспомогательное утверждение содержит
Лемма 2. При достаточной гладкости исходных данных в (1) справедлива оценка
|^(ф) - Ri-1 (ф)| < ch2, i = 2, n, c = const.
Доказательство элементарно и вытекает из стандартной оценки погрешности квадратуры правых прямоугольников.
Теперь можно сформулировать основную теорему сходимости.
Теорема 2. Пусть
Y(Т) = 2h0M2Ф(T) + 2M2ТФ(Т) < 1. (24)
Тогда при достаточной гладкости исходных данных в (1) и h < h0 справедлива оценка
max |eh| = O(h). (25)
1 < i < n
Доказательство. Заменяя i в (12) на i - 1, находим разность между соседними строками СЛАУ (12) с учетом симметрии ядра K2 по второму и третьему аргументам:
i -1 i -1 i -1
h eh + h £ (K hj - K1 )e;h + h2 K2U¡ (9 + 9 )eh + h2(9 + 9h) £ K^ e;h + h2eh £ K^ (9 + 9;h) +
1 = 1 j = 1 j =1 (26) i -1 i -1
+ h2£ £ (K2.. t - K2ij,t)(фk + qhk)e;h = Ri-1(9) - Ri(9), i = 27ñ.
j=1 k=1
Разделим (26) на h, перейдем к оценке по модулю и, учтя (2)-(5), (13), (16), получим
И <_ch_+ L1 + ^M2 CD ( Т ) + 2 L 2 Тф ( Т ) £ ,h, i = 2- (27)
|г|_ 1 - 2 hM2Ф( Т) - 2 M2 ТФ( Т) 1-2hM20( Т)-2М2ТФ( Т) ^ 1 1 ' ' v ;
j = 1
Кроме того, при i = 1 непосредственно из (12) имеем
ih, < R (Ф)| / h
1-2 ЙМ2Ф( T)'
и так как |^1( ф )| < ch2, то (27) выполняется и для i = 1.
Окончательно, усиливая (27) с учетом (24) и применяя разностный аналог леммы Гронуолла— Беллмана, приходим к неравенству
(L1 + 2 М2Ф(Т) + 2 i2TO(T ))T
|eh| < ch e i = О
14 < 1 - Y ( T )e ' i 1 и'
из которого следует (25).
Замечание 3. Если ввести сетку узлов ti _ 1/2 = (i — 1/2)h и потребовать непрерывность К'" , К2'' и
ty t^2
ф'' (t), то приведенная техника обеспечивает доказательство сходимости метода средних прямоугольников с порядком O(h2). Детали доказательства опускаем. Аналогичный результат справедлив и для метода интегрирования произведения (product integration method), рассмотренного в линейном случае в [10] и особенно эффективного, если ядра К1 и К2 сильно осциллируют.
О СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В качестве примера рассмотрим два билинейных уравнения, отличающихся лишь правой частью:
t , t ) 2 j"( 1- (t - 5))ф(5)ds ~2 |ф(s)ds
= t -1
(28)
t ft ч 2
j( 1- (t - s ))Ф( s) ds -2 |ф( s) ds
= t.
(29)
Легко проверить, что (единственным) непрерывным решением уравнения (28) является ф (t) = 1, t е [0, T] VT < <~, при этом k = 1, L1 = 1, M2 = 1/2, L2 = 0 и, так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.