ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 213-228
УДК 519.626
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА УСЛОВНОГО ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ^
© 2015 г. А. В. Чернов
(603950 Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, Нижегородский гос. ун-т;
603950 Нижний Новгород, ул. Минина, 24, Нижегородский гос. техн. ун-т)
e-mail: chavnn@mail.ru Поступила в редакцию 27.05.2014 г.
Переработанный вариант 06.07.2014 г.
Для задачи оптимального управления полулинейным эллиптическим уравнением второго порядка типа диффузии—реакции получены достаточные условия сходимости метода условного градиента без "традиционных" для теории оптимизации требований, обеспечивающих липшицевость производной целевого функционала. В качестве предварительных результатов, представляющих самостоятельный интерес, доказываются утверждения о тотальном (по всему множеству допустимых управлений) сохранении разрешимости, поточечной оценке решений и единственности решения однородной задачи Дирихле для управляемого эллиптического уравнения. Библ. 24.
Ключевые слова: полулинейные эллиптические уравнения типа диффузии—реакции, метод условного градиента, тотальное сохранение разрешимости, оценка решений, единственность решения.
DOI: 10.7868/S0044466915020064
ВВЕДЕНИЕ
Градиентные методы, а также различные их обобщения являются весьма востребованным и надежным средством решения задач минимизации, в частности задач оптимального управления (см., например, [1, гл. VIII], обзор [2], [3, гл. III], а также работы [4]—[8]). При доказательстве сходимости градиентных методов для решения общей задачи минимизации зачастую предполагается липшицевость производной целевого функционала, понимаемой в том или ином смысле (Фреше, Гато и др.), см., например, [1, § VIII.4], [9, § XV.4], [10, п. X.4.2, теорема 8]. В отношении задач оптимального управления нелинейными системами это предположение преобразуется в определенные требования к входным данным. В частности, здесь можно потребовать липшице-вости первых производных правой части управляемой системы и интегранта целевого функционала по управляющим и фазовым переменным на соответствующем пространстве (см., например, [1, § VIII.9]). Отметим, что при исследовании задач оптимального управления эллиптическими уравнениями техника, применяемая для эволюционных систем (представляющая собой естественное распространение соответствующей техники, развитой для сосредоточенных систем, и основанная на вольтерровости разрешающих операторов), оказывается неприменимой. Поэтому приходится разрабатывать специальные подходы (основанные, в частности, на теории монотонных операторов) — из последних работ на эту тему укажем, например, [11].
Основным объектом изучения в данной статье является полулинейное эллиптическое уравнение второго порядка, известное как стационарное уравнение диффузии—реакции, однако полученные результаты нетрудно распространить и на системы таких уравнений. Отметим, что система стационарных уравнений диффузии—реакции имеет важное прикладное значение и потому является объектом пристального изучения (см., например, [12, § 2]), в том числе с позиций теории оптимального управления (см. [11], [13]) и теории обратных задач (см. [14], там же см. дальнейшую библиографию).
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (в рамках соглашения от 27 августа 2013 г. № 02.В.49.21.0003, а также гос. задания в сфере научной деятельности в 2014—2016 гг. — код проекта 1727).
В данной статье для задачи оптимального управления полулинейным стационарным уравнением диффузии—реакции получены достаточные условия сходимости метода условного градиента без "традиционных" для теории оптимизации требований, обеспечивающих липшицевость производной целевого функционала. При этом техника из [15], развитая для эволюционных систем и в определенном смысле родственная технике из [16], адаптируется на неэволюционный случай за счет использования иных свойств разрешающего оператора (вполне непрерывности, а также имеющих некоторое отношение к монотонности) вместо вольтерровости. В качестве предварительных результатов, представляющих самостоятельный интерес, доказываются утверждения о тотальном (по всему множеству допустимых управлений) сохранении разрешимости, поточечной оценке решений и единственности решения однородной задачи Дирихле для управляемого эллиптического уравнения.
1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть п > 2 — заданное натуральное число, область П с К" ограничена и строго липшицева (для этого достаточно выпуклости, см. [17, с. 30—31]). Напомним определения используемых далее функциональных пространств (для € е 1 < q < да).
Хг(П) — банахово пространство, состоящее из всех измеримых на П функций, суммируемых на П со степенью q (см. [17, § 1.1]). Норма:
( Л1/?
11Х11х,(П) = I ||. п
Элементами ^(П) являются классы эквивалентных между собой функций на П. Соответ-
€
ственно, Ь„(П) = Ь„(П) х ... х Ь„(П) с нормой
€ раз
€ € 1Mb = IIWIIVn), 1Х1 = V N , Х = (xb •■■, x€ )e Lq (П) •
Lq (П)
j = 1
Zœ(n) — банахово пространство, состоящее из всех измеримых на П функций x(t), для которых конечна норма ||x||L (П) = vrai sup\x(t)| (см. [17, § 1.1]). Элементами ^(П) являются классы экви-
™ t еп
€
валентных между собой функций на П. Аналогично Lq (П) определяется соответствующее про-
€
странство вектор-функций Lm (П) = Lœ(n) х ... х Lm(П) .
€ раз
C€( П) — банахово пространство, элементами которого являются непрерывные на П функции x(t), имеющие непрерывные производные до порядка € включительно, а также конечное значение нормы
€
Ы € = sup\dkx(t) с€(п> ¿-i t еП' Wl
k = о
(см. [17, § 1.1]). Здесь к = (кь ..., к„) — мультииндекс с компонентами
k dkx
к,> 0; kl = k + ... + kn; dkx(t) = ° x
dti1 ...dt;
€
Соответственно, С0 (П) — множество функций из С€(П) с носителем в П.
° (П) — банахово пространство, состоящее из всех элементов пространства ^(П), имеющих обобщенные производные до порядка € включительно, суммируемые по П со степенью q (см. [17, § 1.1]). Норма:
/ €
1Ы1 € = |1 ^ |д4х|гйг
'°5(П)
1/г
п 14 = о у
Для строго липшицевой области П пространство 1 (П) совпадает с замыканием в указанной норме множества С( П) всех бесконечно дифференцируемых на П функций.
° (П) — множество всех элементов пространства (П) с носителем в области П. В случае q = 2 традиционно используется обозначение Н (П) = 1(П) (см., например, [18, § 7.5]).
Пространства Ь^ (П), ^ (П) называются лебеговыми; ° (П) — пространствами Соболева.
Далее для произвольной функции g будем использовать обозначения [#]+ = шах^, 0}, [#]_ = = шin{g, 0}. Ясно, что g = [#]+ + [g]-.
Пусть теперь 2 < q < (2и)/(и — 2) — заданное число. Через (П) будем обозначать класс всех
неотрицательных функций из ХШ(П); К+ — множество всех векторов из К" с неотрицательными компонентами. Далее, пусть Э — заданное выпуклое множество измеримых управляющих функций и е Ь5Г (П), поточечно равномерно ограниченных по модулю некоторой функцией из (П), же г > 2. Для числа у > 0 обозначим через А(у) класс всех матричных функций А = А(.) = = {йу(.)}" 1 = 1 е п (П), удовлетворяющих условию А(?)2 • 2 ^ у|2|2 для всех 2 е К", почти всех (п.в) I е П (здесь "•" означает скалярное произведение в пространстве К"). Далее будем предполагать, что ф(?, 2) : П х К —- К+ — заданная функция, измеримая по I е П, непрерывная по 2 е К и неубывающая при 2 ^ 0 и такая, что ф(., х(.)) е Х2(П) для всех х е ^(П). Определим класс Р(ф) всех функций/(I, 2, V) : П х К х К —»- К, измеримых по I е П, непрерывных по (2; V) е К х К и удовлетворяющих условию \[(1, 2, и(1))| < ф(?, |2|) для п.в. I е П, 2 е К, и е Э.
Для А е А(у), Ь е (П), / е Р(ф) рассмотрим однородную задачу Дирихле для управляемого полулинейного эллиптического уравнения второго порядка:
Л[х](г) = /(г, х(г), и(г)), г еП, и е Э; х|ап = 0, Л[х] = -Шу(АУх) + Ьх. (1)
Решение задачи (1) понимаем в обобщенном смысле, а именно как функцию х е Но (П), удовлетворяющую для всех ю е Но (П) интегральному тождеству
В [х, ю] = /(г, х (г), и (г))ю( г) йг, (2)
п
где принято обозначение В[х, ю] = |п [АУх • Ую + Ьхю] йг.
Корректность такого определения базируется на теореме вложения Соболева, согласно которой (П) ограниченно (и более того, компактно) вложено в ^(П) при указанном выше выборе
2п
г е 2;
п -
Ь,(П) ^
Отсюда также следует, что существует константа р > 0, обеспечивающая неравенство || .11 г (П) <
<р1°2(П) .
Следующую задачу назовем мажорантной по отношению к (1):
Л[х](0 = ф(г, х(г)), г еП; х|ш = 0. (3)
Теорема 1.1. Пусть мажорантная задача имеет обобщенное решение х = х е Н0 (П), х > 0. Тогда для каждого управления и е Э задача (1) имеет по крайней мере одно обобщенное решение х = хи е е Н (П) такое, что |хи| < х, ||хи|| ^ < V , где константа V > 0 не зависит от выбора управления и.
Замечание 1.1. Теорема 1.1 дает достаточные условия тотального (по всему множеству допустимых управлений) сохранения разрешимости задачи (1), а также оценки решений. При определенных обстоятельствах условия тотального сохранения разрешимости краевых задач для управляемых эллиптических уравнений можно получить из результатов [19]. Кроме того, такие условия можно получить на основе результатов [20] (методика их применения достаточно очевидна). Условия теоремы 1.1 носят мажорантный характер (в некотором смысле их можно понимать как аналог теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда). Их доказательство основано, фактически, на той же идее, что и доказательство признаков тотального сохранения разрешимости, установленных ранее в [21], [22] для эволюционных систем.
Для функции х е
Н (П), х > 0, и числа V > 0 определим множество 2[х, V] = <|х е Ц2(П) : |х| <х, ||х||^д
и будем считать, что задано некоторое выпуклое множество 2 с ^(П), 2 ^ Е[х, V].
Чтобы сформулировать дальнейшие предположения, нам необходимо вспомнить неравенство Пуанкаре—Фридрихса (иногда его называют неравенством Фридрихса, иногда — неравенством Пуанкаре или вообще никак не называют, см., например, [17, § 11.2, формула (2.1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.